26.2.2 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

(共24张PPT)
第2课时 二次函数y=a(x-h)2 的图象与性质
第二十六章 二次函数
26.2.2 二次函数的图象与性质
1．会用描点法画出y=a(x-h)2的图象，理解抛物线的念．
2．掌握形如y=a(x-h)2的二次函数图象和性质，并会应用．
a,k的符号 a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k>0 a<0，k<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上
向下
y 轴（直线 x = 0 ）
y 轴（直线 x = 0）
（0，k）
（0，k）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x = 0 时，y最小值 = k
x = 0 时，y最大值 = k
说说二次函数 y = ax2 + k (a≠0) 的图象特征.
问题1 二次函数 y = ax2 + c (a≠0) 与 y = ax2 的图象有何关系？
二次函数 y = ax2 + c (a≠0) 的图象可以由 y = ax2 (a≠0)的图象平移得到：
当 c ＞ 0 时，向上平移 c 个单位长度得到；
当 c ＜ 0 时，向下平移 -c 个单位长度得到.
问题2 函数 的图象，能否由函数 的
图象平移得到？
形状开口均相同，应该也能.
在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与
的图象．
解：先列表：
x ··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
知识点1 二次函数 y = a(x - h)2 (a ≠ 0) 的图象
x
y
4
3
2
1
O
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
向上
y 轴
直线 x = 2
(0，0)
(2，0)
根据所画图象，填写下表：
x ··· 3 2 1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
2
4.5
2
0
0
2
2
4.5
8
8
-2
2
-2
-4
-6
4
-4
O
x
y
试一试 画出二次函数
的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线 x = -1
( 1，0)
直线 x = 0
直线 x = 1
向下
向下
(0，0)
(1，0)
想一想：通过上述例子，得出函数 y = a(x - h)2 的图象特征和性质是什么？
-2
2
-2
-4
-6
4
-4
O
x
y
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
直线 x = h
直线 x = h
(h，0)
(h，0)
当 x = h 时，y最小值 = 0
当 x = h 时，y最大值 = 0
当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大.
当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞h 时，y随 x 的增大而减小.
知识点2 二次函数 y = a(x - h)2 (a ≠ 0) 的性质
若抛物线 y＝3(x＋ )2 的图象上有三个点A(－3 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，
则 y1，y2，y3 的大小关系为___________．
练一练
y2＜y3＜y1
O
-1
x
y
A′
C
B
解析：如图所示.抛物线的对称轴为 x＝－ ，
当 x＞－ 时，y 随 x 的增大而增大.
点 A 在抛物线上的对称点 A′ 的
坐标为( ，y1)，
则根据图像可得 y2＜y3＜y1.
向右平移
1 个单位
向左平移
1 个单位
想一想
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？
O
2
2
-2
-4
-6
4
4
x
y
形状、大小、开口方向都相同，只是位置不同.
知识点3 二次函数 y = ax2 与 y = a(x - h)2 (a≠0) 的关系
知识要点
二次函数 y = a(x±h)2 与 y = ax2 (a≠0) 的图象的关系
可以看作互相平移得到 (h > 0)：
左右平移规律：
自变量左加右减，括号外不变.
向右平移 h 个单位
y = a(x - h)2
向左平移 h 个单位
y = ax2
y = a(x + h)2
例1 抛物线 的顶点坐标为________．
解：本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线
中，其顶点坐标为 ，直接
根据抛物线的顶点坐标式进行解答．
解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线
的顶点坐标是 ．
D
例2
如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA.
(1)求抛物线的表达式；
解：由题意知，顶点A的坐标是
(－1，0)，∴OA＝1.
∵OA＝OB，∴OB＝1，即B(0，－1)．
把B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2，得－1＝a·12，
解得a＝－1，∴y＝－(x＋1)2.
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求b的值；
解：把点C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2，
得b＝－(－3＋1)2＝－4.
(3)若点D(2，y1)、E(3，y2)在此抛物线上，比较y1与y2的大小．
∵对称轴是直线x＝－1，－1＜2＜3，且抛物线的开口向下，∴y1＞y2.
例3 如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值．
解：依题意将抛物线y＝x2平移后为
抛物线y＝(x－a)2，即y＝x2－2ax＋a2.
∵OA＝OB，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，a2)，∴a2＝a.∵a≠0，∴a＝1.
(2)图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．
1.抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是(　　)
A．(－2，0)　
B．(2，0)　
C．(0，－2)　
D．(0，2)
B
2.对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有(　　)
①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是(　　)
B
4.在函数y＝(x－1)2中，当x>1时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．
增大
5.已知A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝a(x＋1)2(a＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________．
y3＜y2＜y1
平移规律：
自变量
左加右减，
括号外
保持不变.
复习y=ax2+k
探索 y =a(x±h)2的图象及性质
图象画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向及增减性
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线 x = h
(h，0)
a>0，开口向上；
a<0，开口向下.
y = ax2