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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第2章直线与圆的位置关系
2.1 直线与圆的位置关系（3）
【知识重点】
性质定理：切线垂直于过切点的半径
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
【经典例题】
【例1】如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为（ ）．
A．68° B．104° C．70° D．76°
【例2】如图，E为Rt△ABC的直角边BC上一点，以CE为半径的半圆与斜边AB相切于点D.已知AD＝6，BD＝4，则⊙E的半径的长为（ ）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
【例3】如图，木工用角尺的短边紧靠于点A，长边与相切于点B，角尺的直角顶点为C.已知，，则的半径为 .
【例4】如图，在矩形ABCD中，F是边AD上的点，经过A，B，F三点的⊙O与CD相切于点E.若AB=6，FD=2，则⊙O的半径是 .
【例5】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
【例6】如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R．求证：RP=RQ．
【例7】如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．
（1）求证：∠CPB=2∠ABC．
（2）设圆O的半径为2，sin ∠PBC= ，求PC的长．
【例8】如图，中，，点O为上一点，以点O为圆心，为半径的与相切于点D，交延长线于点E.
（1）求证：.
（2）若，求的长.
【例9】如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．
【基础训练】
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线．若∠BAC=37°，则∠ACB的大小为（ ）
A．37° B．47° C．53° D．63°
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．110° B．120° C．125° D．130°
3．如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交的延长线于点D，，连接，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的半径为9，、分别切于点A，B.若，则的长为（ ）
A．π B．π C． D．π
5．如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，点D为优弧BDC上一点，连接DB，DC，若∠BDC＝30°，⊙O的半径OC＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．1
6．如图，点C是的直径延长线上一点，且，与相切于点P，连接，则的度数为 .
7．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为 .
8．点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO=50°，则∠CAB为 °．
9．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，且∠BAC=52°．
（1）求∠OBA的度数；
（2）求∠D的度数．
10．如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．
（1）求角C的正切值：
（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．
【培优训练】
11．如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（ ）
A． B．2 C． D．
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图， 为圆O的直径，点P在 的延长线上， ， 与圆O相切，切点分别为C，D，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
13．如图，AB是⊙O1的直径，点O2在AB上，⊙O2经过点A，⊙O1的弦BC与⊙O2相切于点D，若AB＝6，O1O2＝1，则由弧AC、弧AD与线段CD围成阴影部分的面积为（ ）
A． + B． C． D．
14．矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处，以矩形对称中心O点为圆心的圆与FN相切于点G，则⊙O的半径为（ ）
A．3.6 B． C．3.5 D．
（第14题） （第15题） （第16题） （第17题） （第18题）
15．如图，BC是⊙O的切线，D是切点.连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC⊥BC，垂足为C.若BD＝8，BE＝4，则AC＝ .
16．如图，是半圆O的直径，以O为圆心，长为半径的半圆交于C，D两点，弦切小半圆于点E.已知，则图中阴影部分的面积是 .
17．如图，在矩形ABCD中，，，为AD上一点，且，为BC边上的动点，以为EF直径作，当与矩形的边相切时，BF的长为 .
18．如图，正方形AOBC的顶点O在原点，边AO，BO分别在x轴和y轴上，点C坐标为(4，4)，点D是BO的中点，点P是边OA上的一个动点，连接PD，以P为圆心，PD为半径作圆，设点P横坐标为t，当⊙P与正方形AOBC的边相切时，t的值为 .
19．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=，CE：EB=1：4，求CE的长．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：FE⊥AB；
（2）当EF=6，时，求DE的长．
21． 如图1，已知外一点向作切线，点为切点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过点作，分别交于点，交于点，连接.
（1）求证：∽；
（2）如图2，当时，
①求的度数；
②连接，若点关于直线的对称点为，连接，请直接写出的值.
22．如图，为的直径，为延长线上一点，过点作的切线，切点为，过点作交的延长线于点，连接.
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，求的半径.
【直击中考】
23．如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C． D．
（第23题） （第24题） （第25题） （第26题）
24．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO，以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D，则下列结论中错误的是（ ）
A．DC＝DT B．AD＝ DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
25．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形.当 盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 .
26．如图，点A是外一点，AB，AC分别与相切于点B，C，点D在上，已知，则的度数是 。
27．如图，AB切⊙O于点，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C的度数为 ．
28．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E．
（1）求证：∠ACB＝2∠ADE；
（2）若DE＝3，AE＝ ，求 的长．
29．如图，在 OABC，以O为图心，OA为半径的圆与C相切于点B，与OC相交于点D．
（1）求 的度数。
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F。若EF=AB，求∠OCE的度数．
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浙教版2023-2024学年数学九年级下册第2章直线与圆的位置关系（解析版）
2.1 直线与圆的位置关系（3）
【知识重点】
性质定理：切线垂直于过切点的半径
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
【经典例题】
【例1】如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为（ ）．
A．68° B．104° C．70° D．76°
【答案】D
【解析】如图，连接OA，OC，
∵PA、PB 是⊙O的两条切线，点A、C为切点，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∵∠B=52°，
∴∠AOC=2∠B=104°，
∴∠P=360°-90°-90°-104°=76°.
故答案为：D.
【例2】如图，E为Rt△ABC的直角边BC上一点，以CE为半径的半圆与斜边AB相切于点D.已知AD＝6，BD＝4，则⊙E的半径的长为（ ）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
【答案】B
【解析】连接ED，AE，设圆的半径r，
∵AD与半圆相切于D，
∴半径ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∵AE＝AE，EC＝ED，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AD＝6，
∵AB＝AD+BD＝4+6＝10，
∴BC＝ ＝8，
在Rt△EDB中，
∵EB2＝ED2+BD2，
∴（8-r）2＝r2+42，
∴r＝3，
∴⊙E的半径的长为3.
故答案为：B.
【例3】如图，木工用角尺的短边紧靠于点A，长边与相切于点B，角尺的直角顶点为C.已知，，则的半径为 .
【答案】
【解析】连接 、 ，过点A作 ，垂足为D，如图所示：
∵ 与 相切于点B，
∴ ，∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
设圆的半径为 ，在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
即 的半径为 .
故答案为： .
【例4】如图，在矩形ABCD中，F是边AD上的点，经过A，B，F三点的⊙O与CD相切于点E.若AB=6，FD=2，则⊙O的半径是 .
【答案】
【解析】连接EO并延长，交AB于G，过点O作OH⊥AD于H，连接AO，
∵⊙O与CD相切于点E，
∴OE⊥CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD，，
∴四边形ADEG是矩形，
∴GE=AD，OG⊥AB，
∴AG=BG=3，
∵OH⊥AD，
∴AH=FH，四边形AHOG是矩形，四边形HDEO是矩形，
∴OG=AH，HD=OE=OA，
∴OG=OA-2，
在Rt△AGO中，，
∴，
解得OA=.
故答案为：.
【例5】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为 .
【答案】
【解析】连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝8，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝4，
∴DE＝6，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝6，MN＝MG，
∴CM＝10﹣4﹣MN＝6﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（6+NM）2＝（6﹣NM）2+82，
∴NM＝ ，
∴DM＝6+ ＝ .
故答案为： .
【例6】如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R．求证：RP=RQ．
【答案】证明：连接OQ， ∵RQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥QR， ∴∠OQB+∠BQR=90°． ∵OA⊥OB， ∴∠OPB+∠B=90°． 又∵OB=OQ， ∴∠OQB=∠B． ∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ． ∴RP=RQ．
【例7】如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．
（1）求证：∠CPB=2∠ABC．
（2）设圆O的半径为2，sin ∠PBC= ，求PC的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OC
∵PB，PC 是OO的两条切线 ∴PC=PB，∠PCO =∠PBO=90°， ∴∠CPB+ㄥBOC=180° ∵∠DOC+∠BOC=180° ∴∠CPB =∠COD ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC ∴∠COD=2∠ABC ∴∠CPB=2∠ABC.
（2）解：∵PC 是圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵圆O 的半径为2，sin∠PDB=，
∴sin∠CDO=，
∴OD=3，
∴DC=
设 PC=x，
∴BD2+PB2=PD2
∴(x+ )2=x2+52，
解得 x= ，
∴PC= .
【例8】如图，中，，点O为上一点，以点O为圆心，为半径的与相切于点D，交延长线于点E.
（1）求证：.
（2）若，求的长.
【答案】（1）证明：连接，
∵，是的切线，
∴是的切线，，
∵，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（2）解：，
∴，
，
，
，
即，
∴，
设半径为，则，
，，
，
，
，
，
.
【例9】如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且=，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE=2，求OE的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BE，
∴CD⊥AB，
∴，
∵=，
∴，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等边三角形；
（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠DAB=30°，
∴BE=AE，ON=AO，
设⊙O的半径为：r，
∴ON=r，AN=DN=r，
∴EN=2+r，BE=AE=，
在Rt△NEO与Rt△BEO中，
OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，
即（）2+（2+）2=r2+，
∴r=，
∴OE2=+25=28，
∴OE=．
【基础训练】
1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线．若∠BAC=37°，则∠ACB的大小为（ ）
A．37° B．47° C．53° D．63°
【答案】C
【解析】∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=53°，
故答案为：C.
2．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．110° B．120° C．125° D．130°
【答案】C
【解析】如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵AP、BP是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，
∴∠ADB= ∠AOB=55°，
又∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°.
故答案为：C.
3．如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交的延长线于点D，，连接，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ， ，
∵ ， 为圆O的直径，
∴ ， ，
∵ 是圆O的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
故答案为：C；
4．如图，的半径为9，、分别切于点A，B.若，则的长为（ ）
A．π B．π C． D．π
【答案】C
【解析】连接 ， ，
∵直线 、 分别与 相切于点A、B，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为9，
∴ ，
故答案为：C.
5．如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，点D为优弧BDC上一点，连接DB，DC，若∠BDC＝30°，⊙O的半径OC＝2，则AB的长为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．1
【答案】B
【解析】如图，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B， ∴AB⊥OB， ∴∠ABO＝90°，
∵∠BDC＝∠BOC，且∠BDC＝30°，∴∠BOC＝2∠BDC＝2×30°＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∵OB＝OC＝2，且OB＝OA， ∴OA＝2OB＝2×2＝4，
∴AB＝
故答案为：B.
6．如图，点C是的直径延长线上一点，且，与相切于点P，连接，则的度数为 .
【答案】30°
【解析】连接OP；
∵与相切于点P，
∴，
中，，即；
∴，
∴，
∴.
故答案为：30°.
7．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为 .
【答案】
【解析】连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r 6）2＋82，
解得：，
即的半径为.
故答案为：.
8．点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO=50°，则∠CAB为 °．
【答案】20或70
【解析】如图1，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵∠CPO=50°，
∴∠POC=90°－50°=40°，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠POC=2∠CAB，
∴∠CAB=20°，
如图2，∠CBA=20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°－∠CBA=70°，
综上，∠CAB=20°或70°．
故答案为：20或70
9．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，且∠BAC=52°．
（1）求∠OBA的度数；
（2）求∠D的度数．
【答案】解：（1）连接OA，
∵AC与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵∠BAC=52°，
∴∠OAB=38°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=38°；
（2）∵∠OBA=∠OAB=38°，
∴∠AOB=180°﹣2×38°=104°，
∴∠D=∠AOB=52°．
10．如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．
（1）求角C的正切值：
（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．
【答案】解：（1）∵CD切⊙O于点D，
∴CD⊥OD，
又∵AB=2AC，
∴OD=AO=AC=CO
∴∠C=30°
∴tan∠C=；
（2）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DOA=90°﹣30°=60°，
又∵OD=OA，
∴△DAO是等边三角形．
∴DA=r=2，
∴DB==．
【培优训练】
11．如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】∵AC是圆O的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∵，
∴∠A=30°，
∴∠AOD=90°-30°=60°；
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=60°，
解之：∠OBD=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠OBD=2×30°=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ABC中
即，
解之：，
设OD=x，则AO=12-x，
∴12-x=2x，
解之：x=4，
∴OD=4
∴，
∴.
故答案为：A
12．如图， 为圆O的直径，点P在 的延长线上， ， 与圆O相切，切点分别为C，D，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连结OC，OD，
∵ PC、 PD与圆O相切，
∴∠PCO=∠PDO=90°，
在Rt△PCO和Rt△PDO，
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴∠COP=∠DOP= ，
∵∠COD=2∠CBD，
∴ ，
∵AB=4，
∴OA=OC=2，
在Rt△PCO中根据勾股定理 ，
∴ .
故答案为：C.
13．如图，AB是⊙O1的直径，点O2在AB上，⊙O2经过点A，⊙O1的弦BC与⊙O2相切于点D，若AB＝6，O1O2＝1，则由弧AC、弧AD与线段CD围成阴影部分的面积为（ ）
A． + B． C． D．
【答案】A
【解析】连接O2D、O1C、O2C，过O1作O1E⊥BC于E ，则∠O1EB=90°，
， ，
， ，
， ，
切BC于D ， ，
即 ，
，
，
在Rt△O1EB中， ， ，
，
由勾股定理得： ， ，
， 过 ， ，
， ，
，
，
阴影部分的面积
= ，
故答案为：A.
14．矩形ABCD中，AB＝12，BC＝8，将矩形沿MN折叠，使点C恰好落在AD边的中点F处，以矩形对称中心O点为圆心的圆与FN相切于点G，则⊙O的半径为（ ）
A．3.6 B． C．3.5 D．
【答案】A
【解析】如图，连接OF、OG、ON，过点O作OH⊥DC于点H，
∵O点为矩形对称中心，AB=12，BC=8，F为AD中点，
∴OF=DH=HC=DC=6，OH=FD=AD=4，
∵圆O与FN相切于点G，
∴OG⊥FN，
由折叠性质可得：FN=NC，设FN=NC=a，则DN=12-a
在直角三角形FDN中，FN2=FD2+DN2，即a2=42+（12-a）2，
解得，a=，
∴DN=，
∴NH=DH-DN=6-=，
在直角三角形OHN中，由勾股定理得：ON2=NH2+OH2=+16，
设FG=b，则GN=-b，
在直角三角形OGF和直角三角形OGN中，由勾股定理得：OF2-FG2=OG2=ON2-GN2，
∴62-b2=+16-（-b）2，解得b=，
∴OG2=36-（）2，解得OG=3.6，即半径为3.6.
故答案为：A.
15．如图，BC是⊙O的切线，D是切点.连接BO并延长，交⊙O于点E、A，过A作AC⊥BC，垂足为C.若BD＝8，BE＝4，则AC＝ .
【答案】9.6
【解析】连接OD、AD、ED，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ODB＝90°，
∴∠ODE+∠BDE＝90°，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵OD＝OE
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠BDE＝∠BAD，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴＝，即＝，
解得，AE＝12，
∵∠BDO＝∠BCA，∠B＝∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得，AC＝9.6.
故答案为：9.6.
16．如图，是半圆O的直径，以O为圆心，长为半径的半圆交于C，D两点，弦切小半圆于点E.已知，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】
【解析】如图所示，连接OE，OF，
∵弦AF切小半圆于点E，∴OE⊥AF，
又∵OC=OF，∴AE=EF，∠AOE=∠FOE（三线合一），
∵OC=OE=2，OA=4，∴∠OAE=30°，
∴∠AOE=∠FOE=60°，
∴∠FOD=60°，∠EOD=120°，
∴，
∴，，，
∴.
故答案为：.
17．如图，在矩形ABCD中，，，为AD上一点，且，为BC边上的动点，以为EF直径作，当与矩形的边相切时，BF的长为 .
【答案】2或或
【解析】①当圆与边AD、BC相切时，如图1所示
此时
所以四边形AEFB为矩形
即BF=AE=2；
②当圆与边AB相切时，设圆的半径为R，切点为H，圆与边AD交于E、N两点，与边BC交于M、F两点，连接EM、HO，如图2所示
此时OE=OF=OH=R，点O、H分别是EF、AB的中点
∴2OH=AE+BF即BF=2R-2
∵BM=AE=2
∴MF=2R-4
在中，
∵EM=AB=6，EF=2R
∴
解得
将代入 BF=2R-2
∴；
③当圆与边CD相切时，设圆的半径为R，切点为H，圆与边AD交E、D两点，与边BC交M、F两点，如图3所示
此时OE=OF=OH=R
∵AE=2
∴ED=6
∵点O、H分别是EF、CD的中点
∴2OH=ED+FC即FC=2R-6
∵BM=AE=2
∴MF=BC-BM-FC即MF=12-2R
∵EM=AB=6，EF=2R
∴在中
即
解得
∵
∴.
故答案为： 2或或.
18．如图，正方形AOBC的顶点O在原点，边AO，BO分别在x轴和y轴上，点C坐标为(4，4)，点D是BO的中点，点P是边OA上的一个动点，连接PD，以P为圆心，PD为半径作圆，设点P横坐标为t，当⊙P与正方形AOBC的边相切时，t的值为 .
【答案】或2
【解析】∵点C坐标为（4，4），点D是BO的中点，
∴OA＝OB＝4，OD＝OB＝2，
分⊙P与AC相切和⊙P与BC相切两种情况考虑：
①当⊙P与AC相切时，如图1所示.
∵点P横坐标为t，
∴PA＝4-t.
在Rt△DOP中，OD＝2，OP＝t，PD＝PA＝4-t，
∴PD2＝OD2+OP2，即（4-t）2＝22+t2，
解得：t＝；
②当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，如图2所示.
∵PE⊥BC，AC⊥BC，
∴PE∥AC.
∵PA∥EC，
∴四边形ACEP为矩形，
∴PE＝AC＝4，
∴PD＝PE＝4.
在Rt△POD中，OP＝t，OD＝2，PD＝4，
∴PD2＝OD2+OP2，即42＝22+t2，
解得：t1＝2，t2＝-2（不合题意，舍去），
综上所述：t的值为或2，
故答案为或2.
19．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=，CE：EB=1：4，求CE的长．
【答案】（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB=90°，
即∠DAB+∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．
（2）解：如图，连接AE，
∴∠AEB=90°，
设CE=x，
∵CE：EB=1：4，
∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，
在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，
即（）2=x2+（3x）2，
∴x=2．
∴CE=2．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．
（1）求证：FE⊥AB；
（2）当EF=6，时，求DE的长．
【答案】（1）证明：连接AD、OD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
又∵AB=AC，
∴CD=DB，又CO=AO，
∴OD∥AB，
∵FD是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴FE⊥AB；
（2）∵，
∴，
∵OD∥AB，
∴，又EF=6，
∴DE=9．
21． 如图1，已知外一点向作切线，点为切点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过点作，分别交于点，交于点，连接.
（1）求证：∽；
（2）如图2，当时，
①求的度数；
②连接，若点关于直线的对称点为，连接，请直接写出的值.
【答案】（1）证明：如图1，切于点，是的直径，
，
，
，
，
，
，
（2）解：解：如图2，连接，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
②
【解析】（2）存在.如图2，过点作交于，连接，，，
由得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
.
22．如图，为的直径，为延长线上一点，过点作的切线，切点为，过点作交的延长线于点，连接.
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，求的半径.
【答案】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分.
（2）解：连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴.
（3）解：设的半径为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，（舍去），
∴的半径为5.
【直击中考】
23．如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】如图1，连接OD、BD，
，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC，
∵CD=5，CE=4，
∴DE= ，
∵S△BCD=BD CD÷2=BC DE÷2，
∴5BD=3BC，
∴ ，
∵BD2+CD2=BC2，
∴ ，
解得BC= ，
∵AB=BC，
∴AB= ，
∴⊙O的半径是；
．
故选：D．
24．如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO，以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D，则下列结论中错误的是（ ）
A．DC＝DT B．AD＝ DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC
【答案】D
【解析】如图，连接 .
是半径， ，
是 的切线，
是 的切线，
， 正确，
， ，
，
是切线，
，
，
，
，
， 正确，
， ， ，
，
，
， ， ，
，
，
，
， 正确，
故答案为：D.
25．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形.当 盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 .
【答案】10
【解析】如图，连接OD，设圆O与BC相切于点F，连接OF交AD于点E，
∵圆O与BC相切于点F，
∴OF⊥BC，
∴∠OFC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6cm，AD∥BC，∠C=∠CDA=90°，
∴OF⊥AD，四边形CDEF是矩形，
∴ED=AD=8cm，EF=CD=4cm，
∴OE=OF-EF=OD-EF=OD-4，
在Rt△OED中，由勾股定理得OE2+ED2=OD2，即（OD-4）2+82=OD2，
解得OD=10，即此餐盘的半径为10cm.
故答案为：10.
26．如图，点A是外一点，AB，AC分别与相切于点B，C，点D在上，已知，则的度数是 。
【答案】
【解析】连接OB、OC，
∵AB、AC为切线，
∴∠OCA=∠OBA=90°.
∵∠A+∠OCA+∠OBA+∠BOC=360°，∴∠BOC=360°-90°-90°-50°=130°，
∴∠D=∠BOC=65°.
故答案为：65°.
27．如图，AB切⊙O于点，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C的度数为 ．
【答案】25°
【解析】连接OB，
∵AB是圆O的切线，∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，∴∠BOA=90°-∠A=90°-40°=50°，
∵OB=OC，∴∠C=∠CBO
∵∠AOB=∠C+∠CBO=2∠C=50°，
∴∠C=25°.
故答案为：25°.
28．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆O的切线，交AC于点E．
（1）求证：∠ACB＝2∠ADE；
（2）若DE＝3，AE＝ ，求 的长．
【答案】（1）证明：连接OD，CD，
∵DE是圆O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠EDC=90°
∵BC是直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠ODC，
∵AC=BC，
∴∠ACB=2∠DCO，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠DCO=∠ADE
∴∠ACB=2∠ADE.
（2）解： 在Rt△ADE中
.
∴AD=2AE，
∴∠ADE=30°，∠A=∠B=∠ODB=60°，
∴∠DOC=∠B+∠ODB=60°+60°=120°，△ABC是等边三角形，
∴BC=AB
∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AB=2AD=，
∴
∴ 的长为.
29．如图，在 OABC，以O为图心，OA为半径的圆与C相切于点B，与OC相交于点D．
（1）求 的度数。
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F。若EF=AB，求∠OCE的度数．
【答案】（1）如图，连结OB，设⊙O半径为r，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
又∵四边形OABC为平行四边形，
∴OA∥BC，AB=OC，
∴∠AOB=90°，
又∵OA=OB=r，
∴AB= r，
∴△AOB，△OBC均为等腰直角三角形，
∴∠BOC=45°，
∴弧CD度数为45°.
（2）作OH⊥EF，连结OE，
由（1）知EF=AB= r，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴OH= EF= r，
在Rt△OHC中，
∴sin∠OCE= = ，
∴∠OCE=30°.
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