浙教版九年级数学上册试题 1.3二次函数的性质（含答案）

1.3二次函数的性质
一．选择题
1．对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
2．若抛物线y＝x2+mx+n的顶点在x轴上，且过点A（a，b），B（a+6，b），则b的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．0
3．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论不正确的是（　　）
A．a＝2
B．顶点的坐标为（1，﹣4）
C．当﹣1＜x＜3时，y＞0
D．当x＞3时，y 随着x的增大而增大
4．二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
5．二次函数y＝ax2﹣8ax（a为常数）的图象不经过第三象限，在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为﹣3，则a的值是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
6．使关于x的二次函数y＝﹣x2+（a﹣2）x﹣3在y轴右侧y随x的增大而减小，且使得关于x的分式方程有整数解的整数a的和为（　　）
A．1 B．﹣2 C．8 D．10
7．已知抛物线与二次函数y＝﹣3x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x+1）2+3
8．二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1≤x≤2时，则（　　）
A．1≤y≤4 B．y≤5 C．4≤y≤5 D．1≤y≤5
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x 0 1 3 4 5
y ﹣5 ﹣ ﹣ ﹣5 ﹣
根据表，下列判断正确的是（　　）
A．该抛物线开口向上
B．该抛物线的对称轴是直线x＝1
C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣）
D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
10．下列关于二次函数的说法错误的是（　　）
A．二次函数y＝（x+2）2﹣2的顶点坐标是（﹣2，﹣2）
B．抛物线y＝﹣x2+2x+1，当x＜0时y随x的增大而增大
C．函数y＝2x2+4x﹣3的图象的最低点坐标为（﹣1，﹣5）
D．点A（3，0）不在抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象上
11．函数y＝x2具有的性质是（　　）
A．无论x取何值，y总是正的
B．图象的对称轴是y轴
C．y随x的增大而增大
D．图象在第一、三象限
12．已知点（﹣9，y1），（4，y2），（﹣2，y3）都在抛物线y＝ax2+m（a＞0）上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
二．填空题
13．抛物线y＝﹣2x2+5x﹣3与y轴的交点坐标是　 　，与x轴的交点坐标是　 　．
14．二次函数y＝x2﹣2x+1在3≤x≤5范围内的最小值为　 　．
15．已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式　 　．
16．已知二次函数y＝2x2+9x+34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值是　 　．
17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．则该抛物线的解析式是　 　．
18．已知抛物线y＝2（x﹣1）2+1，当0＜x＜3时，y的取值范围是　 　．
19．已知当x满足﹣4≤x≤1时，关于x的二次函数y＝ax2+4ax+a2﹣1有最大值为5，则实数a的值为　 　．
三．解答题
20．用配方法求下列各个二次函数的最大值或最小值．
（1）y＝x2﹣3x+2
（2）y＝﹣x2﹣2x+1
21．已知二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当﹣1≤x≤4时，求y的取值范围．
22．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
23．已知二次函数y＝x2+bx+2b（b是常数）．
（1）若函数图象过（1，4），求函数解析式；
（2）设函数图象顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数关系式；
（3）若函数图象不经过第三象限时，当﹣5≤x≤3时，函数的最大值和最小值之差是20，求b的值．
24．已知抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+c（a，c是常数，且a≠0），过点（0，2）．
（1）求c的值，并通过计算说明点（2，4）是否也在该抛物线上；
（2）若该抛物线与直线y＝5只有一个交点，求a的值；
（3）若当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
25．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；
（3）已知抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．
答案
一．选择题
C．A．C．B．A．A．D．D．C．D．B．C．
二．填空题
13．（0，﹣3）；（，0），（1，0）．
14．4．
15．y＝x2﹣1．
16．34．
17．y＝﹣x2+2x+3．
18．1≤y＜9．
19．1或2﹣．
三．解答题
20．解：（1）y＝x2﹣3x+2
＝（x2﹣3x+）﹣+2
＝﹣（x﹣）2﹣．
∵二次项系数为﹣1＜0，
∴当x＝时，y取最大值﹣；
（2）y＝﹣x2﹣2x+1
＝﹣（x2+6x+9）+3+1
＝﹣（x+3）2+4．
∵二次项系数为﹣＜0，
∴当x＝﹣3时，y取最大值4．
21．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+4，
把（0，1）代入得4a+4＝1，解得a＝﹣，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4．
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+4＝﹣；
当x＝4时，y＝﹣（4﹣2）2+4＝1，
当x＝2时，y有最大值4，
所以当﹣1≤x≤4时，y的取值范围为﹣≤y≤4．
22．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2﹣a﹣3＝0，
解得a＝或a＝﹣1，
∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；
（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，
则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．
23．解：（1）将点（1，4）代入y＝x2+bx+2b，
得1+b+2b＝4，
∴b＝1，
∴函数解析式是y＝x2+x+2；
（2）∵y＝x2+bx+2b＝（x+b）2﹣，
设函数图象顶点坐标为（m，n），
∴m＝﹣b，n＝﹣+2b，
∴b＝﹣2m，
∴n＝﹣＝﹣m2﹣4m；
（3）∵y＝（x+b）2﹣，
∴对称轴x＝﹣b，
在y＝x2+bx+2b中，
当x＝﹣5时，y＝25﹣5b+2b＝25﹣3b，
当x＝3时，y＝9+3b+2b＝9+5b，
分两种情况：
①当b≤0时，2b＝c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；
此时y＝x2，当﹣5≤x≤3时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25，此种情况不符合题意；
②当b＞0时，2b＝c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴b2﹣8b≤0，
∴0＜b≤8，
∴﹣4≤x＝﹣＜0，
当﹣5≤x≤3时，函数有最小值﹣+2b，
∵当x＝3和x＝﹣5对称时，对称轴是：x＝﹣1，
∴当﹣4≤﹣＜﹣1时，函数有最大值9+5b，
∵函数的最大值与最小值之差为20，
∴9+5b﹣（﹣+2b）＝20，
∴b＝﹣6+4或﹣6﹣4（舍），
当﹣1＜﹣＜0时，函数有最大值25﹣3b；
∵函数的最大值与最小值之差为20，
∴25﹣3b﹣（﹣+2b）＝20，
∴b＝10﹣4或10+4＞8（舍），
综上所述b＝﹣6+4或b＝10﹣4．
24．解：（1）∵抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+c（a，c是常数，且a≠0），过点（0，2），
∴c＝2，
∴抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+2，
当x＝2时，y＝4a+2（1﹣2a）+2＝4a+2﹣4a+2＝4，
即点（2，4）在该抛物线上；
（2）∵抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+2，该抛物线与直线y＝5只有一个交点，
∴＝5，
解得，a＝，
即a的值是或；
（3）∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+2，
∴当a＜0，≥2，
解得，a；
当a＞0时，，
解得，a，
即a的取值范围是﹣≤a＜0或0＜a≤．
25．（1）证明：①当k＝0时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵△＝（2k+1）2﹣4k×2＝（2k﹣1）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：令y＝0，则kx2+（2k+1）x+2＝0，
解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝﹣，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k＝1．
∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，
由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．
（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y＝0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2＝0恒成立，
则，
解得或．
所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．