九年级数学上册试题4.3相似三角形同步测试-浙教版（含答案）

4.3相似三角形
一、单选题
1．如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，P 是边CD 上一点，将△ADP沿直线AP对折，得到△APQ．当射线BQ交线段CD于点F时，DF的最大值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是( )cm2．
A． B． C． D．
3．已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
4．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③△AEH∽△CEA；④AE AD＝AH AF；其中结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，中线CE交AD于点F，AD=18，EF=5，则BC长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
6．如图, AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，⊙O上有定点C和动点P，它们位于直径AB的异侧， 过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q,若tan∠ABC=，则线段CQ的长度的最大值为（ ）
A．10 B． C． D．
7．和符合下列条件，其中使与不相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=10，在线段BC上任取一点P，作射线PE⊥PD，与线段AB交于点E，则线段PC的范围是（ ）
A．PC＞0 B．0＜PC＜12 C．3≤PC≤12 D．3＜PC＜12
二、填空题
9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是一条角平分线，它们相交于点P.已知∠APE＝55°，∠AEP＝80°，若AE=CD,PD=3,CD=4,则△APE的周长为____.
10．如图，已知点是边长为的正方形内一点，且，，垂足是点，若在射线上找一点，使以点，，为顶点的三角形与相似，则的长为_________.
11．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则
①CD＝____；
②图中阴影部分面积为_____．
12．如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．若AC＝8，AD＝2，则＝_______________．
13．如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，再顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第2018个正方形A2018B2018C2018D2018的周长是_____．
14．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB＝，点E在CD边上，DE＝2，连接BE，F是BE边上的一点，过点F作FG⊥AB于G，连接DG，将△ADG沿DG翻折的△PDG，设EF＝x，当P落在△EBC内部时（包括边界），x的取值范围是__．
15．如图，已知等边△ABC的边长为3，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF=1，则AP AF的值为_____．
16．如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF=CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2=EF BF；②AG=2DC；③AE=EF；④AF EC=EF EB．其中正确的结论有________
三、解答题
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
(1)求线段CD的长；
(2)当△CPQ与△BDC相似时，求t值；
(3) 设△CPQ的面积为y，求y与t的函数关系式，并判断△PCQ的面积是否有最大值还是最小值？若有，求出t为何值时y的最值，若没有，则说明理由．
18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．
（1）求∠ABP的度数；
（2）求的值；
（3）若CD边上有且只有2个点G，使△GPD与△GFC相似，请直接写出的值．
19．如图1，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为．
（1）求直线的解析式；
（2）点是坐标轴上的一个点，若为直角边构造直角三角形，请求出满足条件的所有点的坐标；
（3）如图 2，以点为直角顶点作，射线交轴的负半轴与点，射线交轴的负半轴与点，当绕点旋转时，的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程） ．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE＝y；
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4cm，AD＝3cm，动点M，N分别从点D，B同时出发，都以1cm/s的速度运动．点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于点O，连接MP．已知动点运动了ts（0＜t＜3）．
（1）当t为多少时，PM∥AB？
（2）若四边形CDMP的面积为S，试求S与t的函数关系式．
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形CDMP面积与四边形ABCD面积比为3：8？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在点M，N运动过程中，△MPA能否成为一个等腰三角形？若能，求出所有可能的t值；若不能，试说明理由．
22．已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线1：y＝﹣x+4与坐标轴分别相交于点A、B与l2：y＝x相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若平行于y轴的直线x＝a交于直线1于点E，交直线l2于点D，交x轴于点M，且ED＝2DM，求a的值；
（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO＝135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．
23．如图，等边△ABC中，点D是BC上任意点，以AD为边作∠ADE=∠ADF=60°，分别交AC，AB于点E，F.
(1)求证：AD2=AE×AC
(2)已知BC=2，设BD的长为x，AF的长为y，求y关于x的函数表达式.
=
24．问题提出；
（1）如图1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，点E为CD的中点，点P为BC上的动点，CP＝　 　时，△APE的周长最小．
（2）如图2，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，点E为CD的中点，点P、点Q为BC上的动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，请确定点P的位置（即BP的长）
问题解决；
（3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点P处修一个凉亭，设计要求PA长为100米，同时点M，N分别是水域AB，AC边上的动点，连接P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形AMPN面积的最大值是多少？
25．已知，把和按图1摆放，点C与E点重合，点B、C、E、F始终在同一条直线上，，，，，，如图2，从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB方向匀速移动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与的直角边相交于Q，当P到达终点B时，同时停止运动连接PQ，设移动的时间为解答下列问题：
在平移的过程中，当点D在的AC边上时，求AB和t的值；
在移动的过程中，是否存在为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
26．如图1，点是正方形的中心，点是边上一动点，在上截取，连结，．初步探究：在点的运动过程中：
(1)猜想线段与的关系，并说明理由．
深入探究：
(2)如图2，连结，过点作的垂线交于点．交的延长线于点．延长交的延长线于点．
①直接写出的度数．
②若，请探究的值是否为定值，若是，请求出其值；反之，请说明理由
答案
一、单选题
C.B.B.D．C.C.D.C．
二、填空题
9．12+4
10．3或．
11．10；．
12．．
13．.
14．≤x≤．
15．3．
16．①②④．
三、解答题
17．
（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=BC AC=AB CD．
∴．
∴线段CD的长为4.8．
（2）由题可知有两种情形，
设DP=t，CQ=t．则CP=4.8-t．
①当PQ⊥CD时，如图a
∵△QCP∽△ABC，△ABC∽CBD，
∴△QCP∽△CBA，
∴，即 ，
∴t=3；
②当PQ⊥AC，如图b．
∵△PCQ∽△ABC
∴ ，即 ，解得t=，
∴当t为3或时，△CPQ与△△ABC相似；
（3）结论：△PCQ的面积有最大．
理由：过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图所示．
由题可知DP=t，CQ=t．
则CP=4.8-t．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴，
∴，
∴．
∴S=S△CPQ
=；
∵-＜0，
∴S有最大值，
∴当t=时，S最大=．
18．
解：（1）∵ ，
∴，
由翻折可知：，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴．
（2）由翻折可知：EF垂直平分PB，设，
在中，∵ ，
∴，
在中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图3﹣1中，作点P关于CD的对称点N，连接FN交CD于G，此时，以PF为直径作圆交CD 于G1，G2，此时 ，．
①当点G与G2重合时，满足条件，易证，设 ，
则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当G1，与G2重合时，满足条件，此时以PF为直径的圆与CD相切，设 ，
则：, ，
∵，
∴ ，
∴，
∴，，
∴ ．
19．
解：
（1）设直线的解析式为：．
点，点在直线上，
，解得，
直线的解析式为：；
（2）是以为直角边的直角三角形，
有或，
①当时，如图1，
过作的垂线，交轴于点，交轴于点，
则可知，
，
由（1）可知，
，解得，
，
，
轴，
，即，解得，
；
②当时，如图2，
过作的垂线，交轴于点，
设直线交轴于点，则由（1）可知，
，，
由题意可知△，
，即，解得，
，
综上可知点的坐标为或或；
（3）不变 ．
理由如下：
过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图3．
则，
又，
，
，
，
，
．
，
．
在和中
，
，
．
．
故的值不发生变化，值为8．
20．
（1）∵矩形ABCD，
∴∠D＝90°，AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，
∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC＝＝5，
∵PE∥CD，
∴∠APE＝∠ADC，∠AEP＝∠ACD，
∴△APE∽△ADC，
又PD＝x，AD＝4，AP＝AD﹣PD＝4﹣x，AC＝5，PE＝y，DC＝3，
∴，即，
∴y＝﹣x+3；
（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，
故QB与PE不平行，
当QP∥BE时，∠PQE＝∠BEQ，
∴∠AQP＝∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ＝∠BCE，
∴△PAQ∽△BCE，
由（1）得：AE＝﹣x+5，PA＝4﹣x，BC＝4，AQ＝x，
∴，即，
整理得：5（4﹣x）＝16，
解得：x＝，
∴当x＝时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；
（3）存在．分两种情况：
当Q在线段AE上时：QE＝AE﹣AQ＝﹣x+5﹣x＝5﹣x，
（i）当QE＝PE时，5﹣x＝﹣x+3，
解得：x＝；
（ii）当QP＝QE时，∠QPE＝∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°，
∴∠APQ＝∠PAQ，
∴AQ＝QP＝QE，
∴x＝5﹣x，
解得：x＝；
（iii）当QP＝PE时，过P作PF⊥QE于F，
可得：FE＝QE＝（5﹣x）＝，
∵PE∥DC，∴∠AEP＝∠ACD，
∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝，
∵cos∠AEP＝＝＝，
解得：x＝；
当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图所示：
∴PE＝EQ＝AQ﹣AE，AQ＝x，AE＝﹣x+5，PE＝﹣x+3，
∴﹣x+3＝x﹣（﹣x+5），
解得：x＝．
综上，当x＝或x＝或x＝或x＝时，△PQE为等腰三角形．
21．
解：（1）∵PM∥AB，AB∥PN，
∴PM与PN共直线，
∴MN∥AB，
∴AM＝NB，
∴3﹣t＝t，
得
（2）如图，延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，
由题意知，DM＝BN＝t，AM＝CN＝3﹣t，
∵PN∥AB，
∴△PNC∽△ABC，
∴即
解得：
∵PQ⊥AD，
∴∠QAB＝∠B＝∠NQA＝90°，
∴四边形ABNQ是矩形，
则AB＝QN＝4，
∴
∴四边形CDMP的面积
（3）∵S矩形ABCD＝3×4＝12，
∴
解得：
所以时四边形CDMP的面积与四边形ABCD的面积比为3：8；
（4）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：
①若PM＝PA，
∵PQ⊥MA，
∴四边形ABNQ是矩形，
∴QA＝NB＝t，
∴MQ＝QA＝t，
又∵DM+MQ+QA＝AD
∴3t＝3，即t＝1
②若MP＝MA，则MQ＝3﹣2t， MP＝MA＝3﹣t，
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2＝MQ2+PQ2
∴
解得：t＝（t＝0不合题意，舍去）
③若AP＝AM，
由题意可得：AP＝t，AM＝3﹣t
∴
解得：t＝，
综上所述，当t＝1或t＝或t＝时，△MPA是等腰三角形．
22．
（1）联立两直线解析式得：，解得：，则C坐标为（3，1）；
（2）由题意：M（a，0）D（a，a） E（a，﹣a+4）．
∵DE=2DM，∴|a﹣（﹣a+4）|=2|a|，解得：a=2或6．
（3）如图2中，过O作OQ⊥OP，交BP的延长线于点Q，可得∠POQ=90°．
∵∠BPO=135°，∴∠OPQ=45°，∴∠Q=∠OPQ=45°，∴△POQ为等腰直角三角形，∴OP=OQ．
∵∠AOB=∠POQ=90°，∴∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ．
∵OA=OB=4，∴，∴△AOP∽△BOQ，∴∠APO=∠BQO=45°，∴∠APB=∠BPO﹣∠APO=90°，则AP⊥BP．
23．
解：(1)在等边△ABC中∠B=∠C=60°
∵∠ADE=60°
∴∠ADE=∠ACD，∠DAE=∠CAD
∴△ADE∽△ACD
∴=
∴AD2=AE×AC；
(2)∵∠B=∠ADF，∠DAF=∠BAD
∴△DAF∽△BAD
∴=
∴AD2=AF×AB
∴△DAF∽△BAD
由(1)知AD2=AE×AC，且AB=AC
∴AE=AF
∵∠B=∠C=∠ADE且∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE
∴
∵BC=2，BD=x，AF=y
∴AB=2，CD=2-x，CE=2-y
∴=
∴.
24．
解：（1）：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°＝∠ABC，AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，
∵E为CD中点，
∴DE＝CE＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝2，
即△APE的边AE的长一定，
要△APE的周长最小，只要AP+PE最小即可，
延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，
连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△ECP∽△MBP，
∴
∴
∴CP＝
故答案为：
（2）点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，
此时MQ+EQ最小，
∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝2，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，
∴MN∥CD
∴△MNQ∽△FCQ，
∴
∴
∴NQ＝4
∴BP＝BQ﹣PQ＝4+2﹣2＝4
（3）如图，作点P关于AB的对称点G，作点P关于AC的对称点H，连接GH，交AB，AC于点M，N，此时△PMN的周长最小．
∴AP＝AG＝AH＝100米，∠GAM＝∠PAM，∠HAN＝∠PAN，
∵∠PAM+∠PAN＝60°，
∴∠GAH＝120°，且AG＝AH，
∴∠AGH＝∠AHG＝30°，
过点A作AO⊥GH，
∴AO＝50米，HO＝GO＝50米，
∴GH＝100米，
∴S△AGH＝GH×AO＝2500平方米，
∵S四边形AMPN＝S△AGM+S△ANH＝S△AGH﹣S△AMN，
∴S△AMN的值最小时，S四边形AMPN的值最大，
∴MN＝GM＝NH＝时
∴S四边形AMPN＝S△AGH﹣S△AMN＝2500﹣＝平方米．
25．
作于如图1，
在中，
，，，
，
，，
，
，
，
，
时，点D在AC边上；
当，即直角边DE与AC相交于Q点时，
由题意知：
当时，
解得
如图中，当时，作于M，
则
经探索：∽
，
即 ，
，
，
解得，
如图中，当时，作于N，
则，
经探索：∽，
即 ，
；
当时，即直角边DF与AC相交于Q点时，
由题意知：，，，
当时，
不存在
如图中，当时，作于G，
则，
∽
，
即，
；
如图中，当时，作于I，
则，
经探索：∽，
，
即
舍去；
综上所述：当，，，时，是等腰三角形．
26．
解：（1）OE=OF，OE⊥OF，连接AC，BD，
∵点O是正方形ABCD的中心
∴点O是AC，BD的交点
∴BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，∠BOC=90°
∵CF=BE，∠ABO=∠ACB，BO=CO，
∴△BEO≌△CFO（SAS）
∴OE=OF，∠BOE=∠COF
∵∠COF+∠BOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°
∴∠EOF=90°，
∴EO⊥FO.
（2）
①∵OE=OF，OE⊥OF，
∴△EOF是等腰直角三角形，OG⊥EF
∴∠EOG=45°
②BH BI的值是定值，
理由如下：
如图，连接DB，
∵AB=BC=CD=2
∴BD=2，
∴BO=
∵∠AOB=∠COB=45°，∠HBE=∠GBI=90°
∴∠HBO=∠IBO=135°
∵∠EOF=∠ABF=90°
∴点E，点O，点F，点B四点共圆
∴∠EOB=∠BFE，
∵EF⊥OI，AB⊥HF
∴∠BEF+∠BFE=90°，∠BEF+∠EIO=90°
∴∠BFE=∠BIO，
∴∠BOE=∠BIO，且∠HBO=∠IBO
∴△BOH∽△BIO
∴
∴BH BI=BO2=2