浙教版九年级数学上册试题 4.4两个三角形相似的判定 同步练习（含答案）

4.4两个相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，在 ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：：3，且，则DF的长为　　
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF的值为（　　 ）
A． B． C． D．
4．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF2=PE BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，点E为 ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于(　　)
A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3
6．如图，矩形ABCD中，折叠矩形一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=,且CE:CF=3:4,则矩形ABCD的周长为（ ）
A．36cm B．3 C．72cm D．7
7．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（　　）
A． B． +1﹣ C．﹣ D．﹣1
8．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．下列结论：
①BH=DH；②CH=(+1)EH；③＝ ． 其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，有，点都在格点上
的面积等于__________；
10．已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、AC上，将△AMN沿直线MN折叠，点A落在点P处，且点P在射线CB上，当△PNC为直角三角形时，PN的长为_____．
11．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形OABC的面积为 ．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数图象恰好过DE的中点F．则k＝_____，线段EH的长为：____　．
12．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE，BC的延长线相交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是______ .
13．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（10，0）、（0，4），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C以每秒1个单位匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线垂直时，点P运动的时间为_____秒．
14．如图所示，n+1个直角边长为3的等腰直角三角形△AB1C1，△C1B2C2……，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1Dn n的面积为Sn，则S1＝_____；S2＝_____；Sn＝_____．
15．如图，已知 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，E、F分别是AB，BC上的动点，EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，若△APD是直角三角形，则BF的长为_____．
16．如图，是△的中线，点在边上，且⊥，将△绕着点旋转，使得点与点重合，点落在点处，联结交于点，如果，那么的值等于______．
三、解答题
17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当S△ACP＝S△ACN时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得△ACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
18．如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线，一次函数的图象与轴交于点，且与直线关于的对称直线交于点．
（1）点的坐标是 ______；
（2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合），点的纵坐标为．过点作直线与线段、分别交于点，，使得与相似．
①当时，求的长；
②若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接写出的取值范围______．
19．如图，已知中，，点以每秒1个单位的速度从向运动，同时点以每秒2个单位的速度从向方向运动，到达点后，点也停止运动，设点运动的时间为秒.
(1)求点停止运动时，的长;
(2) 两点在运动过程中，点是点关于直线的对称点，是否存在时间，使四边形为菱形 若存在，求出此时的值;若不存在，请说明理由.
(3) 两点在运动过程中，求使与相似的时间的值.
20．关于x的方程①和一元二次方程②中，k，m均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为最小整数时，方程②有两根分别为和，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，点C是双曲线在第一象限图像上一动点，作CD⊥y轴交线段AB于点E，作CF⊥x轴交线段AB于点G，坐标原点为O．按要求补全图形并完成：
①BG·AE＝___________；
②求∠EOG的度数．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的长．
22．定义为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是．
（1）将“特征数”是的函数的图象向下平移2个单位，得到一个新函数图象，求这个新函数图象的解析式；
（2）“特征”是的函数图象与轴分别交点，“特征数”是的函数图象与轴交于点，点是原点，判断与是否相似，请说明理由．
23．如图，矩形OABC的两条边OA、OC分别在y轴和x轴上，已知点B坐标为（4，﹣3）．把矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E．
（1）线段AC＝　 　；
（2）求点D坐标及折痕DE的长；
（3）若点P在x轴上，在平面内是否存在点Q，使以P、D、E、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，则请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是平面内一点；
（1）如图1， BD⊥CD，∠DCA=30°，则∠BAD=
（2）如图2，若∠BDC=45°，点F是CD中点，求证：AF⊥CD；
（3）如图3，∠BDA=3∠CBD，BD=，求△BCD的面积.
25．如图，在△ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 的中点，过点 A 作AF // BC 交 BE 的延长线于 F ，连接CF .
（1）求证： △AEF △DEB ；
（2）若BAC 90，试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的情况下，如果 AC 2 ，点 M 在 AC 线段上移动，当 MB MD 有最小值时，求 AM 的长度（提示：以 D 点为原点， AD 为 y 正半轴， DC 为 x 正轴建立平面直角坐标系）.
26．如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：；
（3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值．
答案
一、单选题
D．D．A．D．B.C．D．B．
二、填空题
9．；
10．或
11．-2 2
12．30或48．
13．1或4.
14．， 3，
15．或
16．
三、解答题
17．
（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AC解析式为y＝mx+n，
∵点A（-1，0）、C（2，3）在直线AC上，
∴，
解得：，
∴直线AC解析式为y＝x+1.
（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴N（0，3），
∵点P的横坐标为t，点P在抛物线y=-x2+2x+3图象上，
∴P（t，﹣t2+2t+3），
如图，过点P作PH//AC，
∵平行线间的距离相等，
∴S△ACP＝S△CAN，
设直线NP的解析式为y=kx+a，
∴k=1，
把N（0，3）代入得a=3，
∴直线NP的解析式为y=x+3，
联立直线NP与抛物线解析式得，
解得：或（舍去），
∴P（1，4）.
②如图2，过P作PS⊥x轴于S，过C作CK⊥PS于K，则∠CKP＝∠PSA＝90°，
∵P（t，﹣t2+2t+3），A（﹣1，0），C（2，3），
∴CK＝2﹣t，PK＝﹣t2+2t，PS＝﹣t2+2t+3，AS＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵△ACP是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠APS+∠CPK＝∠APC＝90°，
∵∠PCK+∠CPK＝90°，
∴∠APS＝∠PCK，
∴△APS∽△PCK，
∴＝，即＝，
解得：t＝，
∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，
∴﹣1＜t＜2，
∵＞2，
∴t＝，
∴﹣t2+2t+3=，
∴P（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
∴B（1，2），BD＝2，
∵点E在直线AC上，AC解析式为y=x+1，
∴设点E（m，m+1），
∵B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，
∴EF=BD，
∵EF//BD，BD为抛物线对称轴，
∴F（m，﹣m2+2m+3），EF＝，
∴m2-m-2＝±2，解得：m1＝0，m2＝1（舍去），m3＝，m4＝，
∴，以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，点E的坐标为：（0，1）或（，）或（，）．
18．
（1）顶点为；
故答案为；
（2）对称轴，
，
由已知可求，
点关于对称点为，
则关于对称的直线为，
，
①当时，，
，，
当时，，
，
，
；
当与不平行时，，
，
，
；
综上所述或；
②当，时，
，
，
，
，
∴有且只有一个与相似时，；
故答案为；
19．
（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
点Q运动到点A时，t==5，
∴AP=5，PC=1，
在Rt△PBC中，PB=．
（2）如图1中，当四边形PQCE是菱形时，连接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．
∵四边形PQCE是菱形，
∴PC⊥EQ，PK=KC，
∵∠QKC=∠QDC=∠DCK=90°，
∴四边形QDCK是矩形，
∴DQ=CK，
∴，
解得t=．
∴t=s时，四边形PQCE是菱形．
（3）如图2中，当∠APQ=90°时，
∵∠APQ=∠C=90°，
∴PQ∥BC，
∴，
∴，
∴．
如图3中，当∠AQP=90°时，
∵△AQP∽△ACB，
∴，
∴，
∴，
综上所述，或s时，△APQ是直角三角形．
20．
（1）∵，
∴x=，
∵方程的根为非负数，方程是一元二次方程，
∴≥0，2-k≠0，
解得：k≥-1且k≠2．
（2）由（1）可知k≥-1，
∵k为最小整数，
∴k=-1，
∴方程②为，
∵方程②有两根分别为和，
∴+()=，即-m=-4，
解得：m=4．
（3）①根据题意补全图形如下，过点E作EP⊥x轴于P，过G作GQ⊥y轴于Q，由（2）可知k=-1，m=4，
∴直线AB解析式为y=-x+1，双曲线的解析式为，
∵直线y=kx+1与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵EP⊥x轴，GQ⊥y轴，
∴△BQG和△EPA是等腰直角三角形，
∴BG=GQ，AE=PE，
∵CD⊥y轴，CF⊥x轴，
∴GQ=CD，PE=CF，
设点C坐标为（t，），则CD=t，CF=，
∴BG·AE=t×·=1．
②如图，连接OE、OG，
由①得BG·AE=1，OA=OB=1，∠OBA=∠OAB=45°，
∴BG=，
∴，
∴△BOG∽△AEO，
∴∠OGB=∠EOA，
∵∠OGB=∠GOA+∠OAB，∠EOA=∠EOG+∠GOA，
∴∠EOG=∠OAB=45°．
21．
（1）证明：，
，
为边上的高，
，
，
，
是的平分线，
，
．
（2）解：如图，作于．
∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，
∴∠BFD=∠CEB，
∵∠BFD=∠CFE，
，
为等腰三角形，
，
，
∴点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
根据，即，
，
，
，
，
．
22．
解：（1）函数的“特征数”是，，，函数的“特征数”是，2，，函数的“特征数”是，，，
“特征数”是，，的函数解析式是：，
函数的图象向下平移2个单位，
；
（2） “特征数”是的函数图象与、轴分别交点、，
函数解析式为：，
图象与、轴分别点、，
“特征数”是的函数图象与轴交于点，
函数解析式为：
图象与、轴分别点、，
，，．
，
又∠DOE=∠COD，
．
23．
解：（1）∵四边形OABC是矩形，点B坐标为（4，﹣3）．
∴∠AOC＝90°．OA＝3，OC＝4，
∴AC＝＝5．
故答案为5；
（2）由折叠可得：DE⊥AC，AF＝FC＝，
∵∠FCD＝∠OCA，∠DFC＝∠AOC＝90°，
∴△DFC∽△AOC．
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DF＝，DC＝，
∴OD＝OC﹣DC＝4﹣＝．
∴D（，0）；
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF＝∠DCF，
在△AFE和△CFD中，，
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF＝DF．
∴DE＝2DF＝2×＝．
即折痕DE的长为．
（3）如图所示：
由（2）可知，AE＝CD＝
∴E（，﹣3），D（，0），
①当DE为菱形的边时，DP＝DE＝，可得Q（，﹣3），Q1（﹣，﹣3）．
②当DE为菱形的对角线时，P与C重合，Q与A重合，Q2（0，﹣3），
③当点Q在第一象限，E与Q关于x轴对称，Q（，3）
综上所述，满足条件的点Q坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣3）或（0，﹣3）或（，3）．
24．
解：（1）∵AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DCA=30°，
∴∠BCD=45°-30°=15°，
又∵BD⊥CD，
∴∠CBD=90°-15°=75°，
∴∠ABD=75°-45°=30°，
在Rt△ACE和Rt△BDE中，∠ACE=30°，∠ABD=30°，
∴ , ，
在△CEB和△AED中，
∠CEB=∠AED，，
∴△CEB∽△AED，
∴∠BAD=∠BCD=15°.
（2）如图，作三角形BCD的外接圆，则∠BCD为圆周角，
∵∠BDC=45°，
∴所对的圆心角为90°，
∵∠BAC=90°，
∴点A即为△BCD的外接圆的圆心，
∴AC=AD，
∵点F是CD中点，
∴AF⊥CD.
（3）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∵AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠BDA=3∠CBD，∠BDA=∠C+∠CBD，
∴∠C=2∠CBD，
∵∠ABC=∠ACB，∠ABC=∠ABD+∠CBD，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵∠BAC=90°，DE⊥BC，
∴DE=AD，
设DE=AD=a，
易得△CED为等腰直角三角形，
∴CD=，
∴AB=AC=，
∵BD=，
∴在Rt△ABD中，，
解得 ,
∴AB=AC=，
∴BC=，
∴ .
25．
（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB；
（2）四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AEF≌△DEB，∴AF=BD．
∵BD=DC，∴AF=DC．
又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，∴AD=DC，∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接BF交AC于M，则点M即为所求．
∵四边形ADCF是菱形，∴点D与点F关于直线AC对称，∴MD=MF，∴MB+MD=MB+MF=BF，即MB+MD有最小值．
∵AF=DC=BD，∴BC=2AF．
∵AF∥BC，∴△AMF∽△CMB，∴，∴，∴AM=AC．
∵AC=2，∴AM=．
26．
（1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C，
∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
把，分别代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线与x轴交于点A，
∴，
解得，，
∴点A的坐标为，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
（3）设点D的坐标为
则点E的坐标为
∴
=
∵，
∴当时，线段DE的长度最大．
此时，点D的坐标为，
∵，
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时最小．
连接CM交直线DE于点F，则，点F的坐标为，
∴，
∵
∴的最小值．
．