九年级数学上册试题 4.2由平行线截得的比例线段同步测试-浙教版（含答案）

4.2由平行线截得的比例线段
一、单选题
1．如图，△ABC中，点D是BC延长线上一点，且∠CAD=90°﹣∠BAC，过点C作CE∥AD交AB于点E，且∠ACE=3∠BCE，AC=3，BE=2，则CD的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
2．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接BF．将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上且BA′交CD于点G，若AE＝EC，AC＝3，BE＝1，则BG＝（　　）
A．5 B． C． D．3
3．有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（　　）
A．B．C． D．
5．如图所示，是的中线，是上一点，，的延长线交于，（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线，一等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线上，且∠ACB=90°，AC交与点D，若的距离为1，的距离为4，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数y＝﹣x＋6与反比例函数y＝（k＞0）交于A、B两点，过A、B两点分别作x轴、y轴的平行线交于点C，连接OC交AB于点D，连接OA．若△ADO的面积是△BDC面积的倍，则k的值是（ ）
A．8 B．10 C．10.5 D．12
二、填空题
8．如图，边长为4的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接CE交BD于F，连接AF，过A作AM⊥AF交CE的延长线于M，则DM的长为________．
9．如图在中，为上的一点，为上的一点，的延长线交于点，已知，（，为不小于的整数），则的值是________．
10．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，交于点，连接．给出以下四个结论：
①若，；
②；
③平分；
④若，，则．
其中正确的有________．(把所有正确结论的序号都选上)
11．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___.
12．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在的双曲线上．点的对应点分别是点．若点为的中点，且，则的值为____．
13．如图，将等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，其中∠GAE=∠DAB=90°，GE与AD交于点M，过点D作DC∥AB交AE于点C．已知AF平分∠GAM，EH⊥AE交DC于点H，连接FH交DM于点N，若AC=2，则MN的值为______．
14．如图，在正方形中，与交于点是的中点，点在边上，且为对角线上一点， 则的最大值为__________．
15．如图，在矩形中，，点E，F分别为边，上的动点，且．连接、交于点H．连接，过点A作于点G，连接，则的最小值为________________．
三、解答题
16．为等边三角形，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接．
（1）如图1，平分，，与交于点，，求；
（2）如图2，连接，点，点分别是线段，上两动点，且满足，连接，，线段，交于点，连接．求证：：
（3）如图2，若，，直接写出的长．
17．已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为点P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E．
（1）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示，求∠AFQ的度数；
（2）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．
18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，点B是抛物线与y轴交点，点M、N同时从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴的负半轴、y的负半轴方向匀速运动，（当点N到达点B时，点M、N同时停止运动）．过点M作x轴的垂线，交直线AB于点C，连接CN、MN，并作△CMN关于直线MC的对称图形，得到△CMD．设点N运动的时间为t秒，△CMD与△AOB重叠部分的面积为S．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当0＜t＜2时，
①求S与t的函数关系式.
②直接写出当t＝_____时，四边形CDMN为正方形.
（3）当点D落在边AB上时，过点C作直线EF交抛物线于点E，交x轴于点F，连接EB，当S△CBE：S△ACF＝1：3时，直接写出点E的坐标为______．
19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象经过点和点，与轴交于点，连接，，现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒4个单位的速度沿向终点移动，点以每秒1个单位的速度沿向点移动点停止运动时，点也同时停止运动，线段，相交于点，过点作，交于点，射线交轴于点，设动点、移动的时间为（单位：秒）．
（1）求经过，，三点的二次函数解析式；
（2）点、点在运动过程中，的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
（3）当为何值时，为等腰三角形？请写出解答过程．
20．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DEBC．
（1）若S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，求S△BDE；
（2）若S△BDE＝m，S△BCE＝n，求S△ABC（用m、n表示）．
21.我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果．那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若，则的长为_____；
（2）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明是的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
22．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋12与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，且经过点C(－1，7)和点D(5，7)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1∶7．点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；
(3)在抛物线y＝ax2＋bx＋12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m－n的取值范围．(直接写出结果即可)
　
23．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，作∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，
（1）求∠AEB的度数．
（2）过点E任意作一条直线交AM于D，交BN于C，求证：DE=CE．
（3）若线段DC的两个端点在AM、BN上移动，且DC总是经过点E，请写出线段AB、BC、AD满足的数量关系，并说明理由．
答案
一、单选题
A．C．A．D．D．B.B．
二、填空题
8.．
9.
10.②③④
11.2.
12.．
13.9﹣5．
14.1．
15.．
三、解答题
16.（1）∵将线段CA绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，
∴BC＝CD＝6，∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠CBD＝∠D＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC ∠CBD＝30°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠DBE＝15°，
∴∠EBC＝45°，
∵CE⊥BC，
∴∠EBC＝∠E＝45°，
∴BC＝CE＝6，
∵∠FBC＝30°，∠BCF＝90°，
∴BF＝2CF，BC＝=CF，
∴CF＝2，
∴EF＝6 2，
∴S△BEF＝×BC×EF＝18 6；
（2）如图2，作∠GAP＝120°，且AG＝AP，连接BG，GP，过点A作AH⊥GP，交GP于H，
∵将线段CA绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，
∴BC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝AC＝AB，∠CAD＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝120°＝∠GAP，
∴∠DAP＝∠BAG，
又∵AG＝AP，
∴△AGB≌△APD（SAS），
∴PD＝BG，
∵AG＝AP，∠GAP＝120°，AH⊥GP，
∴GH＝HP，∠AGP＝∠APG＝30°，
∴GH＝AH，AP＝2AH，
∴GP＝2AH＝AP，
∵AD＝AC，∠ACD＝∠DAC＝60°，AM＝CN，
∴△ADM≌△CAN（SAS），
∴∠CAN＝∠ADM，
∴∠CAD＝∠CAN＋∠NAD＝∠ADM＋∠NAD＝∠APM＝60°，
∴∠APD＝120°＝∠AGB，
∴∠BGP＝90°，
∴BP2 GB2＝GP2，
∴PB2 PD2＝3PA2；
（3）如图3，过点N作KN⊥AC于K，作QN∥AC交MD于Q，
∵AB＝6，AM＝CN＝AC，
∴AM＝CN＝2，DN＝CM＝4，
∵∠ACD＝60°，NK⊥AC，
∴∠KNC＝30°，
∴CK＝CN＝1，KN＝KC＝，
∴AK＝5，
∴AN＝，
∵QN∥AC，
∴，
∴，
∴QN＝，
∵QN∥AC，
∴，
∴，
∴AP＝×3＝．
17.解：（1）连接AQ，CQ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABQ=∠CBQ=45°，
∵BQ=BQ，
∴△ABQ≌△CBQ（SAS），
∴QA=QC，∠BAQ=∠QCB，
∵EQ垂直平分线段AF，
∴QA=QF，
∴QC=QF，
∴∠QFC=∠QCF，
∴∠QFC=∠BAQ，
∵∠QFC+∠BFQ=180°，
∴∠BAQ+∠BFQ=180°，
∴∠AQF+∠ABF=180°，
∵∠ABF=90°，
∴∠AQF=90°，
∴∠AFQ=∠FAQ=45°．
（2）解：过点E作ET⊥CD于T，则四边形BCTE是矩形．
∴ET=BC，∠BET=∠AET=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=ET，∠ABC=90°，
∵AF⊥EG，
∴∠APE=90°，
∵∠AEP+∠BAF=90°，∠AEP+∠GET=90°，
∴∠BAF=∠GET，
∵∠ABF=∠ETG，AB=ET，
∴△ABF≌△ETG（ASA），
∴BF=GT=x，
∵AD∥CB，DG∥BE，
∴，
∴，
∴BE=TC=xy，
∵GT=CG-CT，
∴x=2-y-xy，
∴（0≤x≤2）．
18.（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，
∴抛物线与x轴另外一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线的表达式为：y＝a（x+8）（x﹣2）＝a（x2+6x﹣16），
∵点B是抛物线与y轴交点，
∴B（0，4），
∴﹣16a＝﹣4，
解得：a＝，
∴抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣4.
（2）如图1，①∵OM＝ON＝t，
∴AM＝8﹣t，
∵MC∥y轴，
∴，即，
解得：MC＝（8﹣t），
∵△CMN与△CMD关于直线MC对称，
∴S△CMD=S△CMN，
∵0＜t＜2，
∴S＝S△MCN＝MC×t＝﹣t2+2t.
②四边形CDMN为正方形时，MN=，
∴MC＝ND＝=2t，
∴MC＝（8﹣t）＝2t，
解得：t＝，
故答案为：
（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（-8，0），B（0，-4），
∴，
解得：，
∴直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣4，
如图2，当点D在AB上时，设点M（﹣t，0），
∴N（0，-t），
当y=-t时，﹣x﹣4=-t，
解得：x=2t-8，
∴点D（2t﹣8，﹣t），
∴DN=8-2t，
∵OM=ON=t，
∴MN＝t，∠OMN=∠ONM=45°，
∵MC⊥x轴，
∴∠CMN=45°，
∵△CMN与△CMD关于直线MC对称，
∴∠DMC=∠CMN=45°，
∴∠DMN=90°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴DN=MN，即8-2t=×t，
解得：t=2，
∵点C在直线AB上，MC⊥x轴，
∴当x=-2时，y=-×(-2)-4=-3，
∴点C（﹣2，﹣3），
∴AC＝=3，BC==，
∴AC＝3BC，
如图3,过点E、F分别作AB的垂线交AB于点G、H，
∵S△CBE：S△ACF＝1：3，
∴AC·FH=3×BC·EG，即×3BC·FH=3×BC·EG，
∴EG＝FH，
∵FH⊥AB，EG⊥AB，
∴∠FHC=∠EGC=90°，
在△FHC和△EGC中，，
∴△FHC≌△EGC，
∴FC=EC，
∴点C是EF的中点，设点F（m，0），E(x，y)，
∵点C（﹣2，﹣3），
∴，，
解得：x=-4-m，y=-6，
∴点E（﹣4﹣m，﹣6），
把点E的坐标代入抛物线表达式得：-6=（-4-m）2+(-4-m)-4，
解得：m＝0或﹣2，
当m=0时，-4-m=-4，点E坐标为（-4，-6），
当m=-2时，-4-m=-2，点E坐标为（-2，6），
综上所述：点E的坐标为：（﹣4，﹣6）或（﹣2，﹣6），
19.解：（1）将，代入中，
得：
解得：
∴函数解析式为．
（2）设点运动了秒，则，，且，说明点在线段上，且不与点，重合，
∵，
∴，
同理：，
∴，即，
∴．
∴，
∴，
∴的面积总为定值为90．
（3）设点运动了秒，则，，，且，
∴，
，，
①，则，解得，（不合题意，舍去），
②若，则，解得（不合题意，舍去），
③若，则，解得（均不合题意，舍去），
综上所述，当时，为等腰三角形．
20.解：（1）设S△BDE＝x．
∵，
∵DE∥BC，
∴，
∴
∵S△ADE＝2，S△BCE＝7.5，
∴，
解得：x1＝﹣5（舍），x2＝3．经检验x＝3是此题的解，
∴S△BDE＝3；
（2）由（1）知，
设S△ADE＝y，又S△BDE＝m，S△BCE＝n，
∴，
解得，
∴．
21.（1）AB=×20=（）(cm)，
故答案为：；
（2）如图，连接GE，设BG=x，则GA=20-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠D=90 ，
由折叠性质得：CH=BC=20，GE=BG=x，∠GHC=∠B=90 ，AE=ED=10，
在Rt△CDE中，CE=，
∴EH=，
在Rt△GHE中，
在Rt△GAE中，,
∴，
解得：x=，
即，
∴是的黄金分割点；
（3）当PB=BC时，、恰好分别是、的黄金分割点．
理由：∵，
∴∠BCF+∠CBE=90 ，又∠CBE+∠ABE=90 ，
∴∠ABE=∠BCF，
∵∠A=∠ABC=90 ，AB=BC，
∴△BAE≌△CBF（ASA），
∴AE=BF，
设AE=BF=x，则AF=a-x，
∵AD∥BC即AE∥PB，
∴即，
∴，
解得：或(舍去)，
即BF=AE=，
∴，
∴、分别是、的黄金分割点．
22.解：(1)把C(－1，7)，D(5，7)代入，得：
，
解得 ．
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x＋12．
(2)如图1，过点E作EM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N．
对于抛物线y＝－x2＋4x＋12，令y＝0，则－x2＋4x＋12＝0．解得x1＝－2，x2＝6．
∴A(－2，0)，B(6，0)．
∵D(5，7)，∴OA＝2，DN＝7，ON＝5，AN＝7．
∵△CED的面积与△CAD的面积之比为1∶7，
∴DE∶AD＝1∶7．AE∶AD＝6∶7．
∵EM∥DN，
∴＝＝＝，即＝＝．
∴AM＝EM＝6．
∵OM＝AM－AO＝6－2＝4，
∴E(4，6)．
将B、E两点坐标联立二元一次方程组，
解得
∴直线BE的表达式为y＝－3x＋18．
直线BE和抛物线y＝ax2＋bx＋12有交点B、F，
联立
解得或
∴F(1，15)．
过点P作PQ∥y轴交BF于点Q，设P(t，－t2＋4t＋12)，1＜t＜6，则Q(t，－3t＋18)．
∴PQ＝－t2＋4t＋12－(－3t＋18)＝－t2＋7t－6．
∴．
∵，
∴当时，△PFB的面积最大，最大值为；
(3)－4≤m－n≤0．
如图，作直线，与抛物线左侧交点为，与抛物线右侧交点为，
对于抛物线y＝－x2＋4x＋12，
当y＝16时，－x2＋4x＋12＝16，解得x1＝x2＝2；
当y＝12时，－x2＋4x＋12＝12，解得x1＝0，x2＝4．
观察图像可知，当0≤x≤2或2≤x≤4时，12≤y≤16．
∴，，且．
∴－4≤m－n≤0．
23.解：如图：延长AE交BN于F，
（1）∵AM∥BN，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠MAB、∠NBA的平分线交于E，
∴∠3=∠DAB，∠1=∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=180°-90°=90°；
（2）∵AE平分∠DAB，
∴∠3=∠4，
∵AM∥BN，
∴∠4=∠BFA，
∴∠3=∠BFA，
∴AB=BF，
∵∠BEA=90°，
∴BE⊥AF，
∴AE=EF，
∵AM∥BN，
∴，
∴DE=CE；
（3）AD+BC=AB；
理由是：∵AM∥BN，
∴，
∵AE=EF，
∴AD=CF，
∵AB=BF=BC+CF=AD+BC，
即AD+BC=AB成立．