九年级数学上册试题 3.1圆同步测试-浙教版（含答案）

3.1圆
一、单选题
1．如图，在和中，，，，，连接，将绕点顺时针旋转一周，则线段长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，为直径，，点D为弦的中点，点E为上任意一点，则的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题：①若a＜1，则（a﹣1）=﹣；②圆是中心对称图形又是轴对称图形；③的算术平方根是4；④如果方程ax2+2x+1=0有实数根，则实数a≤1．其中正确的命题个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点与轴交于，的半径为，为上一动点，连接，若为的中点，连接，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是等腰直角三角形，正方形绕点A逆时针旋转，再延长交于G，以下结论中：①；②；③当，时，，正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．都不对
7．如图，已知抛物线与轴交于两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为2，为上一动点，为的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
8．如图，以点P为圆心，以为半径的圆弧与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），则圆心P的坐标为
A． B．（4，2） C．（4，4） D．（2，）
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，点P(3，4)，⊙P半径为2，A(2.6，0)，B(5.2，0)，点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值为_____________.
10.平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），C（﹣1，﹣1），点 P 线段 AB上一动点，将线段 AB 绕原点 O 旋转一周，点 P 的对应点为 P′，则 P′C 的最大值为_____，最小值为_____．
11．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝4，则△ABC的面积为_____．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为__________．
13．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为___．
14．一个含30度角的三角板和一个含45度角的三角板按如图所示的方式拼接在一起，经测量发现，，取中点，连接．在内部任意转动（包括边界），则在运动过程中扫过的面积为___________，在旋转过程中，线段的最小值为_________．
15．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为_____．
16．我们知道任意三角形都存在内切圆．同样的，一些凸四边形也存在内切圆．我们规定： 存在与凸四边形的三条边相切的圆叫四边形的伪内切圆．以下结论正确的是：_____．
①凸四边形必存在伪内切圆；
②当平行四边形只存在 1 个伪内切圆时，它的对角线一定相等；
③矩形伪内切圆个数可能为 1、2、4；
④当且仅当四边形对角线互相垂直平分且相等时，该四边形的伪内切圆与内切圆重合．
三、解答题
17．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；
（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．
18．已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t＞0），二次函数的图象与x 轴交于 M，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F，M，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
19．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，，我们规定：如果存在点P，使是以线段MN为直角边的等腰直角三角形，那么称点P为点M、N的“和谐点”.
（1）已知点A的坐标为，
①若点B的坐标为，在直线AB的上方，存在点A，B的“和谐点”C，直接写出点C的坐标；
②点C在直线x＝5上，且点C为点A，B的“和谐点”，求直线AC的表达式.
（2）⊙O的半径为r，点为点、的“和谐点”，且DE＝2，若使得与⊙O有交点，画出示意图直接写出半径r的取值范围.
20．如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点（不与点B，C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为C′，AC′并延长交直线DE于点P，过点D，B分别作DF⊥AP于F，BK⊥AP于K．
（1）求∠FDP的度数
（2）连接BP，试证明BP＝AF．
（3）连接BC，若正方形ABCD的边长是，请直接写出△BCP面积的最大值 ．
21．在平面直角坐标系中，以点为圆心的圆与轴相交于、两点，与轴相切于点，抛物线经过点、、，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为轴上一点，连接，，是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标及的周长最小值；若不存在，请说明理由．
22．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；
（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
23．如图，PB为的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交于点A，连接PA，AO.并延长AO交于点E，与PB的延长线交于点D．
(1)求证：PA是的切线；
(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.
24．已知△ABC中CB=AC=6，∠ACB=120°．
（1）如图1，D为AB的中点，∠MDN=60°交CA，CB于M，N，求CM+CN的值．
（2）如图2，如D在AB的下方，且∠ADB=120°，求证：CD=CB．
25．回答下列问题．
（1）问题提出：如图①，正方形的对角线交于点O，是边长为6的等边三角形，则之间的距离为_________．
（2）问题探究：如图②，在边长为6的正方形中，以为直径作半圆O，点P为弧上一动点，求之间的最大距离．
（3）问题解决：窑洞是我省陕北农村的主要建筑，窑洞宾馆更是一道靓丽的风景线，是因为窑洞除了它的坚固性及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点．家住延安农村的一对即将参加中考的双胞胎小宝和小贝两兄弟，发现自家的窑洞（如图③所示）的门窗是由矩形及弓形组成，，弓高（N为的中点，）．小宝说，门角B到门窗弓形弧的最大距离是之间的距离．小贝说这不是最大的距离，你认为谁的说法正确？请通过计算说明．
26．如图，内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长．
答案
一、单选题
D．C．C．B.C.B．C．C．
二、填空题
9．1.5
10．4+ 2.4﹣
11．8﹣4或8+4．
12． .
13．8．
14．，
15．2﹣2．
16．①
三、解答题
17．（1）∵OD∥BC，∴∠D=∠CBD，∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∴∠CBD=∠OBD，∴BD平分∠ABC；
（2）∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，∴∠ACB=90°，∴∠CFB+∠CBF=90°．∵PF=PB，∴∠PBF=∠CFB，由（1）知∠OBD=∠CBF，∴∠PBF+∠OBD=90°，∴∠OBP=90°，∴PB是⊙O的切线；
（3）连结AD．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，∴cos∠ABC=，∴BC=6，AC==8．∵OD∥BC，∴△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，∴，，∴AE=4，OE=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AD===．
18．
把代入得
一次函数的解析式为
二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴，
二次函数的解析式为,将代入解析式得
二次函数的解析式为
由解得或，，取的中点，
过作直线的垂线,垂足为,则
，而直径
，即圓心到直线的距离等于半径，以为直径的圆与直线相切.
平移后二次函数的解析式为,
令得
过三点的國的圆心一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点到直线2的距离,点坐标为.
此时,半径为,面积为
设圆心为的中点为,连接,则，
在三角形中，
，而
当时，过三点的圓面积最小,最小面积为.
19．
（1）①如图1．
观察图象可知满足条件的点C坐标为C（1，5）或C'（3，5）；
②如图2．
由图可知，B（5，3）．
∵A（1，3），∴AB=4．
∵△ABC为等腰直角三角形，∴BC=4，∴C1（5，7）或C2（5，﹣1）．
设直线AC的表达式为y=kx+b（k≠0），当C1（5，7）时，，∴，∴y=x+2，当C2（5，﹣1）时，，∴，∴y=﹣x+4．
综上所述：直线AC的表达式是y=x+2或y=﹣x+4．
（2）分两种情况讨论：
①当点F在点E左侧时：
连接OD．则OD=，∴．
②当点F在点E右侧时：
连接OE，OD．
∵E（1，2），D（1，4），∴OE=，OD=，∴．
综上所述：或．
20．
解：（1）由对称得：CD=C'D，∠CDE=∠C'DE，
在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，
∴AD=C'D，
∵F是AC'的中点，
∴DF⊥AC'，∠ADF=∠C'DF，
∴∠FDP=∠FDC'+∠EDC'=∠ADC=45°；
（2）如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，
∴∠PAP'=90°，
在正方形ABCD中，DA=BA，∠BAD=90°，
∴∠DAP'=∠BAP，
由（1）可知：∠FDP=45°，
∵∠DFP=90°，
∴∠APD=45°，
∴∠P'=45°，
∴AP=AP'，DP=PF，
在△BAP和△DAP'中，
，
∴△BAP≌△DAP'（SAS），
∴BP=DP'，
∴DP+BP=PP′=AP，
∴DP+BP=PF+BP=AP，
∴BP=（AP-PF）=AF；
（3）作正方形的外接圆，圆心为O，
由（2）得：∠APD=45°，又∠AOD=90°，
∴点P在圆O上，
在△BPC中，BC=，
∴当点P距离BC最大时，△PBC的面积最大，
连接OP，与BC交于点Q，
则当点P位于弧BC的中点时，点P到BC的距离PQ最大，
∵OC=AC=，
∴OP=OC=1，
而OQ=，
∴PQ=OP-OQ=，
此时△BPC的面积为=．
21．
（1）如图①，连接，，，设抛物线对称轴交轴于点，
由题意得，．
．
，，．
把点，，代入中，
得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）存在．如图②，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接，此时的周长为，即当点，，三点共线时，的周长取得最小值，最小值为的长，
点与点关于轴对称，
点的坐标为，，
易得，
．
，
．
的周长最小值为12；
设直线的解析式为，
将、代入，
得
解得，
直线的解析式为，
令，则，
．
22．
解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C,
∵OA＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,
∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,
由旋转得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,
∴△OAA'是等边三角形,
∴α＝∠AOA'＝60°,
∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,
∴B'C＝OB’＝,
∴OC＝3,
∴B'（3,）,
（Ⅱ）证明：如图2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',
∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,
∵∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,
∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,
即AA'⊥BB';
（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为-2．理由是：
如图，作AB的中点M（1,）,连接MP,
∵∠APB＝90°,
∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,除去点（2,2）,
∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2．
23．
解：（1）连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵，且OC=4，
∴AC=6，∴AB=12，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，
∴AE=2OA=4，OB=OA=2，
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴AC2=OCPC，
解得：PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.
易证，
所以,
解得，
则，
在中，.
24．
(1)连结CD，取BC中点E，连结DE，
∴CB=AC=6，∠ACB=120°，
∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，∠A=∠B=30 ，
∴∠ACD=∠DCB=60 ，
∵E为BC中点，∠CDB=90 ，
∴CE=BE=DE，
∴△CDE为等边三角形，
∴CD=ED，∠CDE=60 =∠CED=∠MCD，
∵∠MDN=60°，
∴∠MDC=∠MDN-∠CDN=∠CDE-∠CDN=∠NDE，
∴△CMD≌△END（ASA），
∴MC=NE，
∴CM+CN=NE+CN=CE==3，
（2）作三角形ADB的外接圆，设圆心为O，连结OA，OB，
由已知CA=CB，∠ACB=120 ，
过C作直线CH⊥AB于H，
∴AH=BH，
圆心O在CH上，
∵∠ADB=120°，
∴的度数为240 ，
∴的度数为：360 -240 =120 ，
∴∠AOB=120 ，
∵∠ACB=120 ，
∴O与C重合，
∴CA=CD=CB，
25．
（1）如图所示：连接OE交CD于H，
根据正方形的性质可得OD=OC，
∵△DCE为等边三角形，
∴ED=EC，
∵.OE垂直平分DC，
DH=DC=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴△OHD为等腰直角三角形，
∴OH=DH=3,，
在Rt△DHE中，
，
∴OE=HE+OH=，
（2）如图，补全⊙O，连接AO并延长交⊙O右半侧于点P，则此时A、P之间的距离最大，
在Rt△AOD中，
AD=6，DO=3，
，
AP=AO+OP=，
A、P之间的距离最大为，
（3）小贝的说法正确,理由如下，
如图，补全弓形弧AD所在的⊙O，连接ON，OA，过点O作OE⊥AB于点E，连接BO并延长交⊙O上端于点P，则此时B、P之间的距离即为门角B到门窗弓形弧AD的最大距离，
由题意知，点N为AD的中点，
∵.AN=AD=1.6，ON⊥AD，
在中，
设AO=r，则ON，
，
，
解得，，
在中，，
，
，
，
门角B到门窗弓形弧AD的最大距离为，
26．
解：（1）如图1，连接OB、OC，
∵BD＝6，DC＝4，
∴BC＝10，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴OB＝BC＝5；
（2）如图2，连接OA，过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，
∴BF＝FC＝5，
∴DF＝1，
∵∠BOC＝90°，BF＝FC，
∴OF＝BC＝5，
∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，
∴四边形OFDE为矩形，
∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，
在Rt△AOE中，AE＝＝7，
∴AD＝AE+DE＝12．