九年级数学上册试题 3.2图形的旋转同步测试-浙教版（含答案）

3.2图形的旋转
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，﹣1），B（﹣6，﹣9），C（﹣2．﹣9），D（﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD沿x轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A1B1C1D1，最后将四边形A1B1C1D1，绕着点A1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（　　）
A.（4，0） B．（5，0）
C．（4，0）或（﹣4，0） D．（5，0）或（﹣5，0）
2．如图，是正三角形内的一点，且，，．若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（ ）．
A．120° B．135° C．150° D．160°
3．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（　　）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
4．如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( )
A．2－ B． C． D．1
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3 B．2.5 C．4 D．2
6．如图，点A1的坐标为（1，0）,A2在y轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°,过点A2作A2A3⊥A1A2,垂足为A2,交x轴于点A3,过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3,交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4,垂足为A4,交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5,垂足为A5,交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2017的横坐标为（ ）
A． B．0 C． D．
7．如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A．a2 B．a2 C．（1﹣）a2 D．（1﹣）a2
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E，点F是边AC中点，①△BCE是等边三角形，②DE=BF，③△ABC≌△CFD，④四边形BEDF是平行四边形．则其中正确结论的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如图，∠AOB=30°，P点在∠AOB内部，M点在射线OA上，将线段PM绕P点逆时针旋转90°，M点恰好落在OB上的N点（OM＞ON），若PM=，ON=8，则OM=_____．
10．如图，在中，，，，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，则点、距离的最小值为______．
11．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，则CD的长为______．
12．如图，在直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为一边向下作等边，连接，则的最小值为______．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线上一点，为轴上一点，连接，线段绕点逆时针旋转90°至线段，过点作直线轴，垂足为，直线与直线交于点，且，连接，直线与直线交于点，则点的坐标为（______）
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为___．
三、解答题
15．在中，，，将边绕点A逆时针旋转至，记旋转角为．分别过A，C作直线的垂线，垂足分别是E，F，连接交直线于点Q．
（1）如图1，当时，的形状为____________；
（2）当时，
①（1）中的结论是否成立？如果成立，请就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②在旋转过程中，当线段时，请直接写出的长．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
17.（1）观察推理：如图1，中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E．求证：；
（2）类比探究：如图2，中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转 90°至，连接，求的面积；
（3）拓展提升：如图3，等边中，EC=BC=3cm，点O在BC上且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF，设点P运动的时间为t秒，当 秒时，，请说明理由．
18．如图所示，点A坐标为（0，a），点C坐标为（a，b），其中a、b满足＋（b＋3）2＝0，将△ADC沿x轴正方向平移得到△BCE，其中四边形ABCD为长方形，∠ACD＝70°．
（1）点E的坐标为　 　．
（2）在四边形ABCD中，点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿四边形ABCD顺时针运动（即O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣A），运动时间为t秒（t＞6），问当t为何值时，点P到x轴的距离为1？
（3）将△BCE以每秒10°绕点E顺时针旋转一周，当t＝　 　时，△BCE的直角边（BC或CE）与AC平行．
19．如图，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点B，C，D和点C，G，F分别在同一条直线上，其中AB＝CD＝4，BC＝DE＝8．连接对角线AC，CE．
（1）在图①中，连接AE，则AE＝　 　；
（2）如图②，将图①中的矩形CDEF绕点C逆时针旋转，当CF平分∠ACE时，求此时点E到直线AC的距离．
（3）如图③，将图①中的矩形CDEF绕点C逆时针旋转到某一个位置，连接AE，连接DG并延长交AE于点M，取AG的中点N，连接MN，求MN长的最小值．
20．如图①②③，平面内三点O，M，N．如果将线段OM绕点O旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“等直点”，如果OM绕点O顺时针旋转90°得ON，称点N是点M关于点0的“正等直点”，如图②．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）．
①在（－1，2），（2，－1），（1，－2）三点中， _________ 是点P关于原点O的“等直点”：
②若直线：交轴于点M，若点N是直线上一点，且点N是点M关于点P的“等直点”，求直线的解析式：
（2）如图3，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线：上，若点B关于点A的“正等直点”C在坐标轴上，D是平面内一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标．
21．如图，中，，，点在内，且，将绕点逆时针旋转90°得到，连接，，．
（1）试探究与的关系；
（2）当时，连接，求出的面积．
（3）请求出周长的最小值．
22．如图，在中，，，点，是边上两点，且，则线段，，之间有怎样的数量关系，并说明理由．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D分别在两个半圆上（不与点A、B重合），AD、BD的长分别是关于x的方程的两个实数根．
（1）请尝试用根的判别式判定根的情况，并求出m的值；
（2）连接CD，试探索：AC、BC、CD三者之间的等量关系，并说明理由；
（3）若∠BAC＝30°，在（1）、（2）条件下求DC的长．
24．如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接．
（1）当时，求证：；
（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
答案
一、单选题
D．C.D．C．CA．D．D．
二、填空题
9．4+2．
10.
11.3
12.2
13.（，）．
14.
三、解答题
15.解：（1）由旋转性质得：，．
∵AE⊥，
∴．
∵AB=AC，∠ABC=∠ACB=45゜，
∴，
∵，AB=AC，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵CF⊥，
∴．
∴．
∵，
∴，且AF平分．
∴．
∴∠EAF=．
∵AE⊥，
∴∠EAF=∠EFA=45゜．
∴△AEF是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
（2）①结论仍成立．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．
又，
∴垂直平分．
∴，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形．
②如下图所示，当α<180゜时，
在直角△AEB中，由勾股定理得:,
∴.
∵△AEF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴EF=AE=1，．
∵
∴
如下图所示，当180゜<α<360゜时，
在直角△AEB中，由勾股定理得:,
∴.
∵△AEF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴EF=AE=1，．
∵，
∴．
综上所述，CF的长为或．
16.解：（1）轴绕点顺时针旋转交轴于点，
，
点，
，
，，
，
点绕点顺时针旋转得到点，
，，
过点作轴于点，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
则有，
解得，
；
（2）设，
四边形为平行四边形，
、为平行四边形的对角线，
的中点，，的中点，，
，，
，，
，；
（3）在直线上，在轴上，
设，，，
①当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，
，
，；
②当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，
，
，；
③当、为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为，中点的横坐标为，
，
，
，；
综上所述：点的坐标为，或，或，．
17.(1) ∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∵∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCD，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB；
(2)如图，作B′D⊥AC于D，
∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，
∴AB′=AB，∠B′AB=90°，
即∠B′AC+∠BAC=90°，
而∠B+∠CAB=90°，
∴∠B=∠B′AC，
在△B′AD和△ABD中，
，
∴△B′AD≌△ABD，
∴B′D=AC=4，
∴△AB′C的面积=×4×4=8；
(3)由题意得：，则，
∵OF∥ED，
∴∠POF+∠OPC=180°，
∵∠POF=120°，
∴∠OPC=60°，
∵△BEC是等边三角形，
∴∠BCE=60°=∠OPC，
∴∠E=∠OPC=60°，
∴△COP是等边三角形，
∴PC=OC=2cm，
∴，解得，
即当t=1秒时，OF∥ED，
故答案为：1．
18.解：（1）∵＋（b＋3）2＝0，
∴a－2＝0，b＋3＝0，
∴a＝2，b＝－3，
∴点A坐标为（0，2），点C坐标为（2，－3），
∵四边形ABCD为长方形，
∴B（2，2），D（0，－3），
∴CD＝2，
∵将△ADC沿x轴正方向平移得到△BCE，
∴CE＝CD＝2，
∴点E的坐标为（4，－3），
故答案为：（4，－3）；
（2）∵点P到x轴的距离为1，
∴点P的坐标有（0，1），（2，1），（2，－1），（0，－1），
∵C长方形ABCD＝AB＋BC＋CD＋DA
＝2＋[2－(－3)] ＋2＋[2－(－3)]
＝14，
又∵点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿四边形ABCD顺时针运动（即O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣A），运动时间为t秒（t＞6），
∴点P的总路程为2＋14＝16，
∴t＝16÷1＝16，
∴6＜t＜16，
当点P从O点出发到（2，1）时，t＝（2＋2＋1）÷1＝5（不符合题意，舍去）；
当点P从O点出发到（2，－1）时，t＝（2＋2＋2＋1）÷1＝7（符合题意）；
当点P从O点出发到（0，－1）时，t＝（2＋2＋2＋3＋2＋2）÷1＝13（符合题意）；
当点P从O点出发沿着O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣O再到（0，1）时，
t＝（14＋1）÷5＝15，
综上所述：当t的值为7或13或15时，点P到x轴的距离为1；
（3）①当BC与AC平行时，
∵∠ACD＝70°，
∴∠DAC＝∠ACB＝20°，
将△BCE以每秒10°绕点E顺时针旋转一周，
BC转180°－20°＝160°时满足，此时t＝160°÷10°＝16，
BC转360°－20°＝340°时满足，此时t＝340°÷10°＝34，
②当CE与AC平行时，∠BEC＝∠ACD＝70°，
CE转70°时满足，此时t＝70°÷10°＝7，
BC转180°＋70°＝250°时满足，此时t＝250°÷10°＝25，
综上所述：当t＝16或34或7或25时，△BCE的直角边（BC或CE）与AC平行．
19.解：（1）矩形与矩形全等，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（2）当平分时，
，由等腰三角形“三线合一”得：，，
设点到直线的距离为，
则由等面积法：，
，
此时点到直线的距离为；
（3）如图，过点作的平行线交的延长线于，连接，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
的中点为，
，，
在矩形绕点逆时针旋转过程中的范围为：，
，
的最小值为，
的最小值为．
20.解：（1）如图2，连接OP，作PF⊥轴，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OE，过点E作EH⊥轴，
∴PF＝2，OF＝1，∠PFO＝∠EHO＝90°，
∵将OP绕点O顺时针旋转90°得到OE，
∴OP＝OE，∠POE＝90°，
∴∠POF＋∠EOH＝90°，
∵∠POF＋∠FPO＝90°，
∴∠FPO＝∠EOH，
又∵∠PFO＝∠EHO＝90°，OE＝OP，
∴△PFO≌△OHE（AAS），
∴HE＝OF＝1，PF＝OH＝2，
∴点E（1，－2），
将OP绕点O顺时针旋转90°得到OG，
同理可求点G（－1，2），
∴，是点P关于原点O的“等直点”，
故答案为：，
②∵交轴于点M，
∴点M（0，4），
∵点N是点M关于点P的“等直点”，
∴MP＝NP，MP⊥NP，
如图，当线段MP绕点P顺时针旋转90°得PN，过P作PQ⊥轴于点Q，NK⊥PQ交QP的延长线于点K，
则∠MQP＝∠NKP＝90°，
∠QMP＋∠QPM＝∠QPM＋∠NPK＝90°，
∴∠QMP＝∠KPN，
∴△MPQ≌△PNK（AAS），
∴MQ＝PK＝4－1＝3，PQ＝NK＝2，
∴点N（5，3），
∵点N是直线上一点，
∴
解得，
∴直线的解析式为：
当线段MP绕点P逆时针旋转90°得PN，
同理可得点N（－1，－1），
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
∴综上所述：直线的解析式为或
（2）如图3，当点C在轴上时，
∵点A的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
∵点C是点B关于点A的“正等直点”，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴点B的横坐标为2，
∴点B的坐标（2，6），
∴AB＝6＝AC，
∴OC＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，
∴点D（8，－6）；
若点C在轴上时，过点B作BE⊥轴于E，
∵点C是点B关于点A的“正等直点”，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAE＋∠CAO＝90°，
又∵∠CAO＋∠ACO＝90°，
∴∠BAE＝∠ACO，
又∵AC＝AB，∠AOC＝∠AEB＝90°，
∴△ACO≌△ABE（AAS），
∴BE＝AO＝2，AE＝OC，
∴点B的纵坐标为－2，
∴点B坐标为（，－2），
∴EO＝，
∴CO＝2＋＝，
∴点C（0，），
设点D（，），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
∴
∴
∴点D（，），
综上所述：点D坐标为（8，－6）或（，）．
21.（1）延长交于．
绕点逆时针旋转90°得到，
，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
且，
（2），．
，
∵，
，，
当时，三点共线，与点重合．
，．
∴
由（1）知于，．
设，则
∴
∴（不合题意舍去）
∴
．
（3），，
∴BC=2，
由（1）知，，
∴当BD+BE最小时，△CBD周长最小；
，在以为圆心，为半径的圆上，
作AM⊥DE于M，交圆A于点，过点作圆的切线BQ，连接BD，连接EB并延长至H，使BH=BE，连接DH交BQ于K，
∵AD=AE，AM⊥DE
∴M是DE中点，
∵BH=BE，
∴B是HE中点，
∴BM是△DEH的中位线，
∴DH⊥DE，DH∥BM，
∵BQ是圆A的切线，
∴AB⊥BQ，
∴DE∥BQ，
∴K是DH中点，
∴点D、点H关于直线BQ对称，
∴点B是直线BQ上到点D、点E距离之和最小的点，
在圆A上任选异于点B的点P，连接PE、PD，PD交BQ于点N，
△PEN中，PE+PN﹥EN,
∴PE+PN+DN﹥EN+DN,
∴PE+PD﹥EN+DN,
前面已证，点B是直线BQ上到点D、点E距离之和最小的点，
∴EN+DN﹥DB+BE,
∴PE+PD﹥DB+BE,
∴点B是圆A上到点D、点E距离之和最小的点，
即DB+BE最小，此时△CBD周长最小；
，⊥DE，AD=AE,
，
又∵，
轴于．
作轴于
是矩形，
又∵
是正方形
，
∴EG=3-1=2，
由勾股定理得，，
周长的最小值
22.解：，，的数量关系为．
理由如下：如图，将绕点逆时针旋转至的位置，使与重合，连接，
则，，，．
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23.解：（1）、的长分别是关于的方程的两个实数根，
，即，
化简整理，得：，即．
又，
．
（2），理由如下：
由（1）得，当时，，
．
是的直径，
．
将绕点逆时针旋转后，得，如图所示．
，
，， ．
，
，
点、、三点共线．
，
．
又，
为等腰直角三角形．
，
即．
（3）由（1）得，当时，
则有：，
∴可化为：
则
∴
．
，
，
∵，
∴，
由（2）得，，
∴
24.（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90，
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴CE=BD；
（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90，
在△ACE和△ABD中，，
∴△ACE△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90，
∴∠EFB=90，
∴CF⊥BD，
∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，
∴BC=AB =，CD= AC+ AD=，
∴BC= CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
（3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：
∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G，
∴AG=BC=，∠GAB=45，
∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135，
∴的面积的最大值为：，
旋转角．