26.2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2 k的图象与性质 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
第二十六章 二次函数
26.2 二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)的图象的性质并会应用.
3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.
(1) y = ax2；
(2) y = ax2 + k；
(3) y = a(x - h)2.
1. 说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况：
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
2. 请说出抛物线 y = -2x2 的开口方向、顶点坐标、对称
轴及最值.
3.把 y = -2x2的图象
向上平移3个单位长度
y=-2x2+3
向左平移2个单位长度
y=-2(x+2)2
4. 请猜测一下，二次函数 y = -2(x + 2)2 + 3 的图象是否可以由 y = -2x2 平移得到？学完本课时你就会明白.
开口向上，顶点坐标是 (0，0)，对称轴是 y 轴，y最大值 = 0
例1 画出函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解：先列表；
再描点、连线.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
2
4
x
-2
-4
-6
y
O
-2
-4
直线 x = -1
开口向下；
对称轴是直线 x = -1；
顶点坐标是 (-1，-1).
变式
画出二次函数 y = 2(x + 1)2 - 2 的图象，并说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口向上；
对称轴是直线 x = -1；
顶点坐标是 (-1，-2).
-2
2
x
y
O
-2
4
6
8
-4
2
4
二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 x = h 直线 x = h
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k
增减性 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小.
知识总结
顶点式
抛物线 的顶点坐标是（ ）
例2
A． B． C． D．
分析：本题考查了二次函数的顶点式，先把二次函数化为顶点式的形式，再求出其顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的特征是解题的关键。
解：∵抛物线 可化为 的形式，∴其顶点坐标为 ．
故选：D．
D
（2023湖南益阳一模）下列图象中，可能是 的图象的是（ ）
例2
A． B． C． D．
B
解：∵ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点为 ，
观察图象，则B选项符合题意，故选：B．
探究归纳
思考 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
向左平移1个单位长度
平移方法1
1 个单位长度
向下平移
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
二次函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系
怎样移动抛物线 可以得到抛物线 ？
平移方法2
向左平移
向下平移
1个单位
1 个单位
2
4
x
-2
-4
y
O
-2
-4
知识要点
二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系
图象的形状和开口方向均相同，可以通过互相平移得到.
y = ax2
y = ax2±k
y = a(x±h)2
y = a( x±h )2±k
上下
平移
左右
平移
上下
平移
左右
平移
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
简记为：
上下平移，
常数项上加下减；
左右平移，
自变量左加右减.
二次项系数 a 不变.
1.请回答抛物线 y = 4(x－3)2＋7 由抛物线 y = 4x2 怎样平移得到
由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的.
2. 如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，试求这个函数关系式.
练一练
例3 关于 的图象，下列叙述正确的是（　）
A．顶点坐标为
B．对称轴为直线
C．当 时，y随x的增大而增大
D．开口向下
分析：本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式，根据二次函数的性质直接判断每个选项即可．
例3 关于 的图象，下列叙述正确的是（　）
例5 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，
水管应多长
C(3，0)
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解：建立如图的平面直角坐标系，
点( 1，3 )是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数解析式为
∵ 这段抛物线经过点 ( 3，0 )，
∴ 0 = a(3－1)2＋3.
解得
∴ 抛物线的解析式为
y = a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当 x = 0 时，y = 2.25.
答：水管长应为 2.25 m.
a = - .
3
4
y = (x－1)2＋3 (0≤x≤3).
3
4
-
1.抛物线y＝2(x＋9)2－3的顶点坐标是(　　)
A．(9，－3)
B．(－9，－3)
C．(9，3)
D．(－9，3)
B
2.点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上，若y1＜y2，则m的取值范围为(　　)
B
3.二次函数y＝(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(　　)
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
B
4.已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是(　　)
A．若c＜0，则a＜c＜b
B．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜b
D．若c＞0，则a＜b＜c
D
(1)当m＝5时，求n的值；
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围；
一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0)
的形状相同，位置不同.
二次函数
y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质
图象特点
当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下.
对称轴是 x = h，
顶点坐标是 (h，k)
平移规律
左右平移：自变量左加右减；
上下平移：常数项上加下减