初中数学浙教版八年级下册4.2.1 平行四边形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·黄陂开学考）如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论一定成立的是（ ）
A．AC=BC B．AO=OC C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，∠BAC=∠DCA≠∠ADB，故B选项成立；A，C，D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质“①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分”即可判断求解.
2．（2020八下·陆川期末）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出 .
3．（2020八下·温州期末）如图，四边形 是平行四边形， 是 延长线上的一点，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】 解： 四边形 是平行四边形，
由邻补角的定义得：
故答案为：A.
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据邻补角的定义即可得.
4．（2020八下·海州期末）平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对边相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，
∴平行四边形不一定具有的性质是C选项.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等进行判断.
5．（2020八下·通榆期末）如图，在 ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ DB＝DC，∠C＝70°，
∴∠CBD=∠C=70°，
∵ ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD=70°，
∵ AE⊥BD ，
∴∠AED=90°，
∴ ∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形的性质和平行四边形的性质得出∠ADB=70°，再由 AE⊥BD 得出∠AED=90°，即可求出 ∠DAE=20°.
6．（2020八下·咸安期末）如图，在 ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质得AD∥BC，
∴∠EDA=∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠EDA，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE=AB=6，
即BE=BC﹣EC=8﹣6=2.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形对边平行及两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解.
7．（2020八下·偃师期末）如图： 的周长为24，A、B、D相交于点O, 交AD于点E，则 的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质得：OB=OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD= ×24=12.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知BE=DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长.
8．（2020八下·安阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝70°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1＝（ ）
A．45° B．55° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=180°-∠B=110°.
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE= ∠BAD=55°.
∴∠AEB=∠DAE=55°
∵CF∥AE
∴∠1=∠AEB=55°.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可.
9．（2020八下·西吉期末）在平行四边形ABCD中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．120° C．100° D．110°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，∠A=∠C
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A：∠B=5：4
∴∠A=100°，∠B=80°
∴∠C=∠A=100°.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可知∠A，∠B互补，再根据已知可以求出∠A，∠B的度数，而∠C是∠A的对角，所以相等即可得出答案.
10．（2020八下·大东期末）平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A．8和16 B．10和16 C．8和14 D．8和12
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】A、两对角线的一半分别为4、8，
∵4+8=12，
∴不能组成三角形，故本选项错误；
B、两对角线的一半分别为5、8，
∵5+8>12，
∴能组成三角形，故本选项正确；
C、两对角线的一半分别为4、7，
∵4+7=11<12，
∴不能组成三角形，故本选项错误；
D、两对角线的一半分别为4、6，
∵4+6=10<12，
∴不能组成三角形，故本选项错误，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，利用三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解.
二、填空题
11．（2020八下·邵阳期末）如图， ABCD的一个外角∠CBE是70°，则∠D的大小是 ．
【答案】110°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ABCD的一个外角∠CBE是70°
又 ABCD
故答案为： ．
【分析】通过邻角互补得： ，又平行四边形对角相等即可得出∠D的大小．
12．（2020八下·姜堰期末）如图，在 ABCD中，E是边BC上一点，且AB=BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F=62°，则∠D= °.
【答案】56
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B，AB∥CD，∴∠BAE=∠F=62°.
∵AB=BE，∴∠AEB=∠BAE=62°，∴∠B=180°﹣2×62°=56°，∴∠D=56°.
故答案为：56.
【分析】根据平行四边形性质得∠D=∠B，AB∥CD，推出∠BAE=∠F=62°，根据等腰三角形性质得∠AEB=∠BAE=62°，根据三角形内角和定理可得∠B的度数，进而根据平行四边形的对角相等即可得出答案.
13．（2020八下·大理期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是 ， ， ，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点共有 个.
【答案】3
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
①AB为对角线时，点D的坐标为（3，-3），
②BC为对角线时，点D的坐标为（7，3），
③AC为对角线时，点D的坐标为（-3，3），
综上所述，点D的坐标是（7，3），（-3，3），（3，-3）.
故答案为：3.
【分析】作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解.
14．（2020八下·兴化期末）如图，平行四边形ABCD中，AB=15，BC=7，AC=20，则BD的长度为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：作AE⊥CB交CB的延长线于点E，作AF∥DB交CB的延长线于点F，
设BE＝x，
∵AB＝15，BC＝7，AC＝20，
∴CE＝7+x，
∵∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴ ，
即 ，
解得，x＝9
∴BE＝9，AE＝12，
∵AF∥DB，AD∥FB，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴AD＝FB，AF＝DB，
∴FB＝7，
∴EF＝2，
∴AF＝ ＝ ＝2 ，
∴BD＝2 ，
故答案为：2 .
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理，可以得到BE和AE的长，再根据平行四边形的性质，可以得到AF＝DB，AD＝FB，从而可以得到EF的长，再根据勾股定理即可得到AF的长，从而可以求得BD的长.
三、解答题
15．（2020八下·曲阜期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中 ，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴ED＝BF，
∴BD﹣CF＝BD﹣DE，
∴BE＝DF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD然后证明△ABF≌△CDE，进而可得BF＝DE，再利用等式的性质进行计算即可．
16．（2020八下·金华期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使BE=CD，连结AE交CD于点F。
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AB=AC
∴∠E=∠DAE
∵BE=CD
∴AB=BE
∴∠BAE=∠E
∴∠BAE=∠DAE
∴AE平分∠BAD
（2）解：∵AB=BE，∠E=60°
∴△ABE是等边三角形
∴AE=AB=4
∵BE⊥AE
∴AF=EF=2
∴BF=
∵AD∥BC
∴∠D=∠ECF,∠DAF=∠E
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(AAS)
∴S△ADF=S△ECF
∴S ABCD=S△ABE= AE·BF= ×4×2 =4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可证得AD∥BC，AB=AC，利用平行线的性质及角平分线的性质，就推出∠E=∠DAE，∠BAE=∠E，即可得到∠BAE=∠DAE，从而可证得结论。
（2）利用已知易证△ABE是等边三角形，利用等边三角形的性质求出AE，AF，EF的长，再利用勾股定理求出BF的长，利用AAS证明△ADF≌△ECF，可得到S△ADF=S△ECF，然后求出平行四边形ABCD的面积。
17．（2020八下·温州期中）如图：在平面直角坐标系中，点A在X轴的正半轴，OA=8 ,点B在第一象限，∠AOB=60°，AB⊥OB垂足为B, 点D、C分别在边OB、OA上，且OD=AC=t,以OD、OC为边作平行四边形OCED,DE交直线AB为F,CE交直线AB为点G.
（1）当t=2时， 则E的坐标为
（2）若ΔDFC的面积为 ，求t的值。
（3）当D、 B 、G、 E四点为顶点的四边形为平行四边形时，在Y轴上存在点M,过点M作FC的平行线交直线OB为点N，若以M、 N、 F、 C为顶点的四边形也是平行四边形，则点M的坐标为 （直接写出答案）
【答案】（1）(7， )
（2）解：过点D作DH⊥OA与点H，
∵∠AOB=60°，OD=t
∴OH= ，DH= 和DB=4-t DF=8-2t
∵S△DEF=
∴
解得：t1=1，t2=3
（3） 或
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）过点E作EM⊥OA
∵四边形OCED是平行四边形，∠AOB=60°
∴∠ECM=∠AOB=60°
∵OD=t=2
∴CE=OD=2
∴CM=、EM=
∵OA=8、AC=2
∴OM=7
∴E的坐标为(7、)
（3）当M在Y轴负半轴时，根据题意作图如下：
作DH⊥OA、FP⊥OA、NQ⊥OM
∵四边形NMCF是平行四边形
∴NM=FC
∵∠NQM=∠FPC=90°、∠NMQ=∠CFP
∴△NMQ≌△CFP
∴NQ=CP、QM=FP
∵OA=8，∠AOB=60°，AB⊥OB
∴OB=
∵OD=AC=t
∴DB=4-t
∵四边形DBGE为平行四边形
∴GE=DB=4-t
∵CG=
∴CE=CG+GE=+（4-t）=4-
∵CE=OD
∴4-=t
解得t=
∵OD=t、∠AOB=60°
∴DH=
∵OH=、DF=8-2t
∴PC=OC-OH-HP=OC-OH-DF=(8-t)--（8-2t）==
∴NQ=CP=
∴OQ=
∴OM=OQ+QM=
∴M的坐标为
当M在Y轴正半轴时，同理可得M的坐标为
故答案为：或
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及30°角直角三角三角形的性质即可得到答案；
（2）根据三角形的面积公式列方程即可得到答案；
（3）根据题意M在Y轴的正半轴和负半轴分别有一个点满足题意，根据题意作图，首先证明△NMQ≌△CFP，再根据行四边形DBGE的性质以及30°角直角三角三角形的性质算出t值，即可得到答案.
1 / 1初中数学浙教版八年级下册4.2.1 平行四边形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·黄陂开学考）如图，在 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论一定成立的是（ ）
A．AC=BC B．AO=OC C． D．
2．（2020八下·陆川期末）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020八下·温州期末）如图，四边形 是平行四边形， 是 延长线上的一点，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八下·海州期末）平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对边平行
C．对角线互相垂直 D．对边相等
5．（2020八下·通榆期末）如图，在 ABCD中，DB＝DC，∠C＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE等于（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
6．（2020八下·咸安期末）如图，在 ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
7．（2020八下·偃师期末）如图： 的周长为24，A、B、D相交于点O, 交AD于点E，则 的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
8．（2020八下·安阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝70°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1＝（ ）
A．45° B．55° C．50° D．60°
9．（2020八下·西吉期末）在平行四边形ABCD中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．120° C．100° D．110°
10．（2020八下·大东期末）平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A．8和16 B．10和16 C．8和14 D．8和12
二、填空题
11．（2020八下·邵阳期末）如图， ABCD的一个外角∠CBE是70°，则∠D的大小是 ．
12．（2020八下·姜堰期末）如图，在 ABCD中，E是边BC上一点，且AB=BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F=62°，则∠D= °.
13．（2020八下·大理期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是 ， ， ，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点共有 个.
14．（2020八下·兴化期末）如图，平行四边形ABCD中，AB=15，BC=7，AC=20，则BD的长度为 .
三、解答题
15．（2020八下·曲阜期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAF＝∠DCE．求证：BE＝DF．
16．（2020八下·金华期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使BE=CD，连结AE交CD于点F。
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积。
17．（2020八下·温州期中）如图：在平面直角坐标系中，点A在X轴的正半轴，OA=8 ,点B在第一象限，∠AOB=60°，AB⊥OB垂足为B, 点D、C分别在边OB、OA上，且OD=AC=t,以OD、OC为边作平行四边形OCED,DE交直线AB为F,CE交直线AB为点G.
（1）当t=2时， 则E的坐标为
（2）若ΔDFC的面积为 ，求t的值。
（3）当D、 B 、G、 E四点为顶点的四边形为平行四边形时，在Y轴上存在点M,过点M作FC的平行线交直线OB为点N，若以M、 N、 F、 C为顶点的四边形也是平行四边形，则点M的坐标为 （直接写出答案）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，AB∥CD，∠BAC=∠DCA≠∠ADB，故B选项成立；A，C，D选项错误.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质“①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分”即可判断求解.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出 .
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】 解： 四边形 是平行四边形，
由邻补角的定义得：
故答案为：A.
【分析】先根据平行四边形的性质可得 ，再根据邻补角的定义即可得.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，
∴平行四边形不一定具有的性质是C选项.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等进行判断.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ DB＝DC，∠C＝70°，
∴∠CBD=∠C=70°，
∵ ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD=70°，
∵ AE⊥BD ，
∴∠AED=90°，
∴ ∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°.
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形的性质和平行四边形的性质得出∠ADB=70°，再由 AE⊥BD 得出∠AED=90°，即可求出 ∠DAE=20°.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质得AD∥BC，
∴∠EDA=∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠EDA，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE=AB=6，
即BE=BC﹣EC=8﹣6=2.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形对边平行及两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质得：OB=OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD= ×24=12.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知BE=DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长.
8．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=180°-∠B=110°.
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE= ∠BAD=55°.
∴∠AEB=∠DAE=55°
∵CF∥AE
∴∠1=∠AEB=55°.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对边平行和角平分线的定义，以及平行线的性质求∠1的度数即可.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，∠A=∠C
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A：∠B=5：4
∴∠A=100°，∠B=80°
∴∠C=∠A=100°.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可知∠A，∠B互补，再根据已知可以求出∠A，∠B的度数，而∠C是∠A的对角，所以相等即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】A、两对角线的一半分别为4、8，
∵4+8=12，
∴不能组成三角形，故本选项错误；
B、两对角线的一半分别为5、8，
∵5+8>12，
∴能组成三角形，故本选项正确；
C、两对角线的一半分别为4、7，
∵4+7=11<12，
∴不能组成三角形，故本选项错误；
D、两对角线的一半分别为4、6，
∵4+6=10<12，
∴不能组成三角形，故本选项错误，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，利用三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解.
11．【答案】110°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ABCD的一个外角∠CBE是70°
又 ABCD
故答案为： ．
【分析】通过邻角互补得： ，又平行四边形对角相等即可得出∠D的大小．
12．【答案】56
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B，AB∥CD，∴∠BAE=∠F=62°.
∵AB=BE，∴∠AEB=∠BAE=62°，∴∠B=180°﹣2×62°=56°，∴∠D=56°.
故答案为：56.
【分析】根据平行四边形性质得∠D=∠B，AB∥CD，推出∠BAE=∠F=62°，根据等腰三角形性质得∠AEB=∠BAE=62°，根据三角形内角和定理可得∠B的度数，进而根据平行四边形的对角相等即可得出答案.
13．【答案】3
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
①AB为对角线时，点D的坐标为（3，-3），
②BC为对角线时，点D的坐标为（7，3），
③AC为对角线时，点D的坐标为（-3，3），
综上所述，点D的坐标是（7，3），（-3，3），（3，-3）.
故答案为：3.
【分析】作出图形，分AB、BC、AC为对角线三种情况进行求解.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：作AE⊥CB交CB的延长线于点E，作AF∥DB交CB的延长线于点F，
设BE＝x，
∵AB＝15，BC＝7，AC＝20，
∴CE＝7+x，
∵∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴ ，
即 ，
解得，x＝9
∴BE＝9，AE＝12，
∵AF∥DB，AD∥FB，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴AD＝FB，AF＝DB，
∴FB＝7，
∴EF＝2，
∴AF＝ ＝ ＝2 ，
∴BD＝2 ，
故答案为：2 .
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理，可以得到BE和AE的长，再根据平行四边形的性质，可以得到AF＝DB，AD＝FB，从而可以得到EF的长，再根据勾股定理即可得到AF的长，从而可以求得BD的长.
15．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中 ，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴ED＝BF，
∴BD﹣CF＝BD﹣DE，
∴BE＝DF．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD然后证明△ABF≌△CDE，进而可得BF＝DE，再利用等式的性质进行计算即可．
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AB=AC
∴∠E=∠DAE
∵BE=CD
∴AB=BE
∴∠BAE=∠E
∴∠BAE=∠DAE
∴AE平分∠BAD
（2）解：∵AB=BE，∠E=60°
∴△ABE是等边三角形
∴AE=AB=4
∵BE⊥AE
∴AF=EF=2
∴BF=
∵AD∥BC
∴∠D=∠ECF,∠DAF=∠E
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(AAS)
∴S△ADF=S△ECF
∴S ABCD=S△ABE= AE·BF= ×4×2 =4
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可证得AD∥BC，AB=AC，利用平行线的性质及角平分线的性质，就推出∠E=∠DAE，∠BAE=∠E，即可得到∠BAE=∠DAE，从而可证得结论。
（2）利用已知易证△ABE是等边三角形，利用等边三角形的性质求出AE，AF，EF的长，再利用勾股定理求出BF的长，利用AAS证明△ADF≌△ECF，可得到S△ADF=S△ECF，然后求出平行四边形ABCD的面积。
17．【答案】（1）(7， )
（2）解：过点D作DH⊥OA与点H，
∵∠AOB=60°，OD=t
∴OH= ，DH= 和DB=4-t DF=8-2t
∵S△DEF=
∴
解得：t1=1，t2=3
（3） 或
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】（1）过点E作EM⊥OA
∵四边形OCED是平行四边形，∠AOB=60°
∴∠ECM=∠AOB=60°
∵OD=t=2
∴CE=OD=2
∴CM=、EM=
∵OA=8、AC=2
∴OM=7
∴E的坐标为(7、)
（3）当M在Y轴负半轴时，根据题意作图如下：
作DH⊥OA、FP⊥OA、NQ⊥OM
∵四边形NMCF是平行四边形
∴NM=FC
∵∠NQM=∠FPC=90°、∠NMQ=∠CFP
∴△NMQ≌△CFP
∴NQ=CP、QM=FP
∵OA=8，∠AOB=60°，AB⊥OB
∴OB=
∵OD=AC=t
∴DB=4-t
∵四边形DBGE为平行四边形
∴GE=DB=4-t
∵CG=
∴CE=CG+GE=+（4-t）=4-
∵CE=OD
∴4-=t
解得t=
∵OD=t、∠AOB=60°
∴DH=
∵OH=、DF=8-2t
∴PC=OC-OH-HP=OC-OH-DF=(8-t)--（8-2t）==
∴NQ=CP=
∴OQ=
∴OM=OQ+QM=
∴M的坐标为
当M在Y轴正半轴时，同理可得M的坐标为
故答案为：或
【分析】（1）根据平行四边形的性质以及30°角直角三角三角形的性质即可得到答案；
（2）根据三角形的面积公式列方程即可得到答案；
（3）根据题意M在Y轴的正半轴和负半轴分别有一个点满足题意，根据题意作图，首先证明△NMQ≌△CFP，再根据行四边形DBGE的性质以及30°角直角三角三角形的性质算出t值，即可得到答案.
1 / 1
