九年级数学上册试题 4.4 两个三角形相似的判定-浙教版（含答案）

4.4 两个三角形相似的判定
一．选择题
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（　　）
①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
2．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE＝4cm，则BC的长是（　　）
A．7cm B．10cm C．13cm D．15cm
3．如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F．则图中相似三角形的对数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，∠AEG＝∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，交BC于点D，若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD BD
C．AC BC＝AB CD D．BC2＝AD AB
6．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（　　）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
7．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（　　）
A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD
9．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC＝3，则DF＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
二．填空题
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝2，则CD的长为　 　．
11．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，D是AB上一点且AD＝2cm，点E在边AC上，当AE＝　 　cm时，使得△ADE与△ABC相似．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＞90°，∠ABC＝2∠C，BD是∠ABC的平分线，AB＝，BD＝2，则AD为　 　．
13．如图，BC是⊙O的弦，A是劣弧BC上一点，AD⊥BC于D，若AB+AC＝10，⊙O的半径为6，AD＝2，则BD的长为　 　．
14．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2＝CE CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2．则BO的长是　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，点F在BC上，且BF＝2FC，AF与DE，DB分别相交于点G，H，则的值为　 　．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，＝．
（1）求证：∠APD＝∠C；
（2）如果AB＝3，DC＝2，求AP的长．
18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试说明：
（1）△ABE∽△ACD；
（2）AD BC＝DE AC．
19．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AC＝3，BC＝4，且AC＝AD，弦CD交直径AB于点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求弦CD的长．
20．如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD的长．
21．如图1，△ABC内接于⊙O，点D是的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E．
（1）求证：△ADE∽△CDA．
（2）如图2，若⊙O的直径AB＝4，CE＝2，求AD和CD的长．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
23．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
答案
一、填空题
B．B．C．B．D．A．A．C．B．
二．填空题
10．2．
11．或1.5．
12．3．
13．2或4．
14．4．
15．4．
16．．
三．解答题
17．证明：（1）∵PA⊥AB，DP⊥BC，
∴∠BAP＝∠DPC＝90°，
∵＝
∴，
∴Rt△ABP∽Rt△PCD，
∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，
∵∠DPB＝∠C+∠CDP＝∠APB+∠APD，
∴∠APD＝∠C；
（2）∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝3，且CD＝2，
∴AD＝1，
∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD，
∴△APC∽△ADP，
∴
∴AP2＝1×3＝3
∴AP＝．
18．解：（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE∽△ACD；
（2）∵△ABE∽△ACD，
∴，
在△ADE和△ACB中，
，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴AD BC＝DE AC．
19．解：（1）∵AC＝AD，AB是⊙O的直径，
∴CD⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BAC＝∠BAC+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠B，
∴△ACE∽△ABC．
（2）由（1）可知：，
∴AC2＝AE AB，
∵AC＝3，BC＝4，
∴由勾股定理可知：AB＝5，
∴AE＝，
∴由勾股定理可知：CE＝，
∴由垂径定理可知：CD＝2CE＝．
20．证明：（1）∵，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵，
∴△ABD∽△ACE；
（2）如图，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∠BAD＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC＝2，AE＝CE＝2，∠ACE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝90°，
∵，
∴＝，
∴DE＝3，
∴CD＝＝＝．
21．解：（1）∵点D是的中点，
∴
∴∠ACD＝∠BAD，
∵∠ADE＝∠CDA
∴△ADE∽△CDA
（2）连结BD，
∵点D是的中点，
∴AD＝BD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴，
由（1）得△ADE∽△CDA，
∴，即AD2＝CD ED，
∴，
∴CD2﹣2CD﹣48＝0，解得CD＝8或﹣6．
∴CD＝8．
22．解：根据勾股定理得：BA＝；
（1）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，，
∴，解得，t＝；
∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t＝．
23．（1）证明：∵∠B＝∠ADE＝∠C，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∵∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△BDA∽△CED；
（2）当AD＝AE时，∴∠1＝∠AED，
∵∠1＝45°，
∴∠1＝∠ADE＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当EA＝ED时，如图1，
∴∠EAD＝∠1＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAD＝45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD＝1；
当DA＝DE时，如图2，
∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴DA：AC＝DE：DC，
∴DC＝CA＝，
∴BD＝BC﹣DC＝2﹣，
∴综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2﹣．