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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第2章直线与圆的位置关系
2.1 直线与圆的位置关系（2）
【知识重点】
切线的判定定理
切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
【经典例题】
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．经过圆的半径外端的直线是圆的切线
【例2】如图，AB是☉O的直径，OD垂直弦AC于点E，且交☉O于点D，F是BA的延长线上一点，若∠CDB=∠BFD，求证：FD是☉O的切线.
【例3】如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D在圆O上，且AC⊥DC， AD平分∠EAC
(1)求证：BC是圆O的切线。
(2)若BE=8，BD=12，求圆O的半径，
【例4】如图所示，已知是的直径，过的中点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，cm，求的半径．
【例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．
【例6】如图，在等腰三角形中，，是上任意一点，以为圆心，为半径作，分别交、于点、，过点作，垂足为.
（1）判断直线与的位置关系并证明.
（2）若，，，求的半径.
【例7】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H．点G在⊙O上，过点G作直线EF，交CD延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接AG交CD于K，且KE＝GE．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC∥EF，=，FB＝1，求⊙O的半径．
【基础训练】
1．下列直线中可以判定为圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．垂直于半径的直线是圆的切线
B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线
D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线
3．矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作圆，则与圆相切的矩形的边共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
4．如图，△ABC是☉O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与☉O相切于点A的条件是（ ）
A．∠EAB=∠C B．∠B=90°
C．EF⊥AC D．AC是☉O的直径
5．如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分∠CAB．过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F．
求证：EF与圆O相切．
6．如图，⊙O是Rt的外接圆，，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA ＝ PB。求证：PB是⊙O的切线.
7．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.求证：AE与⊙O相切.
8．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．
9．在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的长．
如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，AD=5，求OC的值．
【培优训练】
11．如图，已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA为半径作圆，与射线交于点E、F．有下列结论：
①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF=2．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（ ）
A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）
13．如图，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB=6cm，BC=4cm，则⊙O的直径为（ ）
A．2cm B．3cm C．13cm D．6cm
14．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于E，连接AD，下列结论：①CD=BD；②DE为⊙O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2=AE AC，其中正确结论个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与边交于点D.若，，则 .
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.
（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC.求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sinQ=，BP=6，AP=1，求QC的长.
17．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，BD＝7，求线段BE的长：
（3）在（2）的条件下，求cos∠DCA的值．
18．如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于点，于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
19．已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径.
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=6，cosC=，求⊙O的直径.
20．如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PCAB于C．点D是半圆上位于PC左侧的点，连结BD交线段PC于E，且PD=PE．
(1) 求证：PD是⊙O的切线．
(2) 若⊙O的半径为，PC=，设OC=x，．
①求关于的函数关系式．
②当时，求的值．
【直击中考】
21．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。
22．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第2章直线与圆的位置关系（解析版）
2.1 直线与圆的位置关系（2）
【知识重点】
切线的判定定理
切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
【经典例题】
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．经过圆的半径外端的直线是圆的切线
【答案】B
【解析】A、与圆有唯一公共点的直线是圆的切线，故A错误，不符合题意；
B、圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，B正确的，故B符合题意；
C、垂直于圆的半径外端点的直线是圆的切线，C是错误，故C不符合题意；
D、经过圆的半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，D是错误的，不符合题意；
故答案为：B。
【例2】如图，AB是☉O的直径，OD垂直弦AC于点E，且交☉O于点D，F是BA的延长线上一点，若∠CDB=∠BFD，求证：FD是☉O的切线.
【答案】证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD.∴FD∥AC(同位角相等，两直线平行).∴∠FDO=∠AEO.∵OD⊥AC，∴∠AEO=90°，∴∠FDO=90°.∴FD是☉O的切线
【例3】如图，AE是圆O的直径，点B在AE的延长线上，点D在圆O上，且AC⊥DC， AD平分∠EAC
(1)求证：BC是圆O的切线。
(2)若BE=8，BD=12，求圆O的半径，
【答案】解：（1）证明：连接OC；
∵AD平分∠EAC，
∴∠CAD=∠BAD；
又在圆中OA=OD，
∴∠AD0=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD；
则由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠B=∠B，∠DAE=∠BDE，
∴△BDE∽△BAE，
∴，
∴BD2=BE·BA，
即：BD2=BE·（BE+EA），
∴122=8(8+AE)
∴AE=10.
【例4】如图所示，已知是的直径，过的中点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，cm，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示，
是AB中点，D是BC中点，
，
，
又 ，
，
，
是的切线；
（2）解：连接AD，OD，如图所示，
是的直径，
，
是直角三角形，
，
，
，
在中，，
．
，，，
，
∴，
，
为等边三角形．
（cm）．
的半径为（cm）．
【例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．
【答案】解：（1）连接OE．
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠C，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
由题意可知四边形OECH为矩形，
∴OH=CE，
∵BF=6，
∴BH=3，
在Rt△BHO中，OB=5，
∴OH=4，
∴CE=4．
【例6】如图，在等腰三角形中，，是上任意一点，以为圆心，为半径作，分别交、于点、，过点作，垂足为.
（1）判断直线与的位置关系并证明.
（2）若，，，求的半径.
【答案】（1）解：直线是的切线；
证明：连接，如图所示：
∵在中，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线.
（2）解：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设的半径为x，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
解得：或（舍去），
经检验，是原方程的根，
∴的半径为2.
【例7】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H．点G在⊙O上，过点G作直线EF，交CD延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接AG交CD于K，且KE＝GE．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC∥EF，=，FB＝1，求⊙O的半径．
【答案】（1）如图，连接OG．
∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG.
∵CD⊥AB，∴∠AKH＋∠OAG＝90°．
∵KE＝GE，
∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH.
∴∠KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90°.
∴∠OGE＝90°，即OG⊥EF.
又∵G在圆O上，∴EF与圆O相切．
（2）∵AC∥EF， ∴∠F＝∠CAH，
∴Rt△AHC∽ Rt△FGO． ∴.
∵在Rt△OAH中，，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t．
∴. ∴.
∵FB＝1∴，解得：OG＝4．
∴圆O的半径为4 .
【基础训练】
1．下列直线中可以判定为圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线
【答案】D
【解析】A、与圆有公共点的直线可以与圆相交，本选项不合题意；
B、经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，本选项不合题意；
C、经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，本选项不合题意；
D、与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，本选项符合题意，
故选D
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．垂直于半径的直线是圆的切线
B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线
D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线
【答案】B
【解析】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
所以只要答案B符合，
故选B．
3．矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作圆，则与圆相切的矩形的边共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】B
【解析】根据题意画出图形，如图所示：
AB=DC=2.5，AD=BC=5，
∵O为直径AD的中点，∴OA=OD=2.5，
又矩形ABCD，∴∠A=∠D=90°，
∴AB与圆O相切，DC与圆O相切，
过O作OE⊥BC，交BC于E，
∵矩形ABCD，∴∠A=∠B=90°，又∠OEB=90°，
∴四边形OABE为矩形，∴OE=AB=2.5，
∴BC与圆相切，
则与圆相切的矩形的边共有3条．
故选B．
4．如图，△ABC是☉O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与☉O相切于点A的条件是（ ）
A．∠EAB=∠C B．∠B=90° C．EF⊥AC D．AC是☉O的直径
【答案】A
【解析】解 ：A、，可作直径AD，连结BD，∵弧AB=弧AB ，∴∠C=∠D，∵AD是圆的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D+∠DAB=90°，又∵∠EAB=∠C，∴∠EAB+∠DAB=90°，即AD⊥EF，∴直线EF与☉O相切于点A.故A正确，符合题意；
B、直径所对的圆周角是直角，反之，90°的圆周角所对的弦是直径；∠B=90°但AC不是直径，故不成立，B不符合题意；
C、根据切线的判定，垂直于半径的外端点，的直线才是圆的切线，虽EF⊥AC，但AC不是该圆的半径，故此答案不正确，不符合题意；
D、即使AC是☉O的直径，但没有说AC⊥EF，故此答案也是错误的不符合题意；
故答案为：A
5．如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分∠CAB．过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F．
求证：EF与圆O相切．
【答案】证明：连接OD，如右图所示，
∵∠FOD=2∠BAD，AD平分∠CAB，
∴∠EAF=2∠BAD，
∴∠EAF=∠FOD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠EAF+∠EFA=90°，
∴∠DFO+∠DOF=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥EF，
即EF与圆O相切．
6．如图，⊙O是Rt的外接圆，，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA ＝ PB。求证：PB是⊙O的切线.
【答案】证明：连接OB，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，
∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，∴∠PAO=∠PBO．
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB．
又∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线。
7．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C.求证：AE与⊙O相切.
【答案】证明：如图：连接OA，交BC于F，
∵OA＝OB，
∴∠D＝∠DAO，
∵∠D＝∠C，
∴∠C＝∠DAO，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠DAO
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
即∠DAO+∠BAO＝90°，
∴∠BAE+∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A.
8．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．
【答案】证明：连接OA
∵OA=OC ∴∠OCA=∠OAC
∵AB⊥PO ∴∠AEC=90°
∴∠OCA+∠BAC=90°
∵∠EAC=∠CAP ∴∠OAC+∠CAP=90°
∴OA⊥AP ∴PA是⊙O的切线．
9．在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的长．
【答案】解：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切．证明：连结OD，DE.∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°．∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°．∵OD=OA，∴∠A=∠ADO．∴∠ADO+∠CDB=90°．∴∠ODB=180°-90°=90°．∴OD⊥BD．∵OD为半径，∴BD是⊙O切线．（2）∵AD：AO=8：5，∴．∴由勾股定理得AD：DE：AE=8：6：10．∵∠C=90°，∠CBD=∠A.∴△BCD∽△ADE．∴DC：BC：BD=DE：AD：AE=6：8：10．∵BC=3，∴BD=．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，AD=5，求OC的值．
【答案】（1）证明：连结DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
又∵CO＝CO， OD＝OB
∴△COD≌△COB（SAS）
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．
∵DE=2BC，
∴ED=2CD．
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．
∴，
∴OC=．
【培优训练】
11．如图，已知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA为半径作圆，与射线交于点E、F．有下列结论：
①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF=2．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】∵32+42=52，
∴AB2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，①正确；
作DM⊥BC于M，如图所示：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DM=DA，
∴⊙D与直线BC相切，
∴②正确；
∵∠BAC=∠DMC=90°，
在Rt△BDM和△BDA中，
，
∴Rt△BDM≌△BDA（HL），
∴MB=AB=3，
∴CM=BC﹣MB=2，
∵∠C=∠C，
∴△CDM∽△CBA，
∴ ，即 ，
解得：DM= ，
∴DF=DE= ，
∴BD= = = ，
∴BE=BD﹣DE= ﹣ ，BF=BD+DF= + ，
∵EF2=9，BF BE=（ + ）（ ﹣ ）=9，
∴EF2=BF BE，
∴点E是线段BF的黄金分割点，③正确；
∵tan∠CDF=tan∠ADB= = =2，
∴④正确；
正确的有4个．
故选：A．
12．如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（ ）
A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）
【答案】B
【解析】∵过格点A，B，C作一圆弧，
∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），
∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，
∴当△BOD≌△FBE时，
∴EF=BD=2，
F点的坐标为：（5，1）或（1，3），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）或（1，3）．
故选B．
13．如图，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB=6cm，BC=4cm，则⊙O的直径为（ ）
A．2cm B．3cm C．13cm D．6cm
【答案】C
【解析】连接PH，OH，
∵H是的中点，
∴∠HPC=∠APH，∠AOH=∠APC，
∴OH∥BC，
即OH⊥BH，
∴HB是⊙O的切线；
∵PB是⊙O的割线，HB=6cm，BC=4cm，
∴HB2=BC BP，
∴36=4BP，
∴BP=9，
∴PH===；
∵在Rt△BPH与Rt△HPA中，∠HPC=∠APH，
∴Rt△BPH∽Rt△HPA，
∴=
∴AP===13（cm）；
故选C．
14．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于E，连接AD，下列结论：①CD=BD；②DE为⊙O的切线；③△ADE∽△ACD；④AD2=AE AC，其中正确结论个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
∵AC为圆的直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；
故选项①正确；
连接OD，∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE为圆O的切线，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC=AB，又OA=AB，
∴OA=AC，
∵∠DAC=∠EAD，∠DEA=∠CDA=90°，
∴△ADE∽△ACD，选项③正确；
∴，即AD2=AE AB，选项④正确；
则正确结论的个数为4个．
故选D．
15．如图，中，，为的角平分线，以点O为圆心，为半径作与边交于点D.若，，则 .
【答案】2
【解析】过O作于H，
∵，
∴，
∵为的角平分线，，
∴，
即为的半径，
∵，
∴为的切线；
设的半径为，则，
在中，
∵，
∴=，
∴=，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴.
故答案为：2.
16．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.
（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC.求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sinQ=，BP=6，AP=1，求QC的长.
【答案】证明：连接OC，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB.
∵DC=DQ，
∴∠Q=∠QCD.
∵PQ⊥AB，
∴∠QPB=90°.
∴∠B+∠Q=90°.
∴∠OCB+∠QCD=90°.
∴∠DCO=∠QCB-（∠OCB+∠QCD）=180°-90°=90°，
∴OC⊥CD
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：连接AC，
在RtBPQ中，BQ=，
∴cosB=，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
在RtABC中，
∴BC=ABcocB=（AP+PB）cosB=（1+6）×=.
∴QC=BQ-BC=10-=.
17．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，CE⊥BD于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，BD＝7，求线段BE的长：
（3）在（2）的条件下，求cos∠DCA的值．
【答案】（1）解：如图，连接，
，，
，
，
，
，
是 的切线.
（2）解：如图，作，
设，
，，
，，
，，
，，
，
四边形是矩形，，
，，
，
，
(舍去)，，
.
（3）解：由(2)得，
，
，
，，
，
，
.
18．如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于点，于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接
由题意知，，
在和值
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵是半径
∴是的切线．
（2）解：∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴即
解得
∵，
∵
∴
在中，
19．已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径.
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=6，cosC=，求⊙O的直径.
【答案】（1）证明：连接OM.
∵OB=OM，
∴∠1=∠3，
又BM平分∠ABC交AE于点M，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OM∥BE.
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE与⊙O相切
（2）解：设圆的半径是r.
∵AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=CE=3，∠ABC=∠C，
又cosC=，
∴AB=BE÷cos∠B=12，则OA=12-r.
∵OM∥BE，
∴，
即，
解得r=2.4.
则圆的直径是4.8.
20．如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PCAB于C．点D是半圆上位于PC左侧的点，连结BD交线段PC于E，且PD=PE．
(1) 求证：PD是⊙O的切线．
(2) 若⊙O的半径为，PC=，设OC=x，．
①求关于的函数关系式．
②当时，求的值．
【答案】解：（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED．
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°，
∴PD⊥OD．
∴PD是⊙O的切线．
（2）①连接OP．
在Rt△POC中，
OP2=OC2+PC2=x2+192．
在Rt△PDO中，
PD2=OP2-OD2=x2+144．
∴y=x2+144（0≤x≤4）.
②当x=时，y=147，
∴PD=7，
∴EC=，
∵CB=3，
∴在Rt△ECB中，tanB=．
【直击中考】
21．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。
【答案】（1）证明：如图，连结OD．
∵OC=OD，AB=AC，
∴∠1=∠C，∠C=∠B，
∴∠1=∠B,
∴DE⊥AB，
∴∠2+∠B=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：连结AD，∵AC为⊙O的直径．
∴∠ADC=90°．
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=30°，BD=CD，
∴∠AOD=60°．
∵DE= ，
∴BD=CD=2 ，
∴OC=2，…6分
∴AD= π×2= π
22．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
【答案】（1）证明：连结DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS）
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．
∵DE=2BC，
∴ED=2CD．
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．
∴
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