(共28张PPT)
2.3三角形的内切圆
浙教版九年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；
2. 通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；
3. 类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一 步理解三角形内心和外心所具有的性质.
新知导入
这幅美丽的花边图案主要是由哪些几何图形组成的？它们之间有着怎样的位置关系？
主要是由三角形和圆组成的，圆与三角形的各边都相切.
新知讲解
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
新知讲解
（1）当裁得的圆最大时，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
新知讲解
(2) 与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？
与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在这个角的平分线上.
·
·
新知讲解
(3) 如何确定这个圆的圆心和半径？
三角形两个内角的平分线的交点即为这个圆的圆心，圆心到三角形一边的距离就是这个圆的半径.
新知讲解
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
☉O就是所求的圆.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
归纳总结
1.概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 圆心叫做三角形的内心，
三角形叫做圆的外切三角形
画三角形的内切圆:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
2.三角形内心的性质：
（1）. 三角形的内心到三角形各边的距离相等；
（2）. 三角形的内心在三角形的角平分线上；
（3）. 内心在三角形内部.
A
B
C
D
M
N
典例精析
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm，求三角形ABC的内切圆半径.
解：设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=30°.
·
A
C
B
O
D
典例精析
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD=AB=1.5(cm)，
∴OD=AD×tan30°=1.5×=(cm).
答：△ABC的内切圆的半径为cm.
新知讲解
例2 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F，设△ABC周长为l.
求证：AE＋BC＝ l.
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F为切点，
∴AE=AF，
同理，BD=BF，CD=CE.
∴AE+BC=AE+BD+CD
=(AE+AF+BD+BF+CD+CE)=l.
C
A
B
E
F
O
D
·
方法归纳
1. 任何一个三角形可作一个内切圆，内心都在三角形的内部； 在以后解有关正多边形的问题时，常常要用到这些性质．
2.三角形的内切圆中，切点与圆心的连线既是圆的半径，又垂直于边，同时三角形的边长可利用切线长定理，还可利用面积公式在三角形的三边与内切圆半径之间建直角三角形.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
2.如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，若∠B＝50°，∠C＝60°，连结OE，OF，DE，DF，则∠EDF等于 ( )
A．45° B．55°
C．65° D．70°
B
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是_______．
4．如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝________度．
70°
120
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
A
C
E
D
F
O
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
B
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D．若AC＝6，CD＝2，求⊙O的半径．
E
F
解：过O分别作AC，BC的垂线．
OE，OF，E，F为垂足，
易证四边形OECF为正方形，
设边长为x，即为⊙O的半径．
∵∠AEO＝∠ACD＝Rt∠，
∴△AEO∽△ACD，
∴＝，解得x＝1.5．
课堂总结
三角形的内切圆
定义
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心.
画三角形的内切圆
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
内心的性质
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，到三条边的距离相等，等于其内切圆的半径.
板书设计
三角形内切圆
1.概念
2.画内切圆
3.内心的性质
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？” ( )
A．3步 B．5步
C．6步 D．8步
C
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．边长为1的正三角形的内切圆半径为______.
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
110 °
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4．如图2－3－9，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连结AE，BE，则∠AEB的度数为
_________．
135°
5.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为 .
130°
作业布置
【综合拓展类作业】
6.已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若，如图①
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长．
作业布置
【综合拓展类作业】
解：(1)等腰三角形．
证明：∵AC，AB，BC是⊙O的切线，
∴∠BDO＝∠BEO＝∠CFO＝∠CEO＝90°.
∵ ，
∴∠EOF＝∠EOD
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形；
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴CE＝BE，∠FAO＝∠DAO，
∵AF＝AD，
∴FM＝DM，AE⊥DF，
∴AE过圆心O，DF∥BC，
∴AF:AC＝DF:BC，即4:6＝DF:4，
∴DF＝，∴FM＝，
∴AM＝＝.
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《2.3三角形的内切圆》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 三角形内切圆是在学习了直线与圆的位置关系，掌握了切线长定理，并理解了三角形外心之后，学习的又一个三角形与圆的重要关系 本节内容既是直线与圆位置关系的深化，又是今后的作图和实际问题学习奠定了基础，具有非常高的实用价值，通过学习可以帮助学生掌握一些作图技巧，培养学生的应用意识，增强学生对数学的兴趣。
学习者分析 学生前面已经学习过圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、全等三角形性质、角平分线的性质和判定等内容，具备研究本节课的知识基础.尤其通过对垂径定理、圆周角定理、切线判定定理等的学习和应用，学生的推理和证明能力得到了一定的提高，内切圆的概念和画法是本节课的难点，需要学生做到“三到”，即眼到、手到、心到.
教学目标 1.通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质； 2. 通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程； 3. 类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质.
教学重点 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质
教学难点 三角形内心的性质
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 这幅美丽的花边图案主要是由哪些几何图形组成的？它们之间有着怎样的位置关系？ 主要是由三角形和圆组成的，圆与三角形的各边都相切.学生活动1： 通过问题的形式引导学生，为学习新知识打下基础.活动意图说明：通过问题情境，激发学生学习兴趣，营造探索问题的氛围。同时让学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有。环节二：新知探究教师活动2： 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ （1）当裁得的圆最大时，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ (2) (3) (4) 最大的圆与三角形三边都相切 (2) 与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？ 与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在这个角的平分线上. (3) 如何确定这个圆的圆心和半径？ 三角形两个内角的平分线的交点即为这个圆的圆心，圆心到三角形一边的距离就是这个圆的半径. 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. 归纳总结： 1.概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形 画三角形的内切圆: 画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论 2.三角形内心的性质： （1）三角形的内心到三角形各边的距离相等； （2）三角形的内心在三角形的角平分线上； （3）内心在三角形内部.学生活动2： 小组交流合作，教师适时指导，探索直线与圆的位置关系，并归纳切线的判定定理 活动意图说明：通过逐个提问引导学生分析并解决问题，激发学生的学习兴趣，增强学习数学的信心.环节三：典例精析教师活动3： 例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm，求三角形ABC的内切圆半径. 解：设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠OAB=∠OBA=30°. ∵OD⊥AB，AB=3cm， ∴AD=BD=AB=1.5(cm)， ∴OD=AD×tan30°=1.5× = (cm). 答：△ABC的内切圆的半径为cm. 例2 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F，设△ABC周长为l. 求证：AE＋BC＝ l. 证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F为切点， ∴AE=AF， 同理，BD=BF，CD=CE. ∴AE+BC=AE+BD+CD =(AE+AF+BD+BF+CD+CE)=l. 方法归纳： 1. 任何一个三角形可作一个内切圆，内心都在三角形的内部； 在以后解有关正多边形的问题时，常常要用到这些性质． 2.三角形的内切圆中，切点与圆心的连线既是圆的半径，又垂直于边，同时三角形的边长可利用切线长定理，还可利用面积公式在三角形的三边与内切圆半径之间建直角三角形. 学生活动3： 学生自主解答，教师进行个别指导，最后让学生说明做题理由，教师做好总结. 活动意图说明：让学生在应用过程中进一步加深对三角形内切圆及内心的认识和理解，培养学生的应用意识和推理能力.同时在解题过程中渗透数形结合的数学思想.
板书设计 三角形内切圆 1.概念 2.画内切圆 3.内心的性质
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( ) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高线的交点 2.如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，若∠B＝50°，∠C＝60°，连结OE，OF，DE，DF，则∠EDF等于 ( ) A．45° B．55° C．65° D．70° 3．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是_______． 4．如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝________度． 选做题： 5. △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长. 【综合拓展类作业】 6.如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D．若AC＝6，CD＝2，求⊙O的半径．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？” ( ) A．3步 B．5步 C．6步 D．8步 2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= . 3．边长为1的正三角形的内切圆半径为______. 选做题 4．如图2－3－9，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连结AE，BE，则∠AEB的度数为_________． 5.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为 . 【综合拓展类作业】 6.已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若，如图① (1)判断△ABC的形状，并证明你的结论； (2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长．
教学反思 因为这些内容对学生来讲，强度比较大，任务比较多，所以主要发挥了教师的主导作用，以丰富学生的间接经验为出发点实施课堂教学活动。教学内容和学生的基础决定了教师的教学行为，不能为了追求时髦，实施脱离实际的教学行为，学生最高级的参与表现为思维的参与，而不是形式上的参与。本节课只重视了知识的传授，而忽视了与现实生活的结合，比如可引入一些三角形中做最大圆的问题，从而激发学生的学习兴趣。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1)了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念，切线的性质和判定。2)能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线；作三角形的内切圆。3)探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等4)了解三角形的内心与内切圆
内容分析 本章的主要内容有直线和圆的位置关系，需理解相交、相切、相离等概念，掌握切线的性质定理和判定定理，切线长定理等。本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性，在中考中所涉及的命题大多和圆有关的位置关系、圆中的计算有关。
学情分析 初三学生有了一定的分析力和归纳力，根据他们的特点，联系生活实际，结合本节课适合学生的学习材料，注重激发学生的求知欲，在此之前学生已学习了圆的相关知识。本章主要是在已有的知识基础上，通过自己动手平移实践得到直线与圆的三种位置关系，直线与圆相切学生会觉得难以理解，所以应进一步进行交流、探索，通过直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的位置关系，进而探究切线长定理以及内切圆，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点;通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和化归思想的认识。
单元目标 教学目标1）会判断直线与圆之间的位置关系 .2)了解圆的确定条件，了解三角形内切圆相关的概念.3) 了解切线长定理(二)教学重点、难点教学重点：正确理解直线与圆之间的位置关系以及三角形内切圆。教学难点:切线的性质和判定的运用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1直线与圆的位置关系32.2切线长定理12.3三角形的内切圆1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1直线与圆的位置关系1.认识直线与圆的三种位置关系 2.理解切线的判定和性质定理学生能够判断出直线与圆的位置关系，并运用切线的判定和性质定理解决问题任务1.认识直线与圆的三种位置关系任务2.探究切线的判定与性质定理 任务3.出示例题2.2切线长定理1．经历切线长定理的探索过程．2．掌握切线长定理．3．会运用切线长定理解决有关的几何证明和计算等问题．学生能够利用切线长定理解决有关的几何证明和计算问题任务1：认识切线长任务2.探究切线长定理任务3.出示例题2.3三角形的内切圆1、了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；会画三角形的内切圆并理解其相关概念会应用三角形内切圆有关性质解决问题任务1.出示问题 任务2.探究三角形的内切圆的相关概念任务3.出示例题
活动1：通过现实生活中的问题引入课题
活动2：探究直线与圆的三种位置关系
活动3：例题
活动2：探究切线的判定定理
活动3：例题
2.3三角形的内切圆
2.2切线长定理
2.1直线与圆的位置关系(第3课时)
活动1：引入课题
活动2：探究切线的性质定理
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究切线长定理
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：通过问题探究三角形的内切圆相关概念
活动3：例题
直线与圆的位置关系
2.1直线与圆的位置关系(第2课时)
2.1.直线与圆的位置关系(第1课时)
活动1：引入课题
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