浙教版九年级数学上册试题 1.2二次函数的图象习题（含答案）

1.2二次函数的图象
一、单选题
1．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
2．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝﹣1 D．x＝1
3．若二次函数y＝(m－1)x2＋m2－1的图象的顶点在坐标原点，则m的值是( )
A．±1 B．1 C．－1 D．2
4．如图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分线，交AB于点E．设BP=x， BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．若在同一直角坐标系中，作，，的图象，则它们（ ）
A．都关于轴对称 B．开口方向相同
C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到
6．已知a<－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y17．如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
8．二次函数的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．将二次函数配方后为，则k= ，b= .
10．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是_____．
11．在直角坐标系中，抛物线 （m＞0）与x轴交于A，B两点．若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足 ，则m的值等于________．
12．二次函数y=3（x﹣3）2+2顶点坐标坐标_____．
13．抛物线y=﹣x2﹣3的顶点坐标是_____．
14．已知二次函数的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示）,与y轴交于点C,点P是其对称轴上一动点,当PB+PC取得最小值时,点P的坐标为__________
15．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_________．
16．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
三、解答题
17．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中．
若抛物线的对称轴为，
①m的值为_ ﹔
②当时，有 （填“”，“”或“”） ．
当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围．
18．如图，在平面直角坐标系中，为原点，四边形是矩形，点、的坐标分别是和，点为对角线上一动点（不与、重合），连结，作，交轴于点，以线段、为邻边作矩形.
（1）填空：点的坐标为______；
（2）当是等腰三角形时，试求出的长；
（3）设，矩形的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最小值.
19．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，求：
（1）对称轴是____________；
（2）函数解析式____________；
（3）当x______时，y随x增大而减小；
（4）由图象回答：
当y＞0时，x的取值范围_____ _；
当y＝0时，x＝______ ；
当y＜0时，x的取值范围_____ ．
20．对于二次函数．
（1）它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
（2）当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PCO=∠POC？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
22．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=－x2＋kx＋4与y轴交于A，与x轴的负半轴交于B，且△ABO的面积是8．
（1）求点B的坐标和此二次函数的解析式；
（2）当y≤4时，直接写出x的取值范围．
23．已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A（，0），B（，0），（＜）两点，顶点M的纵坐标为，若，是方程的两根，且。
（1）、求A、B两点的坐标。
（2）、求抛物线的表达式及点C的坐标。
（3）、抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB面积的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
24．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
25．如图，抛物线与轴交于A（-2，0），B（6，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一个动点，若S△PAB=32，求出此时P点的坐标．
答案
一、单选题
A．A．C．D．A.C.B．A.
二、填空题
9．k=1，b=-4 ．
10．x1=﹣1，x2=5．
11．2
12．（3，2）．
13．（0，﹣3）．
14．（-1，2）．
15．．
16．2．
三、解答题
17．
解：（1）①由，
则对称轴，
，
②把分别代入与得，
，，
；
（2）联立、的解析式可得，，
整理得，，
则△，
，
，
即就是没有直线与抛物线相切的情况．
当时，代入方程，
得，
（负值舍去），
，
当时，代入方程，
得，
，
又，
的取值为：．
18．
（1）∵四边形是矩形，∴，，，∴.
（2）如图1，在中，.∵是等腰三角形，故有如下三种情况：
①若，则.
②若，过作于，则.在中，由，得，∵，∴.在中，，∴.
③若，则，∴，这与矛盾，∴.
综上所述，满足条件的的长为2或.
（3）如图2，连结，取的中点，连结、.
∵，∴，以为圆心，为直径作圆，则、、、四点在同一圆上，∴，∴.则.
如图3，作于.
在中，∵，，
∴，，
∴.
在中，，
∴，
∴矩形的面积，
即.
∵，∴时，有最小值.
19．（1）∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）
∴其对称轴x=；
（2）∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）（1，0），
∴设其抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1）,
∵y轴的交点坐标为（0，﹣3），
∴-3a=-3 则a=1
∴y=（x+3）（x-1）= x2＋2x－3
（3）∵抛物线开口向上，对称轴方程为x=-1，
∴当x≤-1时，y随x的增大而减小；
（4）∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
∴当y>0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1．
当y=0时，x的取值范围是x=﹣3或x=1．
当y<0时，x的取值范围是﹣320．
（1）将的图象向左平移个单位可以得到的图象，
∵，
∴抛物线开口向下，
它是轴对称图形，对称轴为，顶点坐标是；
（2）∵，抛物线开口向下，
∴当时，的值随的增大而增大；当时，的值随的增大而减小．
21．
解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（﹣1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
则，
解得：，
则抛物线的解析式是：y=﹣x2+3x+4；
（2）存在．
作线段OC的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．
∵C（0，4），O（0，0），
∴直线l的表达式为y=2；．代入抛物线的表达式，
得2=﹣x2+3x+4；
解得，x=
∴点P的坐标是：（，2）或（，2）
（3）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP1=∠OAC=45°，
∴∠MCP1=∠MP1C，
∴MC=MP1，
设P（m，﹣m2+3m+4），则m=﹣m2+3m+4﹣4，
解得：m1=0（舍去），m2=2．
∴﹣m2+3m+4=6，
即P（2，6）．
第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．
∴P2N∥x轴，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠F P2N=45°，AO=OF．
∴P2N=NF，
设P2（n，﹣n2+3n+4），则n=（﹣n2+3n+4）+4
解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），
∴﹣n2+3n+4=﹣6，
则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；
22．（1）点B的坐标为（-4，0）．
y=-x2- 3x+4
（2）x≤-3或x≥0
23．（1）∵若x1，x2是方程x2﹣2（m﹣1）+m2﹣7=0的两个实数根，
由题意得：x1+x2=﹣=2（m﹣1），x1x2==m2﹣7．
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣1）2﹣2（m2﹣7）=10，
化简，得m2﹣4m+4=0，
解得m=2．
且当m=2时，△=4﹣4×（﹣3）＞0，符合题意．
∴原方程可写成：x2﹣2x﹣3=0，
∵x1＜x2，
∴x1=﹣1，x2=3；
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）已知：A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1，
因此抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则有：
﹣4=a（1+1）（1﹣3），a=1；
∴y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；
当x=0时，y=-3.所以C（0,-3）
（3）S四边形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM=OA OC+（OC+MN） ON+NB MN，
=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．
假设存在P（x0，y0）使得S△PAB=2S四边形ACMB=18，
即：AB|y0|=18，×4×|y0|=18，
∴y0=±9；
当y0=9时，x2﹣2x﹣3=9，解得x=1﹣，x=1+；
当y0=﹣9时，x2﹣2x﹣3=﹣9，此方程无实数根．
∴存在符合条件的P点，且坐标为（1﹣，9），（1+，9）．
24．解：（1）∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
（2）当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
25．∵抛物线与轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，∴，解得，∴二次函数解析式是
（2）∵∴抛物线的对称轴顶点坐标（2，﹣16）．
（3）设P的纵坐标为，
把代入解析式得，解得，，（负值舍去）把代入解析式得，解得，（负值舍去）∴点P的坐标为或时，