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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第2章直线与圆的位置关系
2.2切线长定理
【知识重点】
1.切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把这一点到切点之间的线段的长叫做切线长。
2.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
【经典例题】
【例1】如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（ ）
A．PA＝PB B．AD＝BD
C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB
【例2】如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【例3】如图，圆和四边形ABCD的四条边都相切，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．50 B．52 C．54 D．56
【例4】如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是 cm．
【例5】如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线（切点为F）交CD边于E，则sin∠DAE= ．
【例6】如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为 ．
【例7】如图所示，PA，PB是☉O的切线，CD切☉O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°.求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数.
【例8】如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．延长、相交于点D．
（1）求证：；
（2）设的半径为2，，求的长．
【基础训练】
1．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（ ）
A．32° B．48° C．60° D．66°
2．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．18 C．16 D．14
3．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE.若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°-α B．α C．2α D．90°-α
4．如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝ .
5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
6．如图，PA，PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA，PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝6时，△PCD的周长为 ．
7．小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
8．如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
9．如图， 和 是⊙ 的两条切线，A，B是切点．C是 上任意一点，过点C画⊙ 的切线，分别交 和 于D，E两点，已知 ，求 的周长．
10．已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
11．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
12．如图，PA、PB、CD是的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果的周长为10，求PA的长；
（2）如果，
①求；
②连AE，BE，求．
【培优训练】
13．如图，在Rt△ABC中， ， ， ，以 边上一点 为圆心作 ，恰与边 ， 分别相切于点 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE＝3，则tan∠ODE为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（ ）
A．9 B．10 C．3 D．2
16．如图，在中，，.，与延长线、、延长线相切，切点分别为、、，则点到圆心的距离为 .
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
18．如图，在正六边形内取一点，作与边相切，并经过点，已知的半经为，则正六边形的边长为 .
19．如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C，D；与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连结FE并延长交AC边于点G.
（1）求证：DF∥AO.
（2）若AC＝6，AB＝10，求CG的长．
20．如图，已知是的直径，，为圆上任意一点，过点作圆的切线，分别与过，两点的切线交于，两点．
（1）求的值；
（2）如图，连接，交于点，证明直线．
21．已知的半径为为的一条直径，P为外一点，且，过点P作的两条切线，连接与相交于点G.
（1）求证：；
（2）求点O到线段的距离；
（3）记线段与交于点F，连接，直接写出的值.
22．已知，AB是⊙O的直径，AB＝16，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝10，PT为⊙O的切线，切点为T．
（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；
（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；
（3）如图（3），设PT＝y，AC＝x，求y与x的解析式并求出y的最小值．
【直击中考】
23．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA=3，则PB=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
24．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4-
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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第2章直线与圆的位置关系（解析版）
2.2切线长定理
【知识重点】
1.切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把这一点到切点之间的线段的长叫做切线长。
2.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
【经典例题】
【例1】如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D.下列结论中错误的是（ ）
A．PA＝PB B．AD＝BD
C．OP⊥AB D．∠PAB＝∠APB
【答案】D
【解析】由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD.
因此A.B.C都正确.
无法得出∠PAB=∠APB，可知：D是错误的.
综上可知：只有D是错误的.
故答案为：D.
【例2】如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【解析】∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20．
故答案为：C．
【例3】如图，圆和四边形ABCD的四条边都相切，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．50 B．52 C．54 D．56
【答案】B
【解析】解 ：设，圆与四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，∵AB切圆于点E ，BC切圆于点F，∴BE=BF，同理CF=CG，DG=DH，AG=AE，∴AE＋BE＋CG＋DG=AH＋DH＋BF＋CF，即AB＋DC=AD＋BC=26，∴四边形ABCD的周长=AB＋BC＋CD＋DA=52.
故答案为：52.
【例4】如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm，则此光盘的直径是 cm．
【答案】6
【解析】∵∠CAD=60°，
∴∠CAB=120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB=∠OAC，
∴∠OAB= ∠CAB=60°
∵AB=3cm，
∴OA=6cm，
∴由勾股定理得OB=3 cm，
∴光盘的直径6 cm．
故答案为：6 ．
【例5】如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线（切点为F）交CD边于E，则sin∠DAE= ．
【答案】
【解析】 设正方形ABCD的边长为4a，EC=x，
∵AF为半圆O的切线，
∴AF=AB=4a，EC=EF=x，
在Rt△ADE中，DE=4a﹣x，AE=4a+x，
∴AE2=AD2+DE2，即（4a+x）2=（4a）2+（4a﹣x）2，
解得x=a，
∴AE=5a，DE=3a，
在Rt△ADE中，sin∠DAE= = = ．
故答案为 ．
【例6】如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为 ．
【答案】2或1.5
【解析】设半径为r，
∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB＝5，AD＝6
∴GC=r，BG=BF=6-r，
∴AF=5-（6-r）=r-1=AE ∴ND=6-（r-1）-r=7-2r，
在Rt△NDC中，NC2+ND2=CD2，
（7-r）2+（2r）2=52，
解得r=2或1.5.
故答案为：2或1.5.
【例7】如图所示，PA，PB是☉O的切线，CD切☉O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°.求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数.
【答案】（1）解：∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB.
∴三角形PCD的周长为PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12.
即PA的长为6.
（2）解：∵∠P=60°，
∴∠PCE+∠PDE=120°.∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°.
∵CA，CE是圆O的切线， ∴∠OCE=∠OCA=∠ACD.
同理∠ODE=∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE=(∠ACD+∠CDB)=120°. ∴∠COD=180°-120°=60°.
【例8】如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．延长、相交于点D．
（1）求证：；
（2）设的半径为2，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，交于
，是的两条切线，
，，
，
，
，
为直径，是的切线，
，
，
，
；
（2）解：连接，
是的切线，
，
，
的半径为2，，
，
，
，
设，
，
，
解得．
．
【基础训练】
1．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（ ）
A．32° B．48° C．60° D．66°
【答案】D
【解析】∵CA、CD是⊙O的切线，
∴CA=CD，
∵∠ACD=48°，
∴∠CAD=∠CDA=66°，
∵CA⊥AB，AB是直径，∴∠ADB=∠CAB=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠DBA=∠CAD=66°，
故答案为：D．
2．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【解析】∵PA，PB切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E
∴PA=PB=8，AC=CE，DB=DE
△PCD的周长为：PC+CE+DE+PD=PC=CA+DB+PD=PA+PB=8+8=16
故答案为：C
3．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE.若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°-α B．α C．2α D．90°-α
【答案】D
【解析】∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB， ∴，即
在与中，
∵ ∴≌（SAS）， ∴，
在中，
，
∵， ∴，
∵， ∴，
∵∠P＝α，PA=PB， ∴
∴在中，，即，
∵，∴
故答案为：D.
4．如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝ .
【答案】9
【解析】∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，
∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，
∵△ABC的周长为18，
即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，
∴AE+AF＝18，
∴AE＝9，
故答案为：9.
5．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 ．
【答案】2
【解析】∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
6．如图，PA，PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA，PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝6时，△PCD的周长为 ．
【答案】
【解析】如图，连接OB，
∵PB是圆O的切线，且B为切点， ∴∠PBO=90°，
在Rt△POB中，
∵PO=6，OB=3，∴PB=，
∵PA、PB分别与圆O相切于点A、B，∴PA=PB=，
∵DB、DE分别与圆O相切于点B、E，∴DB=DE，
同理CE=CA，
∵CD=DE+CE， ∴CD=DB+CA，
∴△PCD的周长为：PD+PC+CD=PD+DE+CE+PC=PD+DB+CA+PC=PA+PB=.
故答案为：.
7．小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．
【答案】9
【解析】如图，在中，点O是AB上一点，以OB为半径的与AC相切与点D，连接OD，
，又∵∠A=∠A，
，是的切线，
，，
里，
里，
里，
里，
里，
设里，
里，
，
，
里，
故答案为：9.
8．如图， ， 分别与 相切于 两点，若 ，求 的度数．
【答案】解： 、 是 切线，
， ，
，
，
，
，
，
．
9．如图， 和 是⊙ 的两条切线，A，B是切点．C是 上任意一点，过点C画⊙ 的切线，分别交 和 于D，E两点，已知 ，求 的周长．
【答案】解：∵DA、DC是圆O的切线，
∴DA=DC，
同理可得EC=EB，
∴C△PDE=PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PD+PE+DA+EB=PA+PB=10cm．
10．已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
【答案】解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．
11．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
【答案】解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC=90°．
又∠BAC=25°，∴∠MAB=∠MAC－∠BAC=65°．
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA=MB．∴∠MAB=∠MBA．
∴∠AMB=180°－（∠MAB+∠MBA）=50°．
（Ⅱ）如图，连接AD、AB，
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，∴BD∥MA．
又∵BD=MA，∴四边形MADB是平行四边形．
又∵MA=MB，∴四边形MADB是菱形．∴AD=BD．
又∵AC为直径，AC⊥BD，∴ AB = AD．
∴AB=AD=BD．
∴△ABD是等边三角形．
∴∠D=60°．
∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°
12．如图，PA、PB、CD是的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果的周长为10，求PA的长；
（2）如果，
①求；
②连AE，BE，求．
【答案】（1）解：∵分别切于点
∴
∴△周长
∴
（2）解：①
∵分别切于点
∴
==
②连接OA，OB
∵PA，PB是切线，
∴
∵
∴
∴
【培优训练】
13．如图，在Rt△ABC中， ， ， ，以 边上一点 为圆心作 ，恰与边 ， 分别相切于点 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连结OC，
∵以AB边上一点O为圆心作 ，恰与边AC ，BC分别相切于点A， D ，
∴DC=AC，OC平分∠ACD，
∵ ， ，
∴∠ACD=90°-∠B=60°，
∴∠OCD=∠OCA= =30°，
在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3× ，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°= ，
∴OD=OA=1，DC=AC= ，
∴ ， ，
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，
∴ ，
S阴影= .
故答案为：A.
14．如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE＝3，则tan∠ODE为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设⊙O与AB、AD相切于点M、N.连接OM、ON，则四边形AMON是正方形.
∵DE、DA是⊙O的切线，∴DE＝DN＝3，∠ODE＝∠ODN，
∵AD＝5，∴AN＝ON＝2，
在Rt△OND中，tan∠ODE＝tan∠ODN＝ .
故答案为：B.
15．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（ ）
A．9 B．10 C．3 D．2
【答案】A
【解析】作DH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴AD和BC为⊙O 切线，
∵CD和MN为⊙O 切线，
∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，
∵四边形ABHD为矩形，
∴BH=AD=2，DH=AB=6，
设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，
在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，
∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=
∴CB=CE=
∴△MCN的周长=CN+CM+MN=CN+CM+NF+MF=CN+CM+NF+MB=CE+CB=9．
故选A．
16．如图，在中，，.，与延长线、、延长线相切，切点分别为、、，则点到圆心的距离为 .
【答案】
【解析】作于H，连接、、，如图，
设的半径为r，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，，（负值舍去）
∴，
∵与边及的延长线分别相切于点，
∴，
∵，
∴，解得.
即的半径为.
又，且
∴，
∵，
∴，
在中，，
故答案为：.
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
【答案】
【解析】连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝
，
∴DM＝6+ ＝ .
故答案为： .
18．如图，在正六边形内取一点，作与边相切，并经过点，已知的半经为，则正六边形的边长为 .
【答案】
【解析】如图， 与边DE、EF相切于点N、M， 连接OM，ON，OE，
⊙O与边DE，EF相切，
，
，，
又，
，
所以OE在正六边形ABCDEF的一条对称轴上，
正六边形ABCDEF，
，
，
由切线长定理得，，
，
，
因为圆的对称轴是直径所在的直线，且圆过点B，所以OB在一条对称轴上，
因为BE所在直线是正六边形ABCDEF的一条对称轴，所以点B、O、E在一条直线上，
，
因为BE为正六边形外接圆直径，其圆心与正六边形相邻两点构成等边三角形，所以边长等于外接圆的半径为.
故答案为：.
19．如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C，D；与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连结FE并延长交AC边于点G.
（1）求证：DF∥AO.
（2）若AC＝6，AB＝10，求CG的长．
【答案】（1）证明：∵AB与⊙O相切于点D，∴∠BCD＝∠BDF.
又∵AC与⊙O相切于点C，由切线长定理得AC＝AD，
∴CD⊥AO，∴∠BCD＝∠CAO＝∠DAO，∴∠DAO＝∠BDF，∴DF∥AO.
（2）解：如图，过点E作EM⊥OC于点M.
∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝ ＝8.
∵AD＝AC＝6，∴BD＝AB－AD＝4，
∴由△BDF∽△BCD得BD2＝BF·BC，解得BF＝2，
∴FC＝BC－BF＝6，OC＝ FC＝3， ∴OA＝ ＝3 .
由△OCE∽△OAC得OC2＝OE·OA，解得OE＝ .∴ ＝ ＝ ＝ ，
解得OM＝ ，EM＝ ，FM＝ .又∵ ＝ ＝ ，∴CG＝ EM＝2.
20．如图，已知是的直径，，为圆上任意一点，过点作圆的切线，分别与过，两点的切线交于，两点．
（1）求的值；
（2）如图，连接，交于点，证明直线．
【答案】（1）解∶如图，连接 ， ， ．
∵ ， ， 是 的切线，
∴ ， 分别是 ， 的平分线．
∵ ，
∴ ．
∴ ，即 是直角三角形．
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
∴ ．
（2）解：证明：∵ ， ， 是 的切线，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
21．已知的半径为为的一条直径，P为外一点，且，过点P作的两条切线，连接与相交于点G.
（1）求证：；
（2）求点O到线段的距离；
（3）记线段与交于点F，连接，直接写出的值.
【答案】（1）证明：∵是的两条切线，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点O到线段的距离为；
（3）
【解析】（3）如图所示，连接，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴.
22．已知，AB是⊙O的直径，AB＝16，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝10，PT为⊙O的切线，切点为T．
（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；
（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；
（3）如图（3），设PT＝y，AC＝x，求y与x的解析式并求出y的最小值．
【答案】（1）解：连接OT，如图（1）所示：
则OT⊥PT，
∴∠OTP＝90°，
∵AB是⊙O的直径，AB＝16，
∴OT＝AB＝×16＝8，
在Rt△OTP中，由勾股定理得：PT＝；
（2）证明：连接OT，如图（2）所示：
∵PC⊥AB，点C与点A重合，AB是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线，
∵PT为⊙O的切线，
∴PA＝PT，
在△OPA和△OPT中，，
∴△OPA≌△OPT（SSS），
∴∠AOP＝∠TOP＝∠AOT，
∵∠AOT＝2∠B，
∴∠AOP＝∠B，
∴PO∥BT；
（3）解：连接PO、OT，如图（3）所示：
∵AB是⊙O的直径，AB＝16，AC＝x，
∴OC＝OA-AC＝AB-AC＝8-x，OT＝8，
∵PC⊥AB，
∴∠PCO＝90°，
在Rt△PCO中，由勾股定理得：PO＝，
∵PT为⊙O的切线，
∴PT⊥OT，
在Rt△OTP中，由勾股定理得：y＝PT＝＝，
∴y与x的解析式为：y＝，
∴当x＝8时，y有的最小值，y最小值为6．
【直击中考】
23．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA=3，则PB=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】∵PA、PB分别为⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵PA=3，
∴PB=3.
故答案为：B.
24．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4-
【答案】A
【解析】设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，
∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，
∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，
又∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，∴BD=CE，
∵OD=OE，∴△ODB≌△OEC（SAS），
∴OB=OC= BC=4，
在Rt△ODB中，
∴sin60°= ，
即OD=OBsin60°=4× =2 ，
∴⊙O的半径为2 .
故答案为：A.
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