九年级数学上册试题 4.1比例线段同步测试-浙教版（含答案）

4.1比例线段
一、单选题
1．已知实数a、b、c、d满足2 005a3=2 006b3=2 007c3=2 008d3，
=
则a-1+b-1+c-1+d-1的值为( ).
A．1 B．0 C．-1 D．±1
2．如图，在正方形中，点是对角线的中点，是线段上的动点（不与点，重合），交于点，于点．则对于下列结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（　　）
A． B． C． D．
4．若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为(　　)
A．3 cm B．±3 cm C．±18 cm D．18 cm
5．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC力向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC翻折，点P的对应点为R，设点Q运动的时间为t秒，若四边形PCRQ为菱形，则t的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
7．下列说法正确的个数有（ ）
①垂线段最短；
②一对内错角的角平分线互相平行；
③平面内的n条直线最多有个交点；
④若，则；
⑤平行于同一直线的两条直线互相平行，垂直于同一直线的两条直线也互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．，，为非零实数，且，若，则等于（ ）.
A．8 B．4 C．2 D．1
二、填空题
9．已知且则a的值为_______.
10．在平面直角坐标系中，关于的一次函数，其中常数k满足，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数的解析式为______．
11．春节临近，各种新鲜水果大量上市．某商人根据市场调查，购进草莓和车厘子两种水果，已知销售每斤草莓的利润率为，每斤车厘子的利润率为．当售出的草莓和车厘子的数量之比为时，商人得到的总利润率为．要使商人得到的总利润率为，那么售出的草莓和车厘子的数量之比为_________．
12．若，且，则的值为_________．
13．美是一种感觉，当人体下半身身长与身高的比值越接近（约为0.618）时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为______ cm．
14．已知，则 _______．
15．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则___________
16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=15，点D，E，P分别是边AC，AB；BC上的点，且AD=4，AE=4EB．若 是等腰三角形，则CP的长是__________．
三、解答题
17．如图，抛物线y＝+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x＝2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在x轴上，直线BP将△ABC面积分成2：3两部分，求出P点坐标．
18．作出线段的黄金分割点（不写作法，保留作图痕迹）
19．如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．
（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是　 　；四边形CEAF面积＝　 　．
（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．
（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝　 　时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．
20．如图（1），、是两条线段，是的中点，，、分别表示、、的面积．当时，则有 ①．
（1）如图（2），是的中点，与不平行时，作、、分别垂直于、、三个点，问结论①是否仍然成立？请说明理由．
（2）若图（3）中，与相交于点时，问、和三者之间存在何种相等关系？试证明你的结论．
21．如图l，在中，点，分别在边和上，点，在对角线上，且，.
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）若，，.
①当四边形是菱形时，的长为______；
②当四边形是正方形时，的长为______；
③当四边形是矩形且时，的长为______.
22．材料一：“黄金分割比”的定义如下：
“如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．
材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．
请根据以上材料，回答下列问题
（1）如图，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝　　　　　　，CD＝　　　　　　．
（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．
（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值．
23．在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，G为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度的最大值．
24．已知，求的值．
25．已知，在△ABC中，AB=AC，在射线AB上截取线段BD，在射线CA上截取线段CE，连结DE，DE所在直线交直线BC于点M．
猜想：当点D在边AB的延长线上，点E在边AC上时，过点E作EF∥AB交BC于点F，如图①．若BD=CE，则线段DM、EM的大小关系为 ．
探究：当点D在边AB的延长线上，点E在边CA的延长线上时，如图②．若BD=CE，判断线段DM、EM的大小关系，并加以证明．
拓展：当点D在边AB上（点D不与A、B重合），点E在边CA的延长线上时，如图③．若BD=1，CE=4，DM=0.7，求EM的长．
26．如图一，矩形中，，，是上一点，将沿折叠,使点落在上一点处，连结、．
求的长度；
设点、、分别在线段、、上，当且四边形为矩形时，请说明矩形的长宽比为，并求的长．（如图二）
答案
一、单选题
D.B．B．A.AC．B．A
二、填空题
9．8；
10．或.
11．．
12．19.
13．8
14．.
15．5．
16． 或
三、解答题
17．
解：（1）由题意得：x＝﹣＝﹣＝2，c＝2，
解得：b＝﹣4，c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣4x+2；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝2，BC＝6，
∴,
解得，
把x＝5代入抛物线解析式y＝﹣4x+2，得：y＝﹣4×5+2=7，
∴B（﹣1，7），C（5，7），
设直线AC解析式为y＝kx+2，把C（5，7）代入得：7=5k+2，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+2，
作直线BP，与AC交于点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，过C作CF⊥x轴，垂足为F，过A作AQ⊥CF，垂足为Q，交DE于点G，
则四边形AOEG是矩形，四边形OFQA是矩形，四边形GEFQ是矩形，DG∥CQ，
∵C（5，7），
∴OF=AQ=5，OE=AG=；
∵直线BP将△ABC面积分成2：3两部分，根据同高两个三角形的面积比等于对应底之比，得AD：DC=2:3或AD:DC=3:2即AD：AC=2:5或AD:AC=3:5，
∵DG∥CQ，
∴，
∴或，
∴=2或=3，
当=2时，y=x+2=4，
当=3时，y=x+2=5，
∴点D的坐标为（2,4）或（3,5），
当点D的坐标为（2,4）时，设直线BP的解析式为y=mx+n，
根据题意，得，
解得，
∴直线BP的解析式为y=-x+6，
当y=0时，-x+6=0，解得x=6，
∴点P的坐标为（6,0）；
当点D的坐标为（3,5）时，设直线BP的解析式为y=hx+t，
根据题意，得，
解得，
∴直线BP的解析式为y=x+，
当y=0时，x+=0，解得x=13，
∴点P的坐标为（13,0）；
综上所述，P的坐标为（6，0）或（13，0）．
18．
解：如图，点即为所求．
19．
解：（1）连接CD、CB，如图1所示：
∵A（0，0）、C（2，2）、D（0，2）、B（2，0），
∴CD＝CB＝AB=AD=2，
∴四边形DABC是菱形
又
∴四边形ABCD是正方形，
∵E、F两点分别从点D和点B向下和向右以每秒一个单位速度移动，
∴DE＝BF，
∵∠CDE＝∠CBF＝90°，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴EC＝FC，
S四边形CEAF＝S四边形CEAB+S△CBF＝S四边形CEAB+S△CDE＝S正方形ABCD＝CB CD＝2×2＝4，
故答案为：FC，4；
（2）∵△CDE≌△CBF，
∴EC＝FC，∠DCE＝∠BCF，
∵∠DCE+∠ECB＝90°，
∴∠BCF+∠ECB＝90°，即∠ECF＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
当t＝1时，DE＝1，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝＝＝，
∴EF＝CE＝×＝，
∵Q为EF中点，
∴CQ＝EF＝＝；
（3）∵BP∥CF，∠ECF＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴点P的轨迹在以BC为直径的圆弧上，
设BC的中点为G，连接AG，如图2所示：
当点P在AG上时，AP最短，
此时，PG＝BG＝1，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG＝＝＝，
∴AP＝AG﹣PG＝﹣1，
∵BC∥DE，
∴∠AEP＝∠GCP，
∵GC＝GP，
∴∠GCP＝∠GPC，
∵∠GPC＝∠APE，
∴∠AEP＝∠APE，
∴AP＝AE＝﹣1，
∴E（0，1﹣），
∴DE＝2﹣（1﹣）＝+1，
∴t＝（+1）s，
故答案为：（+1）s；
设CE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将C（2，2）、E（0，1﹣）代入解析式得：，
解得：，
∴CE的解析式为：y＝x+1﹣，
令y＝0，x＝3﹣，
∴K（3﹣，0），
∴BK＝2﹣（3﹣）＝﹣1，
∴＝，
∴点K是线段AB的黄金分割点．
20．
（1）当和不平行时，结论①仍然成立．
如图，由已知，可得，和两两平行，
∴四边形是梯形．
∴为的中点，
∴是梯形的中位线．
∴．
∴．
∴．
（2）∵为的中点，
∴，．
∴
．
∴．
∴．
21．
（1）证明：如图1中，设的中点为．连接，，，．
四边形是平行四边形，
与互相平分且交于点，，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分且交于点，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）①如图中，连接交于点，当时，四边形是菱形．
，，，
，
，
，
，
，
．
②在①的基础上，满足时，四边形是正方形，
易知，
，
，
．
③如图中，连接交于点，作于．
，
，
，，
，
，
当时，四边形是矩形，
．
故答案为：5，1，．
22．
解：（1）∵AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，
∴AC＝BD＝AB＝×4＝2﹣2，
∴DC＝AC+BD﹣AB＝2（2﹣2）﹣4＝4﹣8；
故答案为：2﹣2，4﹣8；
（2）∵b为0，1的黄金数，且实数0＜b＜1，
∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0），
b2+b﹣1＝0，
b1＝＜0（舍），b2＝＞0，
∵a为0，1的白银数，且实数0＜a＜1，
∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0），
a2﹣3a+1＝0，
a1＝＞1（舍），a2＝＜1，
∴b﹣a＝﹣＝﹣2；
（3）∵m，n分别为k，t的黄金数和白银数，实数k＜n＜m＜t，
∴
分两种情况：
i）当k≥0时，t＝2k，
由①得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k），
m2﹣km﹣k2＝0，
m＝k；
由②得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k），
n2﹣5kn+5k2＝0，
n＝k，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＝k，n＝k
∴＝＝＝；
ii）当k＜0时，t＝﹣2k，
由①得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k），
m2﹣5km﹣5k2＝0，
m＝k；
由②得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k），
n2+7kn+k2＝0，
n＝k＞0，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＞0，
∴m＝k，n＝k，
∴ ＝＝＝；
综上，的值是或．
23．
解：（1）如图1中，连接BE，CF．
∵AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，
∴BC＝＝12，BD＝CD＝6，
∴AD＝BD＝DC＝6，
∴∠DAB=∠DAC=45°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF
∵∠DAH＝45°，
∴∠FAH=90°-∠DAH＝45°，
∴EH＝HF，
∵AE：DE＝2：1，AE+DE=6，
∴AE＝4，DE＝2，
∴BE＝，
∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE,
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴CF＝BE＝2，
∵EG＝CG，EH＝FH，
∴GH＝CF＝．
（2）结论：∠DGH＝90°是定值．
理由：连接BE，CF，设CF交BE于点O，BE交AC于J．
∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠AJB＝∠CJO，
∴∠COJ＝∠BAJ＝90°，
∴CF⊥BE，
∵EH＝HF，EG＝GC，
∴GH∥CF，
∵CD＝DB，CG＝GE，
∴DG∥BE，
∴DG⊥GH，
∴∠DGH＝90°．
（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JG．
由题意AJ＝JC＝3，AB＝6，
∵∠BAJ＝90°，
∴BJ＝＝3，
∵AJ＝JC，EG＝CG，
∴JG＝AE＝2，
∵BG≤BJ+JG，
∴BG≤3+2，
∴BG的最大值为3+2．
24．
因为，
所以a=b，c=d，e=f，
所以.
25．
（1）如图1中，猜想：DM=EM．
理由：作EF∥AB交BC于F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥AD，
∴∠EFC=∠ABC，
∴∠C=∠EFC，
∴EF=EC，
∵BD=EC，
∴DB=EF，
∵EF∥AB，
∴∠D=∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
，
∴△BDM≌△FEM，
∴DM=EM．
故答案为DM=EM．
（2）结论DM=EM．
理由：如图2中，作EF∥AB交CB的延长线于F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠EFC=∠ABC，
∴∠C=∠EFC，
∴EF=EC，
∵BD=EC，
∴DB=EF，
∵EF∥AB，
∴∠D=∠MEF，
在△BDM和△FEM中，
，
∴△BDM≌△FEM，
∴DM=EM．
（3）如图3中，作EF∥AB交CB的延长线于F，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠F=∠C，
∴EF=CE=4，
∵BD∥EF，
∴，
∴，
∴EM=2.8，
故答案为2.8．
26．
解：(1如图一，在矩形中，，，，
由折叠可得：，，
∴直角三角形中，，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
即；
（2）如图二，当，且四边形为矩形时，点在的垂直平分线上，
即垂直平分，
∴，①
又∵，
∴，
∵，
∴，即
解得，②
∴由①②得：矩形的长宽比为，
在中，．