浙教版九年级数学上册4.5 相似三角形的性质及其应用试题（含答案）

4.5 相似三角形的性质及其应用
一．选择题
1．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝5：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．5：4 B．4：5 C．2： D．：2
2．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（　　）
A．21cm B．14cm C．6cm D．24cm
3．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（　　）
A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm
4．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料．已知∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为 DEFG的工件，使GF在BC上，D，E两点分别在AB，AC上，且DE＝5cm，则 DEFG的面积为（　　）
A．24cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．6cm2
5．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（　　）
A．22 B．24 C．26 D．28
6．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（　　）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
7．如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3＝30，则S2的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：
①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3＝S；④S2：S4：S6＝1：2：4．
正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
9．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是　 　．
10．两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为　 　cm2．
11．如图，在 ABCD中，M为BC中点，AN＝3MN，BN的延长线交AC于点E，交CD于点F．若△ABE的周长为6，则△CFE的周长为　 　．
12．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第　 　个．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC的中点，以点D为顶点作∠MDN＝∠B，当△DEF的面积等于△ABC面积的时，线段EF＝　 　．
14．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3两部分，连接BE，与AC相交于点P，则S△APE：S△BPC＝　 　．
15．如图所示，n+1个直角边长为3的等腰直角三角形△AB1C1，△C1B2C2……，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2面积为S2，…，△Bn+1Dn n的面积为Sn，则S1＝　 　；S4＝　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE BC＝BD AC；
（2）S△ADE＝4，S四边形BCED＝5，DE＝6，求BC的长．
17．如图，已知在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC交AB于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD．
（2）若DE＝6，BC＝16，直接写出△FCD的面积．
18．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
19．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长．
（2）求灯泡到地面的高度AG．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．
21．如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD交于点G．
（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；
（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；
（3）求的最大值．
答案
一．选择题
D．A．C．B．D．B．D．D．
二．填空题
9.12．
10.26．
11.4．
12.5
13.5．
14.或．
15.，．
三．解答题
16.（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE BC＝BD AC；
（2）解：∵S△ADE＝4，S四边形BCED＝5，
∴S△ABC＝S△ADE+S四边形BCED＝4+5＝9，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴BC＝9．
17.证明：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵D是BC的中点，ED⊥BC，
∴BE＝EC，
∴∠ABC＝∠ECD，
∴△ABC∽△FCD；
（2）如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵BC＝16，D是BC的中点，
∴CD＝BD＝8，
∵AD＝AC，AH⊥CD，
∴DH＝CH＝4，
∴BH＝12，
∵DE∥AH，
∴，
∴，
∴AH＝9，
∵△ABC∽△FCD
∴＝（）2，
∴S△FCD＝×S△ABC＝18．
18.（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴＝，
解得：BE＝4；
②∵＝，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
19.解：（1）由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽BED，
故，
即，
解得：BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．
20.解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴，
∴OD⊥BE；
（2）∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8；
（3）∵，
∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，
∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE＝5k，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∴△OBF∽△ABE，
∴，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，
∵△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∵BC＝2CD，
∴．
21.解：（1）∵AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△BAG∽△BDA，
∴＝，即＝，
∴BG＝，
∴DG＝BD﹣BG＝6﹣＝；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，
∵AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG
∴△ADG∽△EBG，
∴＝（）2＝k2，＝＝k，
∴S1＝k2S，
∵＝＝k，
∴S△ABG＝，
∵△ABD的面积＝△BDC的面积，
∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；
（3）∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，
∴的最大值为．