浙教版八年级数学上册试题 2.7 探索勾股定理（含答案）

2.7 探索勾股定理
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，则c的长为（　　）
A．14 B．12 C．10 D．7
2．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．AC＝1，BC＝2，
C．AC＝6，BC＝8，AB＝10 D．，，
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A．13cm2 B．26cm2 C．48cm2 D．52cm2
4．如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（　　）
A．66 B．16 C．32 D．2306
5．如图，在△ABC中，点D是AB中点，BE⊥AC垂足为E，连接DE，若∠ABE＝30°，∠C＝45°，DE＝2，则BC的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．2
6．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（　　）
A．5 B． C．5或 D．3或4
7．校园内有两棵树，相距8米，一棵树高为13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（　　）
A．10米 B．11米 C．12米 D．13米
8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（　　）
A．6 B．7 C．12 D．15
9．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则（a+b）2的值为（　　）
A．60 B．79 C．84 D．90
10．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（　　）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
二．填空题
11．△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，若AD是BC上的高，且AD＝4cm．则AB的长为　 　cm．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，BC＝，则CD为　 　．
13．如图所示，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC＝13，BC＝5，AD＝16，则BD的长为　 　．
14．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝1，CD＝2，DA＝且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是　 　．
15．若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是_____（填序号）．
16．已知△ABC是边长为6的等边三角形，过点B作AC的垂线l，垂足为D，点P为直线l上的点，作点A关于CP的对称点Q，当△ABQ是等腰三角形时，PD的长度为　 　．
17．课本中有这样的一句话：“利用勾股定理可以作出，，…等线段”（如图所示），即：OA＝1，过点A作AA1⊥OA且AA1＝1，根据勾股定理，得OA1＝；再过点A1作A1A2⊥OA1，且A1A2＝1，得OA2＝；…，以此类推，OA2020＝　 　．
三．解答题
18．如图，在△ABC中，D是AB的中点，AC＝2，BC＝2，AB＝2，延长AC
到E，使得CE＝CD，连接BE．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）求线段BE的长度．
19．如图，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m．
（1）试判断以点A，B，C为顶点的三角形的形状，并说明理由；
（2）求该图的面积．
20．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，点E为AB的中点，DE⊥AB交AB于点E，DE＝，BC＝2，CD＝4．
（1）求∠ABC的度数．
（2）求CE的长．
21．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝，求AC的长；
（2）已知△ABC中，BC＝1，AC＝，AB＝2，求证：△ABC是直角三角形．
22．如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．
23．如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
24．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2．求证：AB＝BC．
答案
一．选择题
C．D．A．A．D．C．A．C．D．A．
二．填空题
11．2．
12．2．
13．20．
14．+．
15．①②④．
16．3或6﹣3或或3+6．
17．．
三．解答题
18．（1）证明：∵在△ABC中，AC＝2，BC＝2，AB＝2，
∴AC2＝4，BC2＝8，AB2＝12，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴∠ACB＝90°；
（2）由（1）知，∠ACB＝90°，则∠BCE＝90°．
∵D是AB的中点，AB＝2，CE＝CD，
∴CE＝CD＝AB＝．
∴在直角△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝．
19．解：（1）以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形，
理由是：
∵∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，
∴由勾股定理得：AC＝＝5cm，
∵AB＝13m，BC＝12m，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
即以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形；
（2）图形的面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝＝＝24（cm）2．
20．解：（1）连接BD，作CF⊥AB于F，如图所示：
则∠BFC＝90°，
∵点E为AB的中点，DE⊥AB，
∴BD＝AD，AE＝BE，
∵∠DAB＝30°，
∴∠DBE＝∠DAB＝30°，BD＝AD＝2DE＝2，AE＝BE＝DE＝3，
∵BC2+BD2＝22+（2）2＝16＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+90°＝120°；
（2）由（1）可得：∠CBF＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴∠BCF＝30°，∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝30°，
∴BF＝BC＝1，CF＝BF＝，
∴EF＝BE+BF＝4，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE＝＝．
21．（1）解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝，
∴AC＝，
＝＝，
＝3．
（2）证明：∵在△ABC中，BC＝1，AC＝，AB＝2，
BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
22．解：（1）∵AC＝21，AD＝16，
∴CD＝AC﹣AD﹣5，
∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC．
（2）当DE⊥AB时，DE最短，
∵AB＝＝＝20，
∵ AD DB＝ AB DE，
∴DE＝＝9.6，
∴线段DE使得最小值为9.6．
23．解：设CE＝x，则DE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2＝82+x2，
在Rt△BDE中，BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：AE＝BE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距C点13.3km，
即CE＝13.3km．
24．证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2．
∵在△ACD中，CD⊥AD，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴AB2+BC2＝AD2+CD2，
又AD2＝2AB2﹣CD2，
∴AB2+BC2＝2AB2﹣CD2+CD2，
即AB2＝BC2，
∴AB＝BC．