浙教版九年级数学上册试题 1.4 二次函数的应用（含答案）

1.4 二次函数的应用
一．选择题
1．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（　　）
A．开口方向向上 B．顶点到x轴的距离是2
C．与x轴有两个交点 D．对称轴是直线x＝﹣1
2．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
3．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（　　）
A．y＝﹣x2+50x B．y＝﹣x2+24x
C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣x2+26x
4．如图，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x．当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．0＜x＜2 B．x＜0 或 x＞2 C．x＜0 或 x＞4 D．0＜x＜4
5．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点坐标如图所示，下列说法中错误的是（　　）
A．一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1
B．抛物线的对称轴是
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．抛物线的顶点坐标是
6．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（　　）
A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0
7．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
8．如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．﹣12＜t＜3 B．﹣12＜t≤4 C．3＜t≤4 D．t＞﹣12
9．已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣2a+9（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞﹣2 B．a＜4 C．﹣2≤a＜4 D．﹣2＜a≤4
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①当x＜0时，y随x增大而增大；
②抛物线一定过原点；
③方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝﹣4；
④当﹣4＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；
⑤a﹣b+c＜0．
其中结论错误的个数有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
11．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：
①a﹣b+c＝0；②2a+b＝0；③4ac﹣b2＞0；④a+b≥am2+bm（m为实数）．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
二．填空题
13．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y（万件）与x之间的关系应表示为　 　．
14．已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为　 　．
15．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是　 　．
16．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是　 　．
17．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是　 　m．
18．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是　 　．
三．解答题
19．某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x≥50），月销量为y件，月销售利润为w元．
（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；
（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？
（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
20．空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为120m．
（1）已知a＝30，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了120m木栏，且围成的矩形菜园而积为1000m2．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜a＜60，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
21．自2023年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2023年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线y＝a（x﹣30）2+100表示．
（1）a＝　 　；
（2）求图1表示的售价p与时间x的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
22．有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．
（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积；
（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出该矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．
23．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，0）及点B（n，3）．
（1）求二次函数的解析式及B的坐标；
（2）根据图象，直按写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是　 　；
（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．
25．已知抛物线y1＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣2，﹣3）．
（1）若点A（1，m），B（3，n）为抛物线上的两点，比较m，n的大小．
（2）当x≥﹣2时，y1≤﹣2，求抛物线的解析式．
（3）无论a取何值，若一次函数y2＝a2x+m总经过y1的顶点，求证：m≥﹣．
26．如图，已知直线y1＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物y2＝ax2+bx+c经过点B，C并与x轴交于点A（﹣1，0）．
（1）求抛物线解析式，并求出抛物线的顶点D坐标　 　；
（2）当y2＜0时、请直接写出x的取值范围　 　；
（3）当y1＜y2时、请直接写出x的取值范围　 　；
（4）将抛物线y2向下平移，使得顶点D落到直线BC上，求平移后的抛物线解析式　 　．
27．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）观察图象，直接写出不等式x2+bx+c＞0的解集；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，点P在该抛物线上滑动且满足S△PAB＝8，请求出此时P点的坐标．
答案
一．选择题
B．D．D．B．C．B．C．B．C．B．C．B．
二．填空题
13．y＝20+20（x+1）+20（x+1）2．
14．y＝﹣x2+x；
15．﹣1＜x＜3．
16．k＞﹣1．
17．3．
18．﹣5≤x≤2．
三．解答题
19．解：（1）由题意得：
y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x，
w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；
（2）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80，
当x＝60时，成本＝40×[500﹣10（60﹣50）]＝16000＞10000不符合要求，舍去，
当x＝80时，成本＝40×[500﹣10（80﹣50）]＝8000＜10000符合要求，
∴销售价应定为每件80元；
（3）w＝﹣10x2+1400x﹣40000，
当x＝70时，w取最大值9000，
故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．
20．解：（1）设AD＝x米，则AB＝，
依题意得，＝1000，
解得x1＝100，x2＝20，
∵a＝30，且x≤a，
∴x＝100舍去，
∴利用旧墙AD的长为20米；
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米，
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得，
S＝（0＜x＜a），
∵0＜a＜60，
∴x＜a＜60时，S随x的增大而增大，
当x＝a时，S最大＝60a﹣，
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得，
S＝（a≤x＜），
当a＜＜时，即0＜a＜40时，
则x＝时，S最大＝
当≤a，即40≤a＜60时，S随x的增大而减小，
∴x＝a时，S最大＝，
综合①②，当0＜a＜40时，
＝＞0，
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米，
当40≤a＜60时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当0＜a＜40时，围成长和宽均为米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；
当40≤a＜60时，围成长为a米，宽为米的矩形菜园面积最大，最大面积为（60﹣）平方米．
21．解：（1）把（10，60）代入y＝a（x﹣30）2+100，得到a＝﹣，
故答案为﹣．
（2）当0≤x＜30时，设P＝kx+b，
把（0，60），（10，80）代入得到，
解得，
∴P＝2x+60．
当30≤x≤40时，设P＝k′x+b′，
把（30，120），（40，100）代入得到，
解得，
∴P＝﹣2x+180．
综上所述，P＝．
（3）设利润为w．
当0≤x＜30时，w＝2x+60﹣（﹣x2+6x+10）＝x2﹣4x+50＝（x﹣20）2+10，
∴当x＝20时，w有最小值，最小值为10（元/千克）．
当30≤x≤40时，
w＝﹣2x+180﹣（﹣x2+6x+10）＝x2﹣8x+170＝（x﹣40）2+10，
∴当x＝40时，最小利润w＝10（元/千克），
综上所述，当20天或40天，最小利润为10元/千克．
22．解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示，过点C作CF⊥AE于点F，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCF为矩形，
∵AB＝AE＝6，BC＝5，
∴S1＝AB BC＝6×5＝30；
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示，过点E作EF∥AB交CD于点F，FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG于点H，
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∵∠DCB＝135°，
∴∠FCH＝45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH＝FG﹣HG＝6﹣5＝1，
∴AG＝AB﹣BG＝6﹣1＝5，
∴S2＝AE AG＝6×5＝30．
（2）能，如图3，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，
∴MG＝BC＝5，BM＝CG，
∵∠DCB＝135°，
∴∠FCG＝45°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴FG＝CG，设AM＝x，则BM＝6﹣x，
∴FM＝GM+FG
＝GM+CG
＝BC+BM
＝11﹣x，
∴S＝AM×FM
＝x（11﹣x）
＝﹣x2+11x
＝﹣（x﹣5.5）2+30.25，
∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25．
23．解：（1）∵二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象经过点A（1，0），
∴（1﹣2）2+m＝0，
解得：m＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1（或y＝x2﹣4x+3），
当y＝3时，（n﹣2）2﹣1＝3
解得：n1＝4，n2＝0（不合题意，舍去）
∴点B的坐标为（4，3）；
（2）由图象可知二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，0）及点B（4，3）
∴当1≤x≤4时，kx+b≥（x﹣2）2+m．
24．解：（1）因为直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，
所以当x＝0时，y＝5，所以C（0，5）
当y＝0时，x＝1，所以A（1，0）
因为抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，
所以c＝5，1+b+5＝0，解得b＝﹣6，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5．
当y＝0时，0＝x2﹣6x+5．解得x1＝1，x2＝5．
所以B点坐标为（5，0）．
答：抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5．
B点坐标为（5，0）；
（2）观察图象可知：
x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是0≤x≤1．
故答案为0≤x≤1．
（3）设M（m，m2﹣6m+5）
因为S△ABM＝S△ABC＝××4×5＝8．
所以×4 |m2﹣6m+5|＝8
所以|m2﹣6m+5|＝±4．
所以m2﹣6m+9＝0或m2﹣6m+1＝0
解得m1＝m2＝3或m＝3±2．
所以M点的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．
答：此时点M的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．
25．解：（1）将点（﹣2，﹣3）坐标代入抛物线y1的表达式得：﹣3＝4a﹣2b﹣3，
解得：b＝2a，故抛物线y1＝ax2+2ax﹣3，
将点A、B坐标分别代入上式得：m＝3a﹣3，n＝9a+6a﹣3＝12a﹣3，
故当a＞0时，m＜n，当a＜0时，m＞n；
（2）当x≥﹣2时，y1≤﹣2，则a＜0，
抛物线的顶点坐标为：（﹣1，﹣3﹣a），
即﹣3﹣a＝﹣2，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2﹣2x﹣3；
（3）y1的顶点坐标代入y2＝a2x+m得：m＝a2﹣a﹣3，
∵1＞0，故m有最小值，此时，a＝时，最小值为﹣，
故m≥﹣．
26．解：（1）对于y1＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，x＝3，
∴B（3，0），
∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
抛物线过点C（0，3），
∴3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x+2x+3，
∴顶点D（1，4）；
（2）由图象知，当y2＜0时、x的取值范围为：x＜﹣1或x＞3；
（3）由图象知当y1＜y2时、x的取值范围为：0＜x＜3；
（4）当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∵抛物线向下平移2个单位，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣2＝﹣x2+2x+1．
故答案为：（1）（1，4）；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝x2+2x+1．
27．解：（1）把A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3，
则（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
故B（3，0），
则不等式x2+bx+c＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3；
（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB＝8，
∴AB |yP|＝8，
∵AB＝3+1＝4，
∴|yP|＝4，
∴yP＝±4，
当点P在x轴上方时，∴yP＝4，
把yP＝4代入解析式得，4＝x2﹣2x﹣3，
解得，x＝1±2，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）．
当点P在x轴下方时，∴yP＝﹣4，
把yP＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3，
解得，x＝1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1，﹣4），
综上所述：P点坐标为：（1+2，4）或（1，﹣4）或（1﹣2，4）．