九年级数学上册试题 1.4二次函数的应用同步测试-浙教版（含答案）

1.4二次函数的应用
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点A（1，），B（4，），若点M（a，﹣a），N（a+3，﹣a﹣4），则四边形MNBA的周长的最小值为（　　）
A．10+ B．10+ C．5+13 D．5+13
2．已知抛物线具有如下性质:抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离相等.如图点的坐标为 , 是抛物线上一动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=4，动点P以每秒2个单位的速度从点A沿线段AB向B点运动，同时动点Q以每秒3个单位的速度从点B出发沿B-C-D的方向运动，当点Q到达点D时P、Q同时停止运动，若记△PQA的面积为y，运动时间为x，则下列图象中能大致表示y与x之间函数关系图象的是（　　）
A．B．C． D．
4．如图，正方形的顶点，，顶点位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面
积为S，则S关于t的函数图象大致是( )
A． B．
C． D．
6．如图，在边长为4的正方形纸片ABCD中，从边CD上剪去一个矩形EFGH，且有EF＝DH＝CE＝1cm，FG＝2cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．以AP为边在AP的下方做正方形AQKP，设点P运动时间为t（s），正方形AQKP和纸片重叠部分的面积为S（cm2），则S与t之间的函数关系用图象表示大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠BAC=60°，BC=6，点D是BC边上一动点，将BD，CD翻折使得B′，C′分别落在AB，AC边上，（B与B′，C与C′分别对应），点D从点B运动至点C，△B′C′D面积的大小变化情况是（　　）
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
8．如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．
①点E在⊙M的内部；
②CD的长为；
③若P与C重合，则∠DPE＝15°；
④在P的运动过程中，若，则；
⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是π．
则正确的选项为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
二、填空题
9．已知点A(t，y1)，B(t+2，y2)在抛物线y＝﹣x2的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最大值______.
10．抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴的负半轴交于C点，直线y＝kx+1交抛物线于A，B两点（A点在B点的左边）．使得△ABC被y轴分成的两部分面积差为2．则k的值为_____．
11．已知抛物线，且当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则c的取值范围是________.
12．已知直线与二次函数（为常数）的图像交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，当点，，中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，的值为________．
13．“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交面出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高cm，碗底宽cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽cm，此时面汤最大深度cm，将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当时停止，此时液面到______cm；碗内面汤的最大深度是______cm．
14．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
15．二次函数y=的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠An1BnAn=60°，菱形An﹣1BnAnCn的周长为_____．
16．将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线的图象是抛物线对称轴上的一个动点,直线平行于y轴,分别与直线、抛物线交于点A、若是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则 ______ .
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，且抛物线的对称轴与x轴的交点为Q．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，QA，QB，求四边形PAQB面积的最大值及此时P的坐标；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
18．为扶持大学生自主创业， 市政府提供了100万元的无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该电子产品的生产成本为每件40元，公司每月要支付其他费用15万元．该产品每月的销售量y（万件）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系：
（1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）当销售单价定为多少元时，该公司每月销售利润最大．
（3）若相关部门要求该电子产品的销售单价不得低于其生产成本，且销售每件产品的利润率不能超过25%，则该公司最早用几个月可以还清无息贷款？
19．直线：与轴轴的交点分别为，，点坐标为．
（1）若二次函数的图像恰好过、，三点，求二次函数的解析式；
（2）为抛物线上一点，且，求点的坐标
（3）该二次函数图象上有一点（其中，）；
①作，垂足为点，若，求点坐标；
②线段是否存在最大值，若存在，求出点坐标及这个最大值；若不存在，说明理由．
20．如图，已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）如图，过点作直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与轴交于点．其顶点为．
（1）抛物线及直线的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值．
（4）设点的坐标为，直接写出使的和最小时的值．
23．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图，证明：对于轴上任意一点，都存在过点的直线交抛物线于，两点，使得；
（3）将该抛物线在之间的部分图象记为，将图象在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
24．如图，已知抛物线的图象经过点，，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线上点B和点D之间是否存在一点H使得四边形OBHC的面积最大，若存在求出四边形OBHC的最大面积，若不存在，请说明理由．
（3）直线BD上有一点P，使得时，过P作轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．
25．如图1，二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标，点、在抛物线上，为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线对称轴上一点，求周长的最小值．
（3）如图2，设是轴上一点，且，过作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，求面积的最大值．
答案
一、单选题
A．C.B.C．C．C．D．D．
二、填空题
9．2.
10．或﹣
11．c或﹣6＜c≤﹣2．
12．-3或0或3
13．；
14．1264
15．4n．
16．或或或.
三、解答题
17．
解：（1）∵抛物线过点，
∴ ，
∴．
故抛物线函数表达式为．
（2）设经过点A，B的直线解析式为，
将点代入，得： ，
解得：．
故经过点A，B的直线解析式为．
设抛物线的对称轴交直线解析式于点D，过点P作x轴的垂线与直线AB交于点C
根据题意可知．
∵为定值，
∴求的最大值即可．
∵改为顶点式为，
∴．
∴．
∴．
设，则．
∴．
∴当时，有最大值，且最大值为．
此时，．
（3）根据（2）可知平移后的抛物线表达式为：，
联立，
解得：．
故．
设点、点，而点B、C的坐标分别为(0，-1)、(-1，-4)；
故分类讨论：
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即-2＋1=s且m＋3＝t①或 2 1＝s且m 3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即④，
联立①③并解得：s＝ 1，、（舍），故点E(-1，2)；
联立②④并解得：s＝-3，，故点或；
②当BC为菱形的对角线时，
则由中点公式得： 1＝s 2且 4 1＝m＋t⑤，
此时，BD＝BE，即⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝ 3，
故点E(1，-3)，
综上，点E的坐标为：(-1，2) 或或或(1，-3)．
18.（1）设每月销售量 y与 x的函数关系式为 y＝kx+b（k≠0） ，
把（60，2）和（70，1）代入得： ，
解得 ，
故；
（2）设当销售单价定为 x元时，该公司每月销售利润为W万元，
则 W＝（x﹣40）（+8）﹣15＝x2+12x-335＝(x﹣60)2+25，
则当销售单价定为 60元时，该公司每月销售利润最大；
（3）由题意得： ，
解得：40≤x≤50，
∵W＝(x﹣60)2+25，
∴抛物线开口向下，当 x＜60时，W随 x的值增大而增大，
∴当 x＝50时，每月有最大利润为：W＝×(50-60)2+25＝15（万元），
100÷15＝＝，
答：则该公司最早用 7个月可以还清无息贷款．
19.解：（1）∵直线与轴轴的交点分别为，，
∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=3
∴，
∵二次函数的图像过、，三点，
∴将，，代入得，
∴解得：
∴解析式为：
（2）由题意可得是以为顶点的等腰三角形，即点P为线段OC的垂直平分线与抛物线的交点，
∵OC=3
∴令，
∴，
解得：，；
∴满足条件的点是和．
（3）①如图，连接CD，
∵，
∴，
又∵，
∴，∴，
∴CD∥x轴，
∴令，∴，
解得：，，∴．
②如图，过点作DQ∥y轴
∴∠DQC=∠OCA
又∵，
∴∠DQC=45°
又∵
∴∠DEQ=90°
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴经过的直线解析式为；
设，，
∴
∴当时，，
此时，坐标为．
20.（1）设抛物线解析式为y=a(x+1)(x－3)，
将点C坐标代入解析式得：－3a=3，
解得a=－1，
y=－(x+1)(x－3)．
（2）y=－(x+1)(x－3)=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，
抛物线对称轴即直线l解析式为：x=1，
设直线BC解析式为y=kx+3，
将点B的坐标代入直线解析式可得：
3k+3=0，
k=－1，
y=－x+3，
令x=1，y=2，
P(1,2) ．
（3）存在，理由如下：
作CH垂直于直线l交直线l于点H，
设M(1,m)，
则MA2=MQ2+AQ2=m2+22= m2+4，
MC2=CH2+MH2=12+(3－m)2= m2－6m+10，
AC2=AO2+CO2=12+32= 10，
①若MA=MC，则MA2=MC2，
m2+4= m2－6m+10，
解得：m=1；
②若MA=AC，则MA2=AC2，
m2+4=10，
解得：m=；
③若MC=AC，则MC2=AC2，
m2－6m+10=10，
解得：m=0或6，
设直线AC解析式为y=kx+3，
将点A坐标代入直线解析式得：－k+3=0，
解得：k=3，
直线AC解析式为y=3x+3，
令x=1，y=6，
当m=6时，点M在直线AC上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去，
m=0．
综上，符合条件的点M的坐标有：(1,1)，(1,)，(1,－)，(1,0)．
21.解：（1）点，点在抛物线图象上，
，解得，
抛物线解析式为：．
（2）设直线BC的解析式为y=kx+n，
点，点，
∴，解得，
直线解析式为：，
如图，过点作轴于，交于点，设点，则点，
，
，
当时，有最大值，
点．
（3）存在满足条件，理由如下：
抛物线与轴交于，两点，
点，
∵点为，点，设直线MC解析式为y=ax+z，
∴，解得，
直线的解析式为：，
如图，设直线与轴交于点，过点作于，连接AN，
点，
，
．，
设点，
，
，
，
，
，
存在点满足要求，点坐标为或．
．
22.解：（1）由抛物线过点及得，
，
解得，
故抛物线为；
又设直线为过点及，
得，
解得．
故直线为；
（2）∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵点在直线上，设．
，当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形．如图1，
①点在点上方，则，
∵在抛物线上，
∴，
解得，或（舍去），
∴；
②当点在点下方，则，
∵在抛物线上，
∴，
解得或，
∴或，
综上，满足条件的点的坐标为或或；
（3）如图3，过点作轴交于点，交轴于点；过点作轴于点，设，则，
∴
；
又∵
，
∴面积的最大值为；
∴的面积的最大值为．
（4）．
过程如下：
点，点在直线上，
点关于直线的对称点坐标为，
令，则，
所以，点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
所以，，
当时，，
所以，；
23.解（1）由题意知，且抛物线的对称轴为．
∴点，点为（A，两点位于对称轴两侧，且离对称轴的距离相等，均为2个单位长度）
∴，
∴
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，过点作轴，轴，轴．
由，则，
∴，．
设，则．
∵，．
∴，即．
∴．
∵，
∴关于的方程总有两个不相等的实数根，即说明点，存在，使得．
（3）图象翻折前后如图所示，其顶点分别为，，．
①如图，当在上方时（此处包含与处于同一高度），有，
∴．
此时，，．
∴，
∴，
∴．
②如图，当在下方时，有，．
此时，，
∴，
∴，
∴．
综上可知，的取值范围是．
24.解：（1）∵抛物线的图象经过点，
∴，∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，所以点，当时，所以点
设点
所以
当时，．
（3）由（1）知，抛物线的解析式为；
∴，抛物线的顶点，
∴，设直线BD的解析式为，
∴，
∴
∴直线BD的解析式为，设点，
∵，，
根据勾股定理得，，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
如图，作轴于F，
∵，设，则，
∴以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有，
∴
∴或，
∴点M的坐标为，，，．
25.（1）设抛物线的解析式为，
根据题意，得，解得
∴所求抛物线的解析式为．
（2）连接，交对称轴于一点，即为所求的点，
此时的周长最小，求其最小值，
其实就是求线段和的和，根据勾股定理得，，
则的最小值为,
．
（3）由题意得，点坐标为，，
则线段，
∴
∴面积的最大值为．