浙教版八年级数学上册试题 2.6 直角三角形（含答案）

2.6 直角三角形
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠A＝70°，那么另一个锐角∠B的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是（　　）
A．3 B．4 C．2或6 D．2或4
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，若∠B＝20°，则∠DAC＝（　　）
A．90° B．20° C．45° D．70°
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠A＝25°，则∠ADE的大小为（　　）
A．40° B．50° C．65° D．75°
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D为AB的中点，若AC＝2，则CD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（　　）
A．10° B．12° C．15° D．18°
7．如图，在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边上的中线、高线．若∠A＝25°，则∠DCE的大小为（　　）
A．50° B．40° C．30° D．25°
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D是AB的中点，且DE＝BE，则∠C的度数是（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（　　）
A．19° B．33° C．34° D．43°
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（　　）
A．7+ B．10 C．4+2 D．11
11．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，D为AC边上一动点，O为BD中点，DE⊥AB，垂足为E，连结OE，CO，延长CO交AB于F，设∠BAC＝α，则（　　）
A．∠EOF＝α B．∠EOF＝2α C．∠EOF＝180°﹣α D．∠EOF＝180°﹣2α
二．填空题
12．如图，在Rt△ABC中，∠C═90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE＝25°，则∠CAB＝　 　．
13．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝　 　度．
14．在下列条件中①∠A：∠B：∠C＝1：1：2，②∠A+∠B＝∠C，③∠B＝90°﹣∠A，④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有　 　
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，以点C为圆心，CD长为半径画弧交BA的延长线于点E，设∠B＝x，∠ACE＝y．则y与x的关系式为　 　．
16．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠COE＝　 　度．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB，若DC＝5，则AF的长为　 　．
18．如图，已知Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点P是边AB上一点，点M，N分别是边BC和BC延长线上的点，∠MPB＝∠NPA，∠PNB＝∠FNG，线段PM的延长线和射线NF的反向延长线交于点Q，若∠CAB＝50°，则∠Q＝　 　．
三．解答题
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．
20．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是AC，BD的中点．
求证：EF⊥BD．
21．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．
（1）求证：∠ACE＝∠ABC；
（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；
（3）求证：∠CEF＝∠CFE．
22．如图，AD是△ABC的高线，且BD＝AC，E是AC的中点，连结BE，取BE的中点F，连结DF，求证：DF⊥BE．
23．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．
（1）求∠EDC的度数．
（2）求证：BF＝AE．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是△ABC的角平分线，CD⊥AB，垂足D，延长CE与外角∠ABG的平分线交于点F．
（1）若∠A＝60°，求∠DCE和∠F的度数；
（2）若∠A＝n°（0＜n＜90）直接写出用含n的代数式表示∠DCE和∠F．
（3）在图中画△FCB高FH和∠DCB的角平分线交于点Q，在（2）的条件下求∠CQH的度数，请直接写出∠CQH的度数．
25．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
答案
一．选择题
B．C．B．A．A．C．B．C．B．D．B．
二．填空题
12．50°．
13．20．
14．①②③④⑤．
15．y＝90°﹣3x．
16．75．
17．10．
18．80°．
三．解答题
19．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，
∴∠CBD＝126°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝63°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，
∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．
又∵∠F＝27°，
∴∠F＝∠CEB＝27°，
∴DF∥BE
20．解：连接BE、DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴EB＝ED＝AC，
∴△BED是等腰三角形，
∵F是BD的中点，
∴EF是BD中线，
∴EF⊥DB．
21．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠D．
∵∠D＝∠ABC，
∴∠ACE＝∠ABC；
（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴AD∥BC，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠BEC+∠EBC＝90°，
∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，
∴∠ABC+∠ECD＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC
∴2∠EBC+∠ECD＝90°，
∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，
即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；
（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，
∴∠ABF+∠CFE＝90°，
∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，
∴∠CEF＝CFE．
22．证明：连结DE，
∵AD是△ABC的高线，E是AC的中点，
∴，
又∵，
∴DE＝BD．
又∵F是BE的中点，
∴DF⊥BE．
23．解：（1）∵∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵∠FBC＝2∠FBD．
∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，
∵∠ABC＝90°，点F是AC中点，
∴AF＝BF＝CF，
∴∠C＝∠FBC＝30°，
∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°；
（2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB，
∴AB＝AF＝BF，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD，
∴AB＝AE，
∴AE＝BF．
24．解：（1）∵CD⊥AB，∠A＝60°，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，
∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝150°，
∵BF平分∠ABG，
∴∠FBG＝∠ABG＝75°，
∵∠FBG＝∠F+∠FCB，
∴∠F＝75°﹣45°＝30°．
（2）∵CD⊥AB，∠A＝n°，
∴∠ADC＝90°，∠ACD＝90°﹣n°，
∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠FCB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝45°﹣90°+n°＝n°﹣45°，
∵∠ABG＝∠A+∠ACB＝90°+n°，
∵BF平分∠ABG，
∴∠FBG＝∠ABG＝45°+n°
∵∠FBG＝∠F+∠FCB，
∴∠F＝n°．
（3）如图，∵FH⊥CG，
∴∠FHC＝90°，
∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°
∴∠A＝∠DCB＝n°，
∵CQ平分∠DCB，
∴∠QCH＝n°，
∴∠CQH＝90°﹣n°．
25．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连结DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．