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浙教版2023-2024学年九上数学期末常考题型复习3（简答题）
（解析版）
1．求下列各式的值
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解： =×+4×=+2 =.
（2）解： . = -2×+×- =-1+2- =1.
2．线段 、 、 ,且 .
（1）求 的值.
（2）如线段 、 、 满足 ,求 的值.
【答案】（1）解： ，
；
（2）解：设 =k, 则a=2k, b=3k, c=4k，
由a+b+c=27，由2k+3k+4k=27，得：k=3，
a=6，b=9，c=12
故 =6-9+12=9，
3．有A、B、C三种款式的衣服，E、F、G三种款式的裤子，小江任意选一件衣服和一件裤子．
（1）请用列表法或画树状图的方法表示小江有多少种不同的可能．
（2）求恰好选中A款衣服和E款裤子的概率．
【答案】（1）解：列树状图如下，
一共有9种结果数.
（2）解：一共有9种结果数，恰好选中A款衣服和E款裤子的只有1种情况，
∴P（恰好选中A款衣服和E款裤子）=.
4．设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个.从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子.求：
（1）第一次取出的杯子是一等品的概率.
（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率.
【答案】（1）解：有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个.第一次取出的杯子是一等品的概率为：
（2）解：由图可知，共有9种等可能结果，两次取出都是一等品杯子的有4种，两次取出都是一等品杯子的概率是： .
5．如图，在矩形ABCD中，BE交AD于点E且平分∠ABC，对角线BD平分∠EBC.
（1）求 的值.
（2）求 .
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠
∵BE平分∠ABC，∴∠ ∴△ABE是等腰直角三角形，
∴
∵BD平分∠EBC ∴∠
∵ ∴∠
∴∠
∴
∴
（2）解：由（1）知，
设 ，则
∴
在 中，
.
6．如图，已知 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）解：∵ ， ， ∴ ，
∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB；
（2）∵ ，
∴ ，
∵△CBD∽△CAB，∴ ，
∴ ，即 .
7．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设 =λ(λ>0)．
（1）若λ=1，求证：CE=FE．
（2）若AB=3，AD=4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．
【答案】（1）证明：连接DE，
∵，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠AED=∠DEC
∵矩形ABCD，DF⊥AE，
∴∠C=∠DFE=90°
在△DEF和△DEC中， ∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴CE=FE．
（2）解：如下图，
∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，∴，
∵DF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADB=90°
∴∠BAE=∠ADB，
∵∠ABE=∠BAD=90°，
∴△ABE∽△ADB，∴即
解之：
∴.
8．如图，在中，于点D，点E在上（不与点A，B重合），连接交于点F，.
（1）求证：.
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）证明：，，
，
，，
，
，，
；
（2）解：，， ，
∵，，，
由（1）得，
， ，
∴.
9．如图，在 中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM.
（1）求证：CF=EF；
（2）求证： .
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=∠B=45°，
∵O是AB的中点，∴CO⊥AB，∠BOC=90°，∴∠BCO=45°，
∠FCE=∠BCO+∠FCO=45°+∠FCO，
∠FEC=∠B+∠EFM=45°+∠EFM，
∵∠FCO=∠EFM，∴∠FCE=∠FEC，∴CF=EF；
（2）证明：∵EM⊥AB， ∴∠EMF=∠COF=90°，
∵EF=CF，∠FCO=∠EFM，∴△EMF≌△FOC，
∴FM=OC=OB，∵EM∥CO，∴ ，
∵EM∥NO，∴ ，
∴
10．已知，请写出一个二次函数同时满足以下两个条件：
①与函数图象开口大小、方向相同；
②当时，y随x的增大而增大.
【答案】解：∵当时，y随x的增大而增大，
∴可设对称轴为直线，
∵该函数的开口大小、形状均与函数的图象相同，
∴二次项系数为2，
∴满足条件二次函数表达式可为（答案不唯一）.
11．商店销售某商品，销售中发现，该商品每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间存在如图所示的关系，其中成本为20元/个.
（1）求y与x之间的函数关系式.
（2）为了保证每天利润不低于1300元，单价不高于30元/个，那么商品的销售单价应该定在什么范围
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将（25，900），（28，600）代入y=kx+b，得 ，
解得 ，
∴y与x的函数关系式为y=-100x+3400；
（2）解：设该商品每天的销售利润为w元，
由题意得w=(x-20) y
=(x-20)(-100x+3400)
=-100x2+5400x-68000
当w=1300时，即-100x2+3600x-68000=1300，
解得： ， ，
画出每天利润w关于销售单价x的函数关系图象如解图，
又∵单价不高于30元/个，
∴当该商品的销售单价每个不低于21元，且不高于30元时，可保证每天利润不低于1300元.
12．已知二次函数 (a为常数)
（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式.
（2）若a 0，当 时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围.
（3）若二次函数在 时有最大值3，求a的值.
【答案】（1）解：把(2，3)代入 得，
解得：
二次函数解析式为： ；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线 ， ，
∴抛物线开口向上，当 时，二次函数y随x的增大而减小
∵ 时，此二次函数y随x的增大而减小
∴ ，
解得： ；
（3）解：将二次函数化为顶点式得：
∵二次函数在 时有最大值3
①当 时，开口向上，
∴当 时，y有最大值，最大值为8a，
∴ ，
∴ ，
②当 时，开口向下
∴当 时，y有最大值，最大值为 ，
∴ ，
∴ ，
综上， 或 .
13．如图，在正五边形中，连结交于点F.
（1）求的度数.
（2）已知，求的长.
【答案】（1）解：∵五边形是正五边形，
∴，，，，，.
∴四边形是菱形，
∴，
同理可求：，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，∴.
∵，
同理，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，即，
解得（舍去负值）.
∴的长是.
14．如图，某零件的截面为弓形．
（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心．
（2）若AB=2 ，弓形的高为1．
①求弓形的半径．
②求 的长．
【答案】（1）解：在圆弧AB上取点C，作AC和BC的垂直平分线EF，MN，两垂直平分线交于点O，
（2）解：① 作OD⊥AB交弧AB于点D，交AB于点H，
∴，
∵弓形的高为1
∴HD=1，
设OB=r，则OH=r-1，
在Rt△OBH中，
(r-1)2+( )2=r2，
解之：r=2．
②∵OB=2，OH=1，
∴OB=2OH，
∴∠HBO=30°，∠HOB=60°，
∵OH⊥AB，
∴弧AB=2弧BD
∴∠AOB=2∠BOH=120°，
∴弧AB的长为
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D=60°且AB=6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
【答案】（1）解：∵∠D=60°，
∴∠B=60°（圆周角定理），
又∵AB=6，
∴BC=3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE= BC=
（2）解：连接OC，
则易得△COE≌△AFE，故阴影部分的面积=扇形FOC的面积，
S扇形FOC= = π．即可得阴影部分的面积为 π
16．如图，一艘渔船位于码头M的南偏东45°方向，距离码头120海里的B处，渔船从B处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A处．
（1）求渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离．
（2）若渔船以20海里/小时的速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M的航行时间．
【答案】（1）解：作AC⊥AB于C，
则MC=BM×cos45°=60 海里，
答：渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离为60 海里
（2）解：在Rt△ACM中，AM= =40 ，
40 ÷20=2 ，
答：渔船从A到达码头M的航行时间为2 小时．
17．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】（1）解：∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°
（2）解：作PH⊥AB于H．
∵∠BAP=∠BPA=30°，
∴BA=BP=50，
在Rt△PBH中，PH=PB sin60°=50× =25 ，
∵25 ＞25，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
18．如图，在 中， ，以 为直径的 分别交 于点 ，连结 交 于点F.
（1）求证：
（2）连结 ，交 于点G，若 ，且 ，求 的长.
【答案】（1）证明：连接AD，
是 的直径， ，
， ，
又 ， ， ；
（2）解：由（1）知 ，
， ，
， ，
， ， ，
， ， ，
， .
19．如图，是的直径，弦于点E，点P在上，.
（1）求证：；
（2）若，求的半径.
【答案】（1）证明：∵，，∴，
∴；
（2）解：连接，
设，则，
∵弦于点E，，
∴，
∵，
∴，
在中：，
∴，
解得：，
∴的半径为5.
20．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CF垂直直径BD于点E，交边AB于点F.
（1）
求证：∠BFC=∠ABC.
（2）
若⊙O的半径为5，CF=6，求AF长.
【答案】（1）证明：连结AD，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵CF⊥BD，
∴∠BEF =90°，
∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠BFE=90°，
∴∠BFC=∠ADB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠BFC=∠ABC.
（2）解：连结CD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∵∠BFC=∠ABC，∴BC=CF=6，∵BD=10，∴CD=∴cos∠DBC= ，sin∠DBC= ，在Rt△BCE中，BE=BC·cos∠DBC=6×= ，CE=BC·sin∠DBC=6× ，∴ ，∴BF= ，∵con∠ABD=，即∴AB=,∴AF=AB-BF=
21．如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点.
（1）求证：点为线段的中点.
（2）若，，求的半径及阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连结 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即点 为线段 的中点.
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
设 ，则
，
解得： （舍去）， ，
∴ 的半径为3，
连接 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ 边上的高为 ，
∴ ==
22．已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连接.
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的半径和的长.
【答案】（1）证明：是的平分线，
，
由圆周角定理得：，
（2）解：如图：
，
，
，
的半径为5，
，
，
解得：.
23．如图，在锐角三角形ABC中， ， 是 的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D.
（1）求证：AO平分 ；
（2）若 的半径为5， ，设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的值；
（3）若 ，求 的值（用含m的代数表示）.
【答案】（1）证明：如图，过点O作 于点M，作 于点N.
∴AM= AB，AN= AC，
，
∴AM=AN,
∵OA=OA，
∴Rt△AOM≌Rt△AON，
，
平分
（2）解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接OC，
由（1）可知， ，
，
∴∠OBA=∠OAB，
AO平分 ，
∴∠OAD=∠OAB，
∴∠OAD=∠OBA，
∵∠ADO=∠BDA
∴ ，
，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
CD=1.5，
∵ON∥BH，
∴ ，BH= ON，
，
，
.
（3）解：延长BD交圆于点E，连接CE,
设 ，
，
， ，
∵∠ACE=∠ABO,
由（2）得，∠OAD=∠OBA，
∴∠ACE=∠DAO,
∴OA∥CE，
∴ ，
，
CE= ，
∵∠BAC=∠BEC，
∴ ，
∴ .
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为 的中点，延长AD，BC交于点P，连结AC.
（1）求证：AB＝AP；
（2）若AB＝10，DP＝2，
①求线段CP的长；
②过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，求△ADF的面积.
【答案】（1）证明：∵ ＝ ，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP.
（2）解：
①解：连接BD.
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝ ＝ ＝6，
∴PB＝ ＝ ＝2 ，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝ PB＝ ，
∴PC＝ .
②解：作FH⊥AD于H.
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴AE＝ ，DE＝ ，
∵∠FEA＝∠FEH，FE⊥AE，FH⊥AH，
∴FH＝FE，∠AEF＝∠AHF＝90°，
∵AF＝AF，
∴Rt△AFE≌Rt△AFH（HL），
∴AH＝AE＝ ，DH＝AD﹣AH＝ ，设FH＝EF＝x，
在Rt△FHD中，则有（ ﹣x）2＝x2+（ ）2，
解得x＝ ，
∴S△ADF＝ AD FH＝ ×8× ＝ .
25．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA.
（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长.
【答案】（1）解：连接AD，如图1所示：
设∠BDC＝γ，∠CAD＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝γ，
∵点C为弧ABD中点，
∴ ，
∴∠ADC＝∠CAD＝β，
∴∠DAB＝β﹣γ，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴γ+β＝90°，
∴β＝90°﹣γ，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，
∴∠ABD＝2∠BDC，
∴∠BDC＝ ∠ABD＝ α；
（2）解：连接BC，如图2所示：
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BAC+∠ABC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠BAC＝90°，
∴∠ACE＝∠ABC，
∵点C为弧ABD中点，
∴ ，
∴∠ADC＝∠CAD＝∠ABC＝β，
∴∠ACE＝β；
（3）解：连接OC，如图3所示：
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴ ＝ ＝ ，
∴BD＝2OH＝10，
∴AB＝ ＝ ＝26，
∴AO＝13，
∴AH＝AO+OH＝13+5＝18，
∵∠EAH＝∠BAD，∠AHE＝∠ADB＝90°，
∴△AHE∽△ADB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE＝ ，
∴DE＝AD﹣AE＝24﹣ ＝ .
26．定义：有两边之比为的三角形叫做智慧三角形．
（1）如图1，在智慧三角形中，为边上的中线，求的值；
（2）如图2，是的内接三角形，为直径，过的中点作，交线段于点，交于点，连结交于点．
①求证：是智慧三角形；
②如图3，在（2）的条件下，当时，则＝▲ ．（直接写出结果）
【答案】（1）解： 是 的中线， ，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，连结 ，设 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的中点，
，
，
，即 ，
是智慧三角形；
②
【解析】（2）②如图，过点 作 交 于点 ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
由①可得， ，
，
，
，
，
，
∴ ，
故答案为： ．
27．如图，已知 是 斜边 上的中线，过点D作 的平行线，过点C作 的垂线，两线相交于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）证明： ，
，
是 斜边 中线，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
是 斜边 中线，
，
,
，
．
28．如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为线段上一点，且．
（1）求证：；
（2）连接，当为直角三角形时，，，， ．
【答案】（1）证明：在平行四边形中，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴
（2）
【解析】（2）解：连接，
∵
∴，即，解得，
∴
当时，如下图：
则，
由勾股定理可得：，
，
当时，如下图：
由题意可得：，，
∴
∴，
∴
∴与矛盾，
∴，即此种情况无解，
综上，故答案为：
29．如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵，于，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴，
∴AD2＝AC AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB AE．
（2）解：如图，连接DF．
∵AB＝5，∠ADB＝90°，BF＝AF，∴DFAB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴DF∥AC，
∴，∴
∵AD2＝AB AE．∴
∴．
30．据图回答问题
（1）探究：如图①，点A、点 D在直线BC上方，且 AB⊥BC，DC⊥BC．点E是线段BC上的点，AE⊥DE．求证：△ABE∽△ECD．
（2）应用：如图①，在探究的条件下，若BE=2，CD=4，DE=6，求AE的长．
（3）拓展：如图②，矩形ABCD中，AB=12，BC=8．将矩形ABCD翻折，使点A落在边 CD上的点E处，折痕为MN．若DE= DC，则BN = ．
【答案】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ,
又∵ ， ， ，
∴ ，
（3）2
【解析】【解答】解：拓展：过点N，作 交 于点F，
∵将矩形ABCD翻折，使点A落在边 CD上的点E处，折痕为MN，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设 ，则 ， ，
∴在 中， ，
解之得： ，
即有： ， ，
设 ，则 ， ，
由探究可知， ，
∴
即： ，
解之得： ，
即：
31．如图，中，，，．是边上的一点，（与、不重合）连接，作，交于点，交于点
（1）求、的长
（2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域
（3）连接，当与相似时，求的长
【答案】（1）解：中，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
在中，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，即，
同理可得，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
①当，时，，
∴，即，
解得（负值已舍去）．
②当时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
32．已知：为钝角，，是的两条高．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，延长、相交于点O，连接．当，，时，求的长；
（3）如图3，若，延长、相交于点O，连接．当时，求的值．
【答案】（1）证明：由题已知，
、是的两条高，
，
和是对顶角，
，
，
，
；
（2）解：由题已知，
在和中，、是的两条高，
，
（公共角），
，
，即，
在和中，有（公共角），
，
，
、、，
，
的长为15；
（3）解：由题已知，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和，（对顶角），
，
，
的值为．
33．
（1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
（3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．
在中，．
∵，
∴由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∴．在中，．
∵，
∴，
∴．
34．二次函数的图像经过，两点.
（1）当时，判断与的大小.
（2）当时，求的取值范围.
（3）若此函数图象还经过点，且，求证：.
【答案】（1）解：当时，
，
，
（2）解：，
又，
，
；
（3）证明：二次函数的对称轴为直线，
二次函数经过两点，
，即，
，
35．在直角坐标系中，设函数（，且m，n为实数），
（1）求函数图象的对称轴.
（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.
（3）已知当时，对应的函数值分别为p，q，r，若，求证：.
【答案】（1）解：∵函数（，且m，n为实数），
函数图象的对称轴为
（2）证明：令，则，
即，
m，n异号，
∴，
一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）证明：由题可知
，
.
36．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点.
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）.
①若m＝n，求a的值；
②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值.
【答案】（1）解：令x＝0，则c＝﹣4，
将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，
∴2a+b＝2；
（2）解：∵抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，∴a＞0，
∵A（0，﹣4）和B（2，0），
∴对称轴x＝﹣ ＝﹣ ＝1﹣ ≤0，
∴0＜a≤1；
（3）解：①当m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，
∴对称轴x＝1﹣ ＝﹣1，∴a＝ ；
②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，
∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，
∴N点在y＝﹣2x﹣3上，
联立y＝﹣2x﹣3与y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有两个不同的实数根，
∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，
∵p+（﹣2﹣p）＝- = ，
∴a＝1.
37． 如图，抛物线与轴相交于，两点，且经过点，点为抛物线与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式和点的坐标；
（2）若点为抛物线图象上的一点，，求点的坐标；
（3）设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
【答案】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，且经过点，
，解得．
所以抛物线的解析式为：，
将x=0代入，可得y=-3，
∴点C的坐标为（0，-3）.
（2）解：二次函数的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，．
设点坐标为，
，
，
，或．
当时，；
当时，．
点的坐标为或；
（3）解：设直线的解析式为，将代入，
得，
解得．
即直线的解析式为．
设点坐标为，则点坐标为，
，
当时，有最大值．
38．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，-3)，A点的坐标为(-1，0)。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；
（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，直接写出使△QBC为直角三角形的点Q的坐标。
【答案】（1）解：A(-1， 0)，C(0， -3)在y=x2+bx+c 上，
∴ ，解得
∴二次函数的解析式为y=x2- 2x-3
（2）解：在y=x2-2x-3中，
令y=0可得0=x2-2x-3，
解得x=3或x=-1，
∴B(3，0)，且C(0，-3)，经过B，C两点的直线为y=x-3
设点P的坐标为(x，x2-2x-3)
如图，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，与直线BC交于点E，则E(x，x-3)
∵S四边形ABPC=S△ABC+S△BCP= ×4×3+ (3x-x2)×3= x2+ x+6=(x )2+
∴当x= 时，四边形ABPC的面积最大，此时P点坐标为( ， )，四边形ABPC的最大面积为
（3）(1， )或(1， )或(1，2)或(1，-4)
【解析】解：（3）∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴对称轴为x=1，∴可设Q点坐标为(1，t)
∵B(3，0)，C(0， -3)，
∴BQ2=(1-3)2+t2=t2+4，CQ2=12+(t+3)2=t2+6t+10，BC2=18
∵△QBC为直角三角形，
∴有∠BQC=90°，∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三种情况．
①当∠BQC=90°时，则有BQ2+CQ2=BC2，
即t2+4+t2+6t+10=18，解得t= 或t= 。
此时Q点坐标为(1， )或(1， )
②当∠CBQ=90°时，则有BC2+BQ2=CQ2，
即t2+4+18=t2+6t+10，
解得t=2，此时Q点坐标为(1， 2)
③当∠BCQ=90°时，则有BC2+CQ2=BQ2，
即18+t2+6t+10=t2+4，
解得t=-4，此时Q点坐标为(1，-4)，综上，Q点的坐标为(1， )或(1， )或(1，2)或(1，-4)．
39．如图，抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）当点D为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把 代入 ，
得： ，
．
把 代入 ，
得： ，
， ，
将 ， 代入 ，
得：
解得 ， ．
抛物线的表达式为 ；
（2）解：设 ，则 ， ， ，
S==
当 时，S有最大值，最大值为 ．
（3）解： ，
．
又 ， ，
， ， ．
，
．
如图所示：连接AC．
， ，
， ．
，
又 ，
∽ ．
当Q的坐标为 时， ∽ ．
过点C作 ，交x轴与点Q．
为直角三角形， ， ∽ ．
又 ∽ ， ∽ ．
，即 ，
解得： ．
．
过点A作 ，交y轴与点Q．
为直角三角形， ， ∽ ．
又 ∽ ， ∽ ．
，即 ，
解得： ．
，
综上所述：当Q的坐标为 或 或 时，以A，C，Q为顶点的三角形与 相似．
40．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵点A的坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）．
将（-1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝-x2+2x+3；
（2）解：∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，
∴点M的坐标为（m，-m2+2m+3），点N的坐标为（m，0），
∴MN＝-m2+2m+3，AN＝m+1，
∴AN+MN＝m+1+（-m2+2m+3）＝-m2+3m+4＝-（m-）2+，
∵-1＜0，且0＜m＜3，
∴当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为；
（3）解：∵y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4，
∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝-x2+4．
当x＝时，y＝-（）2+2×+3＝，
∴点M的坐标为（，）．
假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，-n2+4）．
①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分，
∴，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分，
∴＝，
解得：n＝-，
∴点Q的坐标为（-，）；
③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分，
∴＝，
解得：n＝，
∴点Q的坐标为（，-）．
综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（-，）或（-，）或（，-）．
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浙教版2023-2024学年九上数学期末常考题型复习3（简答题）
1．求下列各式的值
（1） ； （2） .
2．线段 、 、 ,且 .
（1）求 的值.
（2）如线段 、 、 满足 ,求 的值.
3．有A、B、C三种款式的衣服，E、F、G三种款式的裤子，小江任意选一件衣服和一件裤子．
（1）请用列表法或画树状图的方法表示小江有多少种不同的可能．
（2）求恰好选中A款衣服和E款裤子的概率．
4．设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个.从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子.求：
（1）第一次取出的杯子是一等品的概率.
（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率.
5．如图，在矩形ABCD中，BE交AD于点E且平分∠ABC，对角线BD平分∠EBC.
（1）求 的值.
（2）求 .
6．如图，已知 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
7．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于点F，设 =λ(λ>0)．
（1）若λ=1，求证：CE=FE．
（2）若AB=3，AD=4，且D、B、F在同一直线上时，求λ的值．
8．如图，在中，于点D，点E在上（不与点A，B重合），连接交于点F，.
（1）求证：.
（2）若，，，求的长.
9．如图，在 中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM.
（1）求证：CF=EF；
（2）求证： .
10．已知，请写出一个二次函数同时满足以下两个条件：
①与函数图象开口大小、方向相同；
②当时，y随x的增大而增大.
11．商店销售某商品，销售中发现，该商品每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间存在如图所示的关系，其中成本为20元/个.
（1）求y与x之间的函数关系式.
（2）为了保证每天利润不低于1300元，单价不高于30元/个，那么商品的销售单价应该定在什么范围
12．已知二次函数 (a为常数)
（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式.
（2）若a 0，当 时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围.
（3）若二次函数在 时有最大值3，求a的值.
13．如图，在正五边形中，连结交于点F.
（1）求的度数.
（2）已知，求的长.
14．如图，某零件的截面为弓形．
（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心．
（2）若AB=2 ，弓形的高为1．
①求弓形的半径．
②求 的长．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D=60°且AB=6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
16．如图，一艘渔船位于码头M的南偏东45°方向，距离码头120海里的B处，渔船从B处沿正北方向航行一段距离后，到达位于码头北偏东60°方向的A处．
（1）求渔船从B到A的航行过程中与码头M之间的最小距离．
（2）若渔船以20海里/小时的速度从A沿AM方向行驶，求渔船从A到达码头M的航行时间．
17．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
18．如图，在 中， ，以 为直径的 分别交 于点 ，连结 交 于点F.
（1）求证：
（2）连结 ，交 于点G，若 ，且 ，求 的长.
19．如图，是的直径，弦于点E，点P在上，.
（1）求证：；
（2）若，求的半径.
20．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CF垂直直径BD于点E，交边AB于点F.
（1）
求证：∠BFC=∠ABC.
（2）
若⊙O的半径为5，CF=6，求AF长.
21．如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点.
（1）求证：点为线段的中点.
（2）若，，求的半径及阴影部分的面积.
22．已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连接.
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的半径和的长.
23．如图，在锐角三角形ABC中， ， 是 的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D.
（1）求证：AO平分 ；
（2）若 的半径为5， ，设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的值；
（3）若 ，求 的值（用含m的代数表示）.
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为 的中点，延长AD，BC交于点P，连结AC.
（1）求证：AB＝AP；
（2）若AB＝10，DP＝2，
①求线段CP的长；
②过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，求△ADF的面积.
25．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA.
（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长.
26．定义：有两边之比为的三角形叫做智慧三角形．
（1）如图1，在智慧三角形中，为边上的中线，求的值；
（2）如图2，是的内接三角形，为直径，过的中点作，交线段于点，交于点，连结交于点．
①求证：是智慧三角形；
②如图3，在（2）的条件下，当时，则＝▲ ．（直接写出结果）
27．如图，已知 是 斜边 上的中线，过点D作 的平行线，过点C作 的垂线，两线相交于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的面积．
28．如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为线段上一点，且．
（1）求证：；
（2）连接，当为直角三角形时，，，， ．
29．如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
30．据图回答问题
（1）探究：如图①，点A、点 D在直线BC上方，且 AB⊥BC，DC⊥BC．点E是线段BC上的点，AE⊥DE．求证：△ABE∽△ECD．
（2）应用：如图①，在探究的条件下，若BE=2，CD=4，DE=6，求AE的长．
（3）拓展：如图②，矩形ABCD中，AB=12，BC=8．将矩形ABCD翻折，使点A落在边 CD上的点E处，折痕为MN．若DE= DC，则BN = ．
31．如图，中，，，．是边上的一点，（与、不重合）连接，作，交于点，交于点
（1）求、的长
（2）设，，求与的函数关系式，并写出定义域
（3）连接，当与相似时，求的长
32．已知：为钝角，，是的两条高．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，延长、相交于点O，连接．当，，时，求的长；
（3）如图3，若，延长、相交于点O，连接．当时，求的值．
33．
（1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．
（3）如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．
34．二次函数的图像经过，两点.
（1）当时，判断与的大小.
（2）当时，求的取值范围.
（3）若此函数图象还经过点，且，求证：.
35．在直角坐标系中，设函数（，且m，n为实数），
（1）求函数图象的对称轴.
（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.
（3）已知当时，对应的函数值分别为p，q，r，若，求证：.
36．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点.
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）.
①若m＝n，求a的值；
②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值.
37． 如图，抛物线与轴相交于，两点，且经过点，点为抛物线与轴的交点．
（1）求抛物线的解析式和点的坐标；
（2）若点为抛物线图象上的一点，，求点的坐标；
（3）设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
38．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，-3)，A点的坐标为(-1，0)。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；
（3）若点Q为抛物线对称轴上一动点，直接写出使△QBC为直角三角形的点Q的坐标。
39．如图，抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）当点D为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
40．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值．
（3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
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浙教版2023-2024学年九上数学期末常考题型复习1（选择题）
（解析版）
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数的最大值是5
D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】由可知：
，开口向上，A选项错误；
根据的顶点坐标为可知：的顶点坐标为，B选项错误；
图像开口向上，顶点坐标为，在顶点坐标处由最小值5，C选项错误；
图像开口向上，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，D选项正确.
故答案为：D.
2．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【答案】A
【解析】抛物线 的顶点坐标是（3，1）.
故答案为：A.
3．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为.
故答案为：C.
4．二次函数均为常数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵二次函数的解析式为，，
∴函数图象开口向下，对称轴为，
∴，，到对称轴的距离分别为：3，1，2.
∵函数图象开口向下，
∴图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，即函数值越小，
∴.
故答案为：C.
5．已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，y随x的增大而减小，
抛物线开口向上，，
，
故答案为：B.
6．二次函数的部分图象如图所示，当函数值时，x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【解析】∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为，
∴由函数图象可知，当或时，，
故答案为：D.
7．已知二次函数 ，它的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴抛物线一定经过原点，∴选项A排除；
∵ ，∴对称轴为直线x= ，
∵ - = = ，当m＞0时，抛物线开口向上， ＜0，
∴对称轴在直线x= 的左边，B选项的图象符合；C选项的图象不符合；
当m＜0时，抛物线开口向下， ＞0，∴对称轴在直线x= 的右边，D选项的图象不符合；
故答案为：B.
8．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
【答案】D
【解析】A、水落石出是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意.
故答案为：D.
9．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币正面向上
B．从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃A
C．今天太阳从西边升起
D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服
【答案】D
【解析】A、抛掷一枚硬币正面向上，此事件是随机事件，故A不符合题意；
B、从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃A，此事件是随机事件，故B不符合题意；
C、今天太阳从西边升起，此事件是不可能事件，故C不符合题意；
D、从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服，此事件是必然事件，故D不符合题意；
故答案为：D.
10．抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．点数是奇数 B．点数是3的倍数
C．点数大于5 D．点数小于5
【答案】D
【解析】掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后共有6种等可能的情况，
即：点数为1，2，3，4，5，6；其中点数是奇数的有3种，点数是3的倍数的有2种，点数大于5的有1种，点数小于5的有4种，
故点数小于5的可能性较大.
故答案为：D.
11．一个不透明的布袋中装有1个白球和2个红球，它们除颜色不同以外其他都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】∵有一个白球，2个红球，共3个球，
∴任意摸出一个球有3种情况，其中摸出一个球是白球的有1种情况，
∴p=.
故答案为：A.
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴b=a，∴.
故答案为：C.
13．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【答案】A
【解析】∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故答案为：A．
14．如图，在中，分别是、上的点，，与相交于，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，，，故A错误；
，，故B正确；
，，，，，
由知，，故C错误；
由知，故D错误；
故答案为：B.
15．点F在ABCD的边AD上，BA、CF的延长线交于点E，若，则四边形ABCF与的面积之比是（ ）
A．9：4 B．8：3 C．3：2 D．2：1
【答案】D
【解析】∵，
∴，.
在平行四边形ABCD中， ，AD∥BC，
∴，，
∴，，
∴.
∴.
故答案为：D.
16．若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则，
故答案为：A.
17．如图，，直线与，，分别交于点和点，若，，则DE的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
【答案】D
【解析】∵，，，
∴，即，∴，
故答案为：.
18．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为 、2、 、
只有选项B的各边为1、 、 与它的各边对应成比例.故答案为：B.
19．如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 的方向行走4.5米至点F，此时影子 为1米，则路灯BM的高度为（ ）
A．3米 B．3.5米 C．4.5米 D．6米
【答案】D
【解析】由图可知：CD⊥AB，MB⊥AB
∴CD∥MB
∴△ACD∽△AMB，
∴
同理可得：
由题意知：CD＝EF＝1.5，AD＝2.5，DF＝4.5，NF＝1
∴
设BF＝x，则
解得：
∴
∴BM＝6
故答案为：D
20．如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，优弧上找一点，连接
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
21．如果正多边形的一个内角是 ，则这个多边形是（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
【答案】A
【解析】解:360÷（180 144）＝10，则这个多边形是正十边形.
故答案为：A.
22．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．24 B．22 C．12 D．6
【答案】A
【解析】，即，解得.
故答案为：A
23．如图，在中，.是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点.若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
为的内接四边形，
，
，
为弧的中点，
，
，
设，
则，，
，
，
在中，，
解得：，
，
故答案为：A.
24．如图为一座拱形桥示意图，桥身（弦）长度为8，半径垂直于点，，则桥拱高为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】C
【解析】连接OB，
∵OC⊥AB，
∴BD=AB=4，∠BDO=90°
，
∴DC=OC-OD=5-3=2.
故答案为：C
25．如图，中，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴，
∴.
故答案为：A
26．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易得∠B=45°，AB交格点于点D，连接CD，
∴CD=BD，∠ADC=90°，
∴，，
∴.
故答案为：A
27．二次函数中当时随的增大而增大，则一次项系数满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵二次函数中当时随的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为直线，
b≥-2.
故答案为：B
28．已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】二次函数对称轴为，
由题意得，二次函数经过点，，，
结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5；
②当时，最小值为，最大值为5；
③当时，最小值为，最大值为时y的值；
∴m的取值范围是.
故答案为：D.
29．设函数，.直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】∵直线的图象与函数，的图象分别交于点，，
A. 若，如图所示，则
（A）
B. 若，如图所示，
则 则，
故B选项不合题意，
C. 若，如图所示，
∴，故C选项正确，D选项不正确；
故答案为：C.
30．二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】∵函数，且，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足的任意一个的值，都有，
则有，解得，
对于该函数图象的对称轴，
的值越小，其对称轴越靠左，如下图，
结合图像可知，的值越小，满足的的值越小，
∴当取的最大值，即时，令，
解得，，∴满足的的最大值为，
即的最大值为.
故答案为：D.
31．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为
∴函数的对称轴为x＝
∴根据二次函数的对称性，当x=-2和x=4时，y的值相等
∴当x=-2时，y=4a﹣2b+c＞0
于是①的结论符合题意；②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为
∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，
于是②不符合题意；③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a，
于是③不符合题意；④∵方程 有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，
∴抛物线 与直线y＝﹣1交点的坐标 和
∵抛物线 时，x＝﹣1或3，
即抛物线 与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），
∴﹣1＜x1＜x2＜3，
于是④符合题意．
故答案为：B．
32．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
【答案】D
【解析】由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
33．如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，设交于点O，则
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
34．一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形.设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
则 ，
依题意得：
，
矩形 矩形 ，
，
，
整理得 ，
这个大矩形的面积为：
故答案为：D.
35．如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形EHFG是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形EHFG是正方形，
∴，
由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，，，
∴.
∵正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为，
∴正方形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
36．如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点，若点为中点，则长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接AD，
∵，
∴，
∵点D为BC中点，
∴，
∵弧AB沿弦AB向下折叠交BC于点D，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
37．如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E分别为AB，AC边上的中点，延长DE交⊙O于点F，若BC=2，则EF=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接AO并延长，交BC于点H，交DE于点M，再连接OF、OC；
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∵等边△ABC内接于⊙O ，
∴AH⊥BC，AH⊥DE，∠CAH=∠HCO=30°，AC=BC=2，
∴HC=BC=1，
在Rt△AHC中，由勾股定理得AH=，
∵E是AC的中点，DE∥BC，
∴ME=HC=，HM=AH=，
在Rt△OHC中，∠HCO=30°，
∴OH=，OC=，
∴OM=MH-OH=，
在Rt△OFM中，由勾股定理得MF=，
∴EF=MF-ME=.
故答案为：.
38．如图，在四边形 中，以 为直径的 恰好经过点 ， ， 交于点 ，已知 平分 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接OC
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOC=∠DAB，
∴AD∥OC，
∴△OCE∽△DAE，
∴ ，
故答案为：D.
39．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，
∵，，∴，∵G是BE的中点，∴，
∴，∵，∴，∴，∴，
则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，
．
故答案为：C.
40．如图，四边形ABCD是正方形，过点A，B的圆O与射线AD交于点E，过点C的直径与射线AD交于点F，若 ，则tan∠CFD等于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．2或
【答案】B
【解析】如图，点F在线段AD上，连接BE，
∵∠A=90°，
∴BE为圆O的直径，经过圆心O，
∵BC∥AD，
∴∠CBO=∠FEO，∠BCO=∠EFO，
∵OB=OE，
∴△BCO≌△EFO，
∴EF=BC，
∵ ，
设 ，则 ，
∵EF=BC=CD，
∴tan∠CFD= .
如图，点F在线段AD延长线上，连接BE，
同理可得，EF=BC，设 ，则 ，
∵EF=BC=CD，
∴tan∠CFD= .
故答案为：B.
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浙教版2023-2024学年九上数学期末常考题型复习2（填空题）
（解析版）
1．用抽签的办法从甲，乙，丙，丁四位同学中，任选一位同学去打扫公共场地，选中甲同学的概率是 ．
【答案】
【解析】∵总共只有甲，乙，丙，丁4位同学，
∴任选一位同学，甲同学被选中的概率是，
故答案为：.
2．某超市质检人员为了检测某品牌产品的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品一件，由此估计这批产品中的次品件数是 件.
【答案】20
【解析】∵随机抽取100件进行检测，检测出次品1件，
∴次品所占的百分比是：
，
∴这一批产品中的次品件数是：2000×
＝20（件），
故答案为：20.
3．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号为1﹣7的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是 .
【答案】
【解析】将图中剩余的编号为1﹣7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑3，4，7，2，5有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形，故其概率是 .
故答案为： .
4．布袋中装有1个红球和2个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率为 .
【答案】
【解析】∵布袋中装有1个红球和2个白球，
∴摸出一个球为红球的概率为：
，
故答案为：
.
5．抛物线 与 轴的交点坐标是 .
【答案】
【解析】当x=0时，y=x2+2=2，
所以抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为（0，2）.
故答案为：（0，2）.
6．若二次函数 的图象经过点 ，则 的值为 .
【答案】10
【解析】∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
故答案为：10.
7．一抛物线的形状，开口方向与 相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为 ．
【答案】
【解析】∵ 一抛物线的形状，开口方向与 相同， 顶点在(-2，3)
∴此函数解析式为 .
故答案为：.
8．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”.现将二次函数（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为，则新抛物线的函数表达式为 .
【答案】
【解析】将（1，2）代入y=x2+2x+c，得12+2×1+c=2，
解得c=-1.
设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，
将（1，2）代入，得（1+1-m）2-2=2.
整理，得2-m=±2.
解得m1=0（舍去），m2=4.
故新抛物线的表达式为y=（x-3）2-2.
故答案为：.
9．如图，点A，B，C是上的三个点，∠C＝50°，则∠AOB＝ .
【答案】100°
【解析】∵弧AB=弧AB
∴∠AOB=2∠C=2×50°=100°，
故答案为：100°.
10．如图，在⊙O中，若∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，则∠ACO＝ .
【答案】24°
【解析】∵∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝48°，∠AOB＝2∠ACB＝84°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝132°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝ （180°﹣132°）＝24°.
故答案为：24°.
11．如图，点 在半圆 上，BC是直径， .若 ，则BC的长为 .
【答案】
【解析】∵点A在半圆O上，弧AB=弧AC，
∴AB=AC，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，即三角形BAC为等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴BC=AB=.
故答案为：.
12．已知直角三角形的两条直角边长分别是3厘米，4厘米，则此直角三角形的重心与外心之间的距离为 厘米.
【答案】
【解析】如图：设D为Rt△ABC的外心，G是重心，
∵直角三角形的两条直角边长分别是3 cm，4 cm，
∴由勾股定理可得斜边长AB=5cm，连接CD，
∴斜边AB的中线CD=2.5 cm，
∵D为Rt△ABC的外心，G是重心，
∴由重心的性质可得：GD= cm.
故答案为： .
13．一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的圆周角的度数是 .
【答案】75°或105°
【解析】如图，弦AB分⊙O的圆周为5：7，
∴∠AOB＝ ×360°＝150°，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝105°，
∴这条弦所对的圆周角为：75°或105°.
故答案为：75°或105°.
14．已知扇形的面积为24πcm2，圆心角为216°，则该扇形的弧长是 .
【答案】 cm
【解析】设扇形的半径是rcm，
∵扇形的面积为24πcm2，圆心角为216°，
∴ ＝24π，
解得：r＝2 （负数舍去），
所以扇形的弧长为 ＝ （cm）.
故答案为： cm.
15．如图，点C，D为线段AB的三等分点，以CD为边向上作一个正△OCD，以O为圆心，OA长为半径作弧交OC的延长线于点E，交OD的延长线于点F，若AB=6，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】连接OA、OB，作于点H，如图所示，
，C，D为线段AB的三等分点，是等边三角形，
，
，
，
，
阴影部分的面积是：
16．已知线段厘米，厘米，那么线段与的比例中项 厘米.
【答案】
【解析】∵ 线段与的比例中项为c
∴c2=ab=4×3=12
解之：（取正值）
故答案为：.
17．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 ．
【答案】3
【解析】∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，
∴，
∴S△ABC=4S△ADE=4，
∴S四边形DBCE=4-1=3.
18．如图，矩形 被分割为5个全等的长方形，若这5个矩形都与矩形 相似，则 的值是 .
【答案】
【解析】
设AE＝a，
∵五个小矩形全等，
∴AD＝5AE＝5a，
∵每个小矩形都与矩形ABCD相似
∴ ＝
，
∴AB2＝AD AE＝5AE2＝5a2，
AB＝
a，
∴AD：AB＝5a：
a＝
.
故答案为：
.
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，，若四边形BCED的面积为7，则△ADE的面积为 .
【答案】9
【解析】∵∠A=∠A，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
设
，则
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9.
20．如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连结BE并延长交AD延长线于点F.如果DE：EC＝2：3，那么S△DEF：S△ABF＝ .
【答案】4：25
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△DEF∽△ABF，
，
∵DE：EC＝2：3，
∴DE：CD＝DE：AB＝2：5，
∴S△DEF：S△ABF＝4：25.
故答案为：4：25.
21．如图，是的角平分线，，，.则的长为 .
【答案】2
【解析】是的角平分线，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，即，
解得或（舍去），
.
故答案为：2.
22．如图，在△ABC中，点D在AC上，∠ABD=∠C.若AB=2AD=4，则CD的长是 .
【答案】6
【解析】
∵∠ABD=∠C ，∠A=∠A，∴△ABC ∽△ADB，
∴，∴AB =AD·AC，
又∵AB=2AD=4，∴AC=8，
∴CD=AC-AD=8-2=6.
故答案为：6.
23．如图，在ΔABC中，BC＝20，点B1，B2，B3，B4和点C1，C2，C3，C4分别是AB，AC的5等分点，则B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4的值为 。
【答案】40
【解析】∵
∴
∴
∴
同理，
∴
故答案为：40.
24．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米， ，则梯子 的长是 米.
【答案】
【解析】在Rt△ABC中，BC＝4米，
，
∴AB＝
＝
＝
（米）.
故答案为：
.
25．如图，在正方形网格中，点 都是小正方形的顶点， 与 相交于点P，则 的值是 .
【答案】
【解析】如图，过点A作AE平行CD，连结BE
=∠BAE，由图可知：∠BAE=45°，
∴sin∠BPD= sin 45°=
故答案为： .
26．二次函数y=ax2+bx＋c的部分对应值列表如下：
x … -3 0 1 3 5 …
y … 7 -8 -9 -5 7 …
则一元二次方程a(2x＋1)2+b(2x＋1)+c=-5的解为 .
【答案】x1=1，x2＝-1
【解析】由表格得：（-3，-7），（5，7），（1，-9）在二次函数图象上，
∴二次函数 y=ax2+bx＋c的 对称轴为x=1，
设y=a（x-1） -9
又∵（0，-8）在抛物线上，
∴-8=a-9，即a=1，
∴y=（x-1） -9=x -2x-8，
∴b=-2，c=-8，
令2x＋1=m，
∴一元二次方程a(2x＋1)2+b(2x＋1)+c=-5 变形为：m2-2m-3=0，
整理解得：m=3或-1，
∴2x＋1=3或2x＋1=-1，
解得：x1=1，x2=-1.
故答案为：x1=1，x2=-1.
27．如图， 抛物线 与 轴交于点 和点 两点， 与 轴交于点 点为拋物线上第三象限内一动点， 当 时， 点 的坐标为 .
【答案】
【解析】如图
当y＝0时， ，
解之：x＝ 9或1，
∴A（ 9，0），B（1，0），
∴AB＝10，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0， 3），
∵AC2＝92＋32＝90，BC2＝12＋32＝10，AB2＝100，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°，
∴2∠BAC＋2∠ABC＝180°，
∵∠ACD＋2∠ABC＝180°
∴2∠BAC＝∠ACD，
作AE⊥x轴，交CD的延长线与E，作∠ACD的平分线，交AE于F，则∠ACF＝∠BAC，
∴CF∥AB，
∴CF⊥AE，
∴AF＝EF＝BC＝3，
∴E（ 9， 6），
设直线CD的解析式为y＝kx 3，
把E的坐标代入得， 6＝ 9k 3，
∴k＝，
∴直线CD的解析式为y＝x 3，
∴
解之：
∴点D.
故答案为：.
28．某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120 cm，Р是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40 cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE= CP．若∠APE=30°，则BP= cm；伞展开长 PD==300cm，若A，C，D在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为 cm.
【答案】；
【解析】（1）如图，连接AC，
∵E为PC中点， AE= CP，
∴△PAC为直角三角形，
∵∠APE=30°，PC= ，
∴AC=
∴AP=.
（2）如图，连结AC，作DF⊥BF，
∵A，C，D在同一条直线上 ，
∴AD⊥AB，
∴∠CAP=∠PAD=90°
设AC=a，
在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得：PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，
∴( )2-a2=3002-（a+）2，
整理，解得：a=，
∴AD=AC+CD=+=，
∴PD 落到地面的阴影长BF=AD= .
故答案为：；.
29．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝24，点E是BC的中点，连接DE，将△DEC沿DE折叠，点C落在点F处，连接FB，则cos∠FBE＝ .
【答案】
【解析】过点E作EH⊥BF于H，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝ BC＝12，
四边形 是矩形，
，
在Rt△ECD中，由勾股定理得：
DE＝ ＝20，
∵将△DEC沿DE折叠，点C落在点F处，
∴CE＝EF＝BE，∠CED＝∠DEF，
∵EH⊥BF，∴∠BEH＝∠FEH，
∴∠HED＝ ∠BEC＝90°，∴∠BEH+∠CED＝90°，
∠BEH+∠HBE＝90°，
∴∠CED＝∠HBE，
∴cos∠HBE＝cos∠CED＝ .
故答案为： .
30．如图，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE.将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置（点F在正方形ABCD内部），连接DG.若AB＝10，BE＝6，DG∥AF，则CH＝ .
【答案】
【解析】如图，连接AH，过点F作FN⊥CD于点N，FG⊥AD于点G，
∵将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置，
∴AB＝AF，∠ABE＝∠AFG＝90°，BE＝FG＝6，
∴AF＝AD，
在Rt△AFH和Rt△ADH中，
，
∴Rt△AFH≌Rt△ADH（HL），
∴FH＝DH，
∵DG∥AF，
∴∠AFG＝∠DGF＝90°，
在△DHG和△FHN中， ，∴△DHG≌△FHN（AAS），
∴HG＝HN，∴DN＝DH+HN＝FH+HG＝FG＝6，
∵FN⊥CD，FG⊥AD，∠ADC＝90°，∴四边形GDNF是矩形，
∴GD＝FN，GF＝DN＝6，∴AG＝ ＝ ＝8，
∴GD＝2＝FN，
∵FH2＝HN2+FN2，∴DH2＝（6﹣DH）2+4，∴DH＝ ，
∴CH＝DC﹣DH＝ ，
故答案为：.
31．如图，在Rt△ABC中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，，△BED与△FED关于DE对称，则DE的长为 .
【答案】
【解析】过点F作FN⊥AB，垂足为N，过点E作EM⊥NF，交NF的延长线于点M，
∴∠FND=∠FME=90°，
∵∠B=90°，
∴四边形NBEM是矩形，
∴NB=ME，
∵∠BED+∠C=90°，∠C+∠A=90°，
∴∠BED=∠A，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BAC，
∴，
∵△BED与△FED关于DE对称，
∴△BED≌△FED，
∴∠DFE=∠B=90°，DF=BD，EF=BE，
∴，
∵∠FME=90°，
∴∠MEF+∠MFE=90°，
∵∠MFE+∠NFD=90°，
∴∠MEF=∠NFD，
∴△NDF∽△MFE，
∴，
∴设NF=3x，ME=4x，
∵∠ANF=∠B=90°，∠A=∠A，
∴△ANF∽△ABC，
∴，
∴，
∴x=1，
∴NF=3，ME=NB=4，
设BD=DF=y，
则ND=NB-BD=4-y，
在Rt△NDF中，NF2+ND2=DF2，
∴32+（4-y）2=y2，
∴y=，
∴BD=，
∵∠B=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=
∵△BED∽△BAC，
∴，
∴，
∴DE=.
故答案为：.
32．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是 的中点，连接AC交BD于点E，连接AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为 .
【答案】
【解析】如图，连接OC交BD于K，连接BC.
∵ ＝ ，∴OC⊥BD，
∵BE＝4DE，∴可以假设DE＝k.BE＝4k，则DK＝BK＝2.5k，EK＝1.5k，
∵AB是直径，∴∠ADK＝∠DKC＝∠ACB＝90°，
∴AD∥CK，∴AE：EC＝DE：EK，
∴AE：6＝k：1.5k，∴AE＝4，
∵△ECK∽△EBC，∴EC2＝EK EB，∴36＝1.5k×4k，
∵k＞0，∴k＝ ，
，
故答案为 .
33．如图，是半圆的直径，是半圆的弦，沿弦折叠交直径于点.（1）当时，则的长为 ；（2）当，时，则的长为 .
【答案】5；4
【解析】（1）连接CA、CD，如图1所示：
根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，
∵∠CBA＝∠CBD，∴，
∴AC＝CD，
∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，
∵AD＝BD＝5，∴AB＝AD+BD＝10，CD＝ AB＝BD＝5，
∴AC＝CD＝5，
∴BC＝
＝
＝5
，
故答案为：5
；
（2）连接CA、CD，如图2所示：
根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，
∵∠CBA＝∠CBD，∴，
∴AC＝CD，
过点C作CE⊥AB于E，
则AE＝ED＝AD＝×4＝2，∴BE＝BD+DE＝6+2＝8，
∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，∴∠ACB＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠A＝∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，∴＝
，
即CE2＝AE BE＝2×8＝16，
在Rt△BCE中，BC＝ ＝ ＝4 ，
故答案为：4
.
34．如图，已知距离为6的两条平行线 与 分别交于 两点 为直径，且与 不垂直)， D为 上一点， 过 作 的平行线 交 于点 ， 若 ， 则 的长为 .
【答案】
【解析】过点D作DE⊥l1于点E，交l2于点F，
∵l1∥l2，
∴DF⊥l2，
∵l1∥l2∥m，
∴
设DE＝2x，则DF＝3x，
∵EF＝6，
∴2x＋3x＝6，
解之：
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＋∠BDF＝90°，
∵∠ADE＋∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BDF，
∵∠AED＝∠DFB＝90°，
∴△DAE∽△BDF，
∴，
在Rt△BDF中，BD＝6，，
∴，
∴，
∴AD＝3，
在Rt△ABD中，BD＝6，AD＝3，
∴.
故答案为：.
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浙教版2023-2024学年九上数学期末常考题型复习1（选择题）
1．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x的增大而增大
2．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
3．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数均为常数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的部分图象如图所示，当函数值时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
7．已知二次函数 ，它的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
9．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币正面向上
B．从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃A
C．今天太阳从西边升起
D．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服
10．抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．点数是奇数 B．点数是3的倍数
C．点数大于5 D．点数小于5
11．一个不透明的布袋中装有1个白球和2个红球，它们除颜色不同以外其他都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．1
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
13．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
14．如图，在中，分别是、上的点，，与相交于，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．点F在ABCD的边AD上，BA、CF的延长线交于点E，若，则四边形ABCF与的面积之比是（ ）
A．9：4 B．8：3 C．3：2 D．2：1
16．若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，，直线与，，分别交于点和点，若，，则DE的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
18．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 的方向行走4.5米至点F，此时影子 为1米，则路灯BM的高度为（ ）
A．3米 B．3.5米 C．4.5米 D．6米
20．如图，在中，点是上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
21．如果正多边形的一个内角是 ，则这个多边形是（ ）
A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形
22．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．24 B．22 C．12 D．6
23．如图，在中，.是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点.若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
24．如图为一座拱形桥示意图，桥身（弦）长度为8，半径垂直于点，，则桥拱高为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
25．如图，中，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
27．二次函数中当时随的增大而增大，则一次项系数满足（ ）
A． B． C． D．
28．已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
29．设函数，.直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
30．二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
31．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
32．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
33．如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，已知，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
34．一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形.设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
36．如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点，若点为中点，则长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
37．如图，等边△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E分别为AB，AC边上的中点，延长DE交⊙O于点F，若BC=2，则EF=（ ）
A． B． C． D．
38．如图，在四边形 中，以 为直径的 恰好经过点 ， ， 交于点 ，已知 平分 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
39．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
40．如图，四边形ABCD是正方形，过点A，B的圆O与射线AD交于点E，过点C的直径与射线AD交于点F，若 ，则tan∠CFD等于（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．2或
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浙教版2023-2024学年九上数学期末常考题型复习2（填空题）
1．用抽签的办法从甲，乙，丙，丁四位同学中，任选一位同学去打扫公共场地，选中甲同学的概率是 ．
2．某超市质检人员为了检测某品牌产品的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品一件，由此估计这批产品中的次品件数是 件.
3．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号为1﹣7的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是 .
4．布袋中装有1个红球和2个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率为 .
5．抛物线 与 轴的交点坐标是 .
6．若二次函数 的图象经过点 ，则 的值为 .
7．一抛物线的形状，开口方向与 相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为 ．
8．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”.现将二次函数（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为，则新抛物线的函数表达式为 .
9．如图，点A，B，C是上的三个点，∠C＝50°，则∠AOB＝ .
10．如图，在⊙O中，若∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，则∠ACO＝ .
11．如图，点 在半圆 上，BC是直径， .若 ，则BC的长为 .
12．已知直角三角形的两条直角边长分别是3厘米，4厘米，则此直角三角形的重心与外心之间的距离为 厘米.
13．一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的圆周角的度数是 .
14．已知扇形的面积为24πcm2，圆心角为216°，则该扇形的弧长是 .
15．如图，点C，D为线段AB的三等分点，以CD为边向上作一个正△OCD，以O为圆心，OA长为半径作弧交OC的延长线于点E，交OD的延长线于点F，若AB=6，则阴影部分的面积为 ．
16．已知线段厘米，厘米，那么线段与的比例中项 厘米.
17．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 ．
18．如图，矩形 被分割为5个全等的长方形，若这5个矩形都与矩形 相似，则 的值是 .
19．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，，若四边形BCED的面积为7，则△ADE的面积为 .
20．如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连结BE并延长交AD延长线于点F.如果DE：EC＝2：3，那么S△DEF：S△ABF＝ .
21．如图，是的角平分线，，，.则的长为 .
22．如图，在△ABC中，点D在AC上，∠ABD=∠C.若AB=2AD=4，则CD的长是 .
23．如图，在ΔABC中，BC＝20，点B1，B2，B3，B4和点C1，C2，C3，C4分别是AB，AC的5等分点，则B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4的值为 。
24．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离BC为4米， ，则梯子 的长是 米.
25．如图，在正方形网格中，点 都是小正方形的顶点， 与 相交于点P，则 的值是 .
26．二次函数y=ax2+bx＋c的部分对应值列表如下：
x … -3 0 1 3 5 …
y … 7 -8 -9 -5 7 …
则一元二次方程a(2x＋1)2+b(2x＋1)+c=-5的解为 .
27．如图， 抛物线 与 轴交于点 和点 两点， 与 轴交于点 点为拋物线上第三象限内一动点， 当 时， 点 的坐标为 .
28．某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120 cm，Р是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40 cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE= CP．若∠APE=30°，则BP= cm；伞展开长 PD==300cm，若A，C，D在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为 cm.
29．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝24，点E是BC的中点，连接DE，将△DEC沿DE折叠，点C落在点F处，连接FB，则cos∠FBE＝ .
30．如图，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE.将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置（点F在正方形ABCD内部），连接DG.若AB＝10，BE＝6，DG∥AF，则CH＝ .
31．如图，在Rt△ABC中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，，△BED与△FED关于DE对称，则DE的长为 .
32．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是 的中点，连接AC交BD于点E，连接AD，若BE＝4DE，CE＝6，则AB的长为 .
33．如图，是半圆的直径，是半圆的弦，沿弦折叠交直径于点.（1）当时，则的长为 ；（2）当，时，则的长为 .
34．如图，已知距离为6的两条平行线 与 分别交于 两点 为直径，且与 不垂直)， D为 上一点， 过 作 的平行线 交 于点 ， 若 ， 则 的长为 .
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