浙教版九年级数学上册试题 1.2二次函数的图象同步测试（含答案）

1.2二次函数的图象
一、单选题
1．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（　　）
A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d
3．如图，点C在线段AB上，AB=8，AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，CPD 的面积为y. 则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
4．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x=－1，且过点(－3,0)，下列说法：①abc＞0；②2a－b=0；③4a+2b+c＜0；④若(－5,y1)，(2.5,y2)是抛物在线两点，则y1＞y2，其中正确的是（ ）
A．② B．②③ C．②④ D．①②
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则（ ）
A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0
B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0
C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0
D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞0
6．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y1＞y2.
其中正确的结论是(　　)
A．①③④ B．①③ C．①②④ D．②
7．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b=0；④b2-4ac＜0；⑤4a-2b+c＞0，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．方程的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为_______．
10． 二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2017在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2017在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上．若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2016B2017A2017都为正三角形，则△A2016B2017A2017的边长为____．
(第10题)
11．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：
①；②；③；④，（的实数）； ⑤，其中正确的结论有________．
12．平面直角坐标系中，C（0，4），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动时，OB+BC的最小值为_____．
13．如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝________，最后记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝________．
14．如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．则以下结论：①无论取何值，2的值总是正数；②；③当时，；④．其中正确结论是___________________．
15．已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是________．
16．对于3个数：，用表示这三个数的中位数，用表示这三个数的最大数．例如：．如果，则=______________．
三、解答题
17．定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，若F1：y=x2，经过变换后，得到F2：y=x2+bx，点C的坐标为（2，0），则：
①b的值等于 ；
②四边形ABCD为（ ）
A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如图2，若F1：y=ax2+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c﹣1），求△ABD的面积；
（3）如图3，若F1：y=x2﹣x+，经过变换后，AC=2，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．
18．在学习函数的过程中，我们经历了通过列表，描点，连线来画函数图象，观察分析图象特征，从而概括出函数的性质的过程．下面是研究函数，性质及其应用的部分过程．请按要求完成下列各小题．
列表：
x … 0 2 3 …
y … 4 a 0 1 2 1 b …
（1）请求出表中a，b的值，并在图中补全该函数的图象；
（2）根据函数图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，请直接写出不等式的解集．
19．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；
②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
20．某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数的有关图象和性质”．探究过程如下：
（1）列表：问______．
x … 0 1 2 …
y … 6 2 0 0 0 2 m …
（2）请在平面直角坐标系中画出图象．
（3）若方程（p为常数）有三个实数根，则______．
（4）试写出方程（p为常数）有两个实数根时，p的取值范围是______．
21．如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽（a）”，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答问题：
如图2，顶点为C(1，4)的抛物线y=ax2＋bx＋c交x轴于点A（3，0）、交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式．
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA、PB．
①当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB．
②是否存一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．判断下列二次函数的图象与x轴有无交点，若有请求出交点坐标；若无请说明理由．
（1）y=-6x
（2）y=2x2-12x+18．
23．如图，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上（点与点不重合），我们定义：这样的两条抛物，互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．
（1）如图，已知抛物线与轴交于点，试求出点关于该抛物线对称轴对称的点的坐标；
（2）请求出以点为顶点的的友好抛物线的解析式，并指出与中同时随增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物的任意一条友好抛物线的解析式为，请写出与的关系式，并说明理由．
24．阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A．B两点的坐标分别为A（，B，AB中点P的坐标为．由，得，同理，所以AB的中点坐标为（，）．由勾股定理得，所以A、B两点间的距离公式为AB=．
注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：
如图2，直线l：与抛物线交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．
（1）求A、B两点的坐标及P、C两点的坐标；
（2）连结AB、AC，求证：△ABC为直角三角形；
（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．
25．已知抛物线与轴交于点，其关于轴对称的抛物线为：，且经过点和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，抛物线与轴的交点记为点和点（在的右侧），与轴交于点，如果满足与相似，请求出平移后抛物线的表达式．
答案
一、单选题
C.B.B．C．D.B．B.B．
二、填空题
9．3．
10．2017.
11．①③④⑤
12．4+4．
13．，．
14．①④．
15．.
16．或．
三、解答题
17．
解：（1）﹣2；D；
（2）∵F2：y=a（x﹣2）2+c﹣1，
而A（0，c）在F2上，可得a=．
∴DB=（4a+c）﹣（c﹣1）=2，
∴S△ABD=2；
（3）当点C在点A的右侧时（如图1），
设AC与BD交于点N，
抛物线y=x2﹣x+，配方得y=（x﹣1）2+2，
其顶点坐标是A（1，2），
∵AC=2，
∴点C的坐标为（1+2，2）．
∵F2过点A，
∴F2解析式为y=（x﹣1﹣）2+1，
∴B（1+，1），
∴D（1+，3）
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四边形ABCD是菱形．
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．
∵DN=1，AN=，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等边三角形．
∴h=AD=
∴最小值为．
当点C在点A的左侧时（如图2），同理，最小值为．
综上，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为．
18．
（1）当时，；
当时，；
故；
补全图象如图；
（2）当，或时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大；（任写一条即可）
（3）由图可知，与所画函数的交点横坐标大于0，
，
解得：，
经检验是原方程的根，
故两个交点为：，
由函数图象可知，
当或时，在所画函数图象上方，
即的解集为或．
19．（1）①y=x+2当x=0时，y=2，当y=0时，x=-4，
∴C（0，2），A（-4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=-对称，
∴点B的坐标为（1，0）．
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（-4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2=-4a
∴a=-
∴y=-x2-x+2．
（2）设P（m，-m2-m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q（m，m+2），
∴PQ=-m2-m+2-（m+2）
=-m2-2m，
∵S△PAC=×PQ×4，
=2PQ=-m2-4m=-（m+2）2+4，
∴当m=-2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（-2，3）．
20.（1）当x=时，
=
=，
∴；
（2）画图象如下；
（3）当x≥0时，函数为；当x＜0时，函数为；
∵方程（p为常数）有三个实数根，
∴两个方程有一个公共根，设这个根为a，
则，
解得a=0，
当a=0时，p=0，
故答案为：p=0；
（4）∵方程（p为常数）有两个实数根，
∴p＞0；
或△=0
即1+4p=0，
解得．
综上所述，p的取值范围是或．
21.（1）设抛物线的解析式为：y1=a（x-1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
故y1=-（x-1）2+4=-x2+2x+3；
设直线AB的解析式为：y2=kx+b，
求得B点的坐标为（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，
解得：k=-1，b=3，
所以y2=-x+3；
（2）①∵C点坐标为（1，4），
∴当x=1时，y1=4，y2=2
∴CD=4-2=2，
S△CAB=×3×2=3；
②∵C点坐标为（1，4），
∴当x=1时，y1=4，y2=2，
∴CD=4-2=2，
S△CAB=×3×2=3，
假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x，
由S△PAB=S△CAB，
得：×3×（-x2+3x）=3
化简得：x2-3x+2=0，
∴x=1（舍去）或x=2，
∴点P（2，3）．
22.（1）∵a=，b=-6，c=0，
∴b2-4ac=36＞0，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点．
令y=0，则x2-6x=0，
解得：x=0或9．
则与x轴的交点是（0，0）和（9，0）；
（2）∵a=2，b=-12，c=18，
∴b2-4ac=（-12）2-4×2×18=0，
∴二次函数与x轴只有一个交点．
令y=0，则2x2-12x+18=0，
解得：x=3，
则与x轴的交点是（3，0）．
23.（1）∵抛物线L3：y=2x2﹣8x+4，∴y=2（x﹣2）2﹣4，∴顶点为（2，－4），对称轴为x=2，设x=0，则y=4，∴C（0，4），∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）；
（2）∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，﹣4），∴L4的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+4，由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大；
（3）a1与a2的关系式为a1+a2=0．
理由如下：
∵抛物线y=a1 （x﹣m）2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2 （x﹣h）2+k，∴y=a2 （x﹣h）2+k过点（m，n），且y=a1 （x﹣m）2+n过点（h，k），即
k=a1 （h﹣m）2+n…①
n=a2 （m﹣h）2+k…②
由①+②得：（a1+a2）（h﹣m）2=0．
又“友好”抛物线的顶点不重合，∴h≠m，∴a1+a2=0．
24.（1）由，解得：，，则A，B两点的坐标分别为：A（，），B（，），∵P是A，B的中点，由中点坐标公式得P点坐标为（，），即（，3），又∵PC⊥x轴交抛物线于C点，将代入中得，∴C点坐标为（，）；
（2）由两点间距离公式得：AB==5，PC=，∴PC=PA=PB，∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形；
（3）过点C作CG⊥AB于G，过点A作AH⊥PC于H，则H点的坐标为（，），∴S△PAC=AP CG=PC AH，∴CG=AH=．又∵直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG，∴直线l与l′之间的距离为．
25.解：（1）抛物线和抛物线关于轴对称，且：，
： ，
经过点和点，
经过点和点，
把点和点代入：可得：
，
解得：，
：；
（2）设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线，
：，
的解析式可以表示为：
，
抛物线与轴的交点为点和点，且在的右侧，
，
抛物线与轴交于点，
，
∵A（-3，0），C（0，3），
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴当△AOC和△DOQ相似时，
△DOQ为等腰直角三角形，
∴OQ=OD，
当点Q在y轴正半轴上时，
OQ=OD=OA=OC，
∴，
解得：a=0（舍）或2，
此时：；
当点Q在y轴负半轴时，
OD=OQ，
则，
解得：a=-1（舍）或4，
此时：；
综上：平移后抛物线W3的表达式为：或.