九年级数学上册试题 1.3二次函数的性质习题-浙教版（含答案）

1.3二次函数的性质
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．若线段上有且只有7个点的横坐标为整数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于二次函数的三个结论：①图象与轴的交点为；②对任意实数，都有与对应的函数值相等；③若，对应的的整数值有4个，则或．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
3．已知二次函数（）的图象如图，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．当时，y随x的增大而增大
C． D．3是方程的一个根
4．若抛物线（是常数）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数与轴的交点是（1，0）和（3，0），关于的方程（其中）的两个解分别是和5，关于的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是（ ）
A．1和4 B．2和5 C．0和4 D．0和5
6．已知二次函数的图象如图所示，若方程的两个根为，，下列结论中：①；②；③；④．其中所有正确的结论有（ ）
A．①② B．③④ C．②③④ D．②③
7．下列函数中，当时，随增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
8．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数有最大值 B．函数图象交轴于点
C．函数图象与直线无交点 D．若，则当时，随的增大而增大
二、填空题
9．如图，曲线是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是双曲线（）的一部分，，两点的纵坐标相等，曲线与组成“小波浪”，由点开始不断重复出现“小波浪”，若点和是波浪线上的点，则的最大值为______．
10．如图，已知二次函数（a≠0（的图象，且关于x的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_________．
11．有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点：
甲：对称轴是直线x＝2；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式_____．
12．已知抛物线与x轴交于不同的两点和与y轴的正半轴交于点C，如果，是方程的两个根且的面积为，求此抛物线解析式______．
13．已知二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根为___________．
14．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的顶点为P（m，n），经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，下列四个结论：
①bc＞0；
②M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2，x1+x2＞2，则y1＜y2；
③关于x的方程a（x+1）2+bx＝﹣c﹣b的解为x1＝﹣2，x2＝2；
④关于x的方程ax2+bx+c＝a+n一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是_____（填写序号）．
15．如图是抛物线的部分图象，其顶点为，且与轴的一个交点在点和之间下列结论：①；②；③；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是______．
16．函数的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位所得到的图象的函数关系式是______．
三、解答题
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的函数关系式；
（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）作该二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于x轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为　 　．
18．在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为，其中．
（1）若此函数图象经过点，求这个二次函数的表达式．
（2）若，为此二次函数图象上两个不同点．
①若，则，试求a的值．
②当，对任意的，都有，试求a的取值范围．
19．2020年是脱贫攻坚收官之年，为贯彻落实党中央全面建成小康社会的新部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．如果将农村家庭人均年纯收入8000元作为一个标准，该地区仅剩部分家庭尚未达标．2019年7月，为估计该地区能否在2020年底达到上述标准，统计了当时该地某一贫困家庭2019年1至6月的人均月纯收入，汇总如下：
月份代码 1 2 3 4 5 6
人均月纯收（元） 310 350 390 430 470 510
根据分析，发现该家庭人均月纯收入y与月份代码x之间具有一次函数关系（记2019年1月、2月、…、2020年1月、…分别为x=1，x=2，…，x=13，…，依此类推）．
由于新冠肺炎疫情的影响，该家庭2020年第一季度每月人均月纯收入只有2019年12月人均月纯收入的三分之二．根据以上信息，完成以下问题．
（1）求该家庭人均月纯收入y与月份代码x之间的函数关系式；
（2）若疫情没有暴发，2020年底该家庭能否达到人均年纯收入8000元的标准
（3）2020年3月初开始，在当地党员干部的扶持下，该家庭的人均月纯收入y与月份代码x之间满足二次函数y=x2+bx+c的关系．若该家庭2020年12月人均月纯收入不低于1400元，求b的最小值．
（4）若以该家庭2020年3月人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a，为了使该家庭2020年底能达到人均年纯收入8000元的标准，a至少为多少 （结果保留两位小数）
（参考数据：≈62.81）（参考公式：1+x+x2+…+x9=；（1+a）10≈1+10a+45a2+120a3（|a|<0.15）．
20．已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为　 　；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围　 ．
21．关于x的二次函数与x轴有交点．
（1）求a的取值范围；
（2）当时，求抛物线与x轴两个交点间的距离．
22．如图，抛物线与轴交于(-1，0)，(3，0)两点，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为2．
（1）求抛物线及直线的函数表达式；
（2）点是线段上的点（不与，重合）过作轴交抛物线于，若点的横坐标为，请用含的代数式表示的长．
23．已知二次函数的图象过点
（1）此二次函数的表达式，并用配方法将其化为的形式
（2）画出此函数的图象；
（3）借助图象，判断若，则 的取值范围是
24．求下列二次函数的顶点坐标：
（1）（配方法）
（2）（公式法）
25．某数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，发现自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
… 0 1 2 3 …
… 0 …
（1）补全上表；
（2）根据表中数据，画出函数图象的另一部分；
（3）进一步探究函数图象，回答问题：
①观察图象可以得出，对应的方程有　　　　个实数根；
②关于的方程有2个实数根时，的取值范围是　　　　．
③当取何值时，随的增大而增大？
26．已知抛物线的顶点坐标是，且过点．
求这个抛物线对应的函数表达式．
在所给坐标系中画出该函数的图象．
当取什么值时，函数值小于0
答案
一、单选题
B．D.D．D．C．C．B．D．
二、填空题
9．．
10．①③④．
11．y＝(x+1)(x﹣5)．(答案不唯一)．
12．．
13．x1=-1，x2=3．
14．①③④．
15．①③④．
16．．
三、解答题
17．
解：（1）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，2），（3，2），
∴对称轴为x＝＝2；
∴顶点坐标为：（2，1），
∴设y＝a（x﹣2）2+1，
将（0，5）代入可得：4a+1＝5，
解得：a＝1，
∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣2）2+1，即y＝x2﹣4x+5，
所求二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+5．
（2）描点、连线画出函数图象如图：
；
（3）∵新图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于x轴对称，
∴﹣y＝x2﹣4x+5，
∴新图象的函数关系式为y＝﹣x2+4x﹣5，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣5．
18．
（1）∵函数图象过点，
∴将点代入y＝ax2+(a+1)x，
解得：a＝﹣2，
；
（2）①∵(x1，y1)，(x2，y2)为此二次函数图象上两个不同点
∴x1≠x2，
∵y1＝y2，
∴ax12+(a+1)x1＝ax22+(a+1)x2，
∴a(x1+x2)(x1﹣x2)＝(a+1)(x2﹣x1)，
a(x1+x2)＝﹣(a+1)，
∵x1+x2＝4，
∴a＝；
②函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是，
∵x1＞x2≥2，对任意的x1，x2都有，
当a＞0时，无法满足条件；
当a＜0时，，，
∴．
19．
(1)设人均月纯收入y与月份代码x之间的函数表达式为y=kx+m,
将数据(1,310),(2,350)代入得:解得
故函数表达式为y=40x+270.
(2)2020年1月对应x=13,2020年12月对应x=24,
则2020年该家庭的人均年纯收入为12个月人均月纯收入之和,
即(13×40+270)+(14×40+270)+…+(24×40+270)=270×12+40×(13+14+…+24)=12120>8000,
故2020年底该家庭能达到人均年纯收入8000元的标准.
(3)该家庭2019年12月人均月纯收入为:12×40+270=750(元)
该家庭2020年3月份的人均月纯收入为750×=500(元);
由题意得,152+15b+c=500,∴c=275-15b,又242+24b+c≥1400,∴b≥61,
故b的最小值为61.
(4)由题意,1000+500+500(1+a)+500(1+a)2+…+500(1+a)9≥8000,
得≥7000,其中(1+a)10≈1+10a+45a2+120a3(|a|<0.15),整理得:120a2+45a-4≥0.
令120a2+45a-4=0,得a=,∴a1≈0.07,a2≈-0.45,
故不等式的解集为a≤-0.45(舍去)或a≥0.07,∴a至少应为0.07.
20．
解：（1）∵直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，
∴点A（﹣3，0），点B（0，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．抛物线与x轴的另一个交点为C，
∴点C（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），点C（﹣1，0），
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+4x+3；
（3）如图所示：
当﹣3＜x＜0时，二次函数值小于一次函数值，
故答案为：﹣3＜x＜0．
21．
解：（1）∵二次函数y=（a-2）x2-8x+4与x轴有交点，
∴82-4×（a-2）×4=-16a+96≥0，a-2≠0，
解得，a≤6且a≠2；
（2）当a=3时，二次函数为：y=x2-8x+4，
设抛物线与x轴两个交点的坐标为（x1，0）、（x2，0），
则x1+x2=8，x1 x2=4，
．
22．
解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx-c得：
，
解得：，
∴解析式为：y=x2-2x-3，
把x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
设直线AC的解析式为y=kx+n，
把A（-1，0）、C（2，-3）代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为；
（2）∵点M在直线AC上，
∴M的坐标为（m，-m-1）；
∵点F在抛物线y=x2-2x-3上，
∴F点的坐标为（m，m2-2m-3），
∴MF=（-m-1）-（ m2-2m-3）=-m2+m+2．
23．
（1）把代入，
得，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
配方得：
（2）∵，
∴顶点坐标为（1，4），对称轴方程为x=1，
当y=0时，，
，
∴图像与x轴的交点坐标为（-1，0）（3，0），
又∵图像过点
可得下图：
（3）由图可得当时，则 的取值范围是，
故答案为：.
24.
解：（1）
，
∴顶点坐标为（2，-4）
（2），
∵，，，
∴，，
∴顶点坐标为顶点坐标为．
25．
解：（1）如下表：
（2）如图，
（3）①观察图象可以得出，对应的方程x2-4|x|=0有3个实数根；
②关于x的方程x2-4|x|=a有2个实数根时，a的取值范围是a=-4或a＞0；
③当-2≤x≤0或x≥2时，y随x的增大而增大．
26．
解：（1）∵抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）列表：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点：在平面直角坐标系中描出点（-3，0），（-2，3），（-1，4），（0，3），（1，0）
连线：用平滑曲线连接，
（3）∵函数值小于，
∴函数图像再x轴下方，在-3左侧和1右侧，
当x<-3或x>1时，函数值小于．