浙教版九年级数学上册4.4两个相似三角形的判定 同步测试（含答案）

4.4两个相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，在中，点分别在的边上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使与相似，那么这个条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图正方形网格上的三角形（1）（2）（3）中与△ABC相似的是（ ）
A．（1） B．（2）
C．（3） D．都不与△ABC相似
4．下列数据分别表示两个三角形的边，则两个三角形相似的是（ ）
A．3，2，4与9，12.6 B．2，4，5与4，9，12
C．3，4，5与2，2.5，1 D．2.5，5，4与0.5，1.1，1.5
5．下列命题中正确的是（ ）．
A．所有等腰三角形都相似 B．两边成比例的两个等腰三角形相似
C．有一个角相等的两个等腰三角形相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠ADE＝∠B B．∠AED＝∠C C． D．
7．下列说法正确的是（）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
B．有一角为65°的两个等腰三角形相似．
C．顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形是矩形，那么原四边形一定是菱形．
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
8．在△ABC中，∠B=∠C=36°，AD、AE三等分∠A，D、E在BC边上，则其中的相似三角形（不包含全等）有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二、填空题
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC的中点，连结AD，BD，其中BD与AC交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形：___________．
10．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是__．
11．如图，在中，，是上一点且，当________时，使得与相似．
12．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC边上的F点处．已知折痕，且，那么该矩形的周长为______cm．
13．平行四边形中，是中点，是中点，与交于，则______.
14．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为_____．
15．如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ＝1，则S四边形PBCQ＝__．
16．如图，在正方形中，，将正方形的边沿折叠到，连接、、，若的面积为，则的面积为_______.
三、解答题
17．如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点F．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE·BF＝EF·BC．
18．如图，在中，为边上一点，用尺规在边上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法）
19．在和中，，，．
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
（2）能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．
20．如图，点在的边上，，求证：．
21．（1）如图1，在中，，，，请在图1中作一条直线，使得被分成两个等腰三角形，并在图中标注出相应的角度．
（2）如图2，在两个不相似的和中，，，，直线和直线将和分别分为两个三角形，并使的两部分能分别与的两部分相似．请在图中作出直线和直线，并标注出相应的角度．
22．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝1．
（1）当m＝3，AF：FB＝1：3时，求证：AEF∽BFC；
（2）当m＝3.5时，用直尺和圆规在图②的线段AB上确定所有使AEF与以点B、F、C为项点的三角形相似的点F（请保留画图痕迹）；
（3）探究：对于每一个确定的m的值，线段AB上存在几个点F，使得AEF与以点B、F、C为顶点的三角形相似？（直接写出结论即可）
23．如图，已知矩形．
（1）在线段上作点，使得（要求：只需作出满足条件的一个点即可，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：．
24．已知：如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AD的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．求证：△ABE∽△DBC．
25．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E
（1）求证：△AMN是等腰三角形；
（2）求BM AN的最大值；
（3）当M为BC中点时，求ME的长．
26．如图，线段A′B′是线段AB绕点O逆时针旋转后得到的图形（旋转角小于180°）．
（1）用直尺和圆规作点O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接OA、OA′、AA′、OB、OB′、BB′，求证：△OAA′∽△OBB′．
答案
一、单选题
D．D．B．AD．D．D．D．
二、填空题
9．△CBE，△BDA．
10．①②．
11．．
12．72.
13．4：1
14．．
15．3．
16．4.
三、解答题
17．
证明：证明：（1），，
，且，
；
（2）如图，连接，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
，
，
18．
如图，分以下四步：
（1）以点B为圆心，小于AD长为半径画弧，分别交AB、BC于点G、F
（2）以点D为圆心，BG长为半径画弧，交AD于点M
（3）以点M为圆心，GF长为半径画弧，与（2）所画的弧交内于点N
（4）连接DN，并延长DN，交AC于点E
则点E即为所作
理由如下：
由作图过程可知：，
在和中，
．
19．
（1）不相似．
在中，，；
在中，，，
．
．
与不相似．
（2）能作如图所示的辅助线进行分割．
具体作法：作，交于；作，交于．
由作法和已知条件可知．
，，
，，
．
，
，
．．
20．
证明：∵，
∴.
又∵，
∴.
21．
解：（1）如图，直线AE即为所求作．
（2）如图，直线a，直线b即为所求作．
22．
（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AE＝1，BC＝m＝3，AF：FB＝1：3，
∴，
∴AEF∽BFC；
解：（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连接CE′，交AB于点F1；
连接CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．点F1、F2、F3即为所求；
（3）如（2）中所作图形，当m=4时，由已知条件可得DE＝3，则CE＝5，即圆的直径为5，由梯形中位线定理可得此时圆心到AB的距离为2.5，等于半径，点F2、F3重合，符合条件的点F有2个；当m＞4时，圆和AB相离，此时点F2、F3不存在，即符合条件的点F只有1个；当1＜m＜4且m≠3时，符合条件的点F有3个；
综上所述，可得：当1＜m＜4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个．
23．
（1）解：先作BC的垂直平分线HF，交BC与G，然后以点G为圆心，以BG长为半径作圆，交AD与E点，连结BE，CE，
∵BC为直径，点E在圆上，
∴∠BEC=90°，
如图，点E即为所求．
（2）证：∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
24．
解：∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵D是弧AD的中点，即，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠BAE=∠BDC，∠ABE=∠DBC，
∴△ABE∽△DBC．
25．（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠NAM=∠BMA，又∠AMN=∠AMB，
∴∠AMN=∠NAM，
∴AN=MN，即△AMN是等腰三角形；
（2）如图，作NH⊥AM于H，
∵AN=MN，NH⊥AM，
∴AH=AM，
∵∠NHA=∠ABM=90°，∠AMN=∠AMB，
∴△NAH∽△AMB，
∴，
∴AN BM=AH AM=，
在Rt△AMB中，，
∵BM≤2，
∴9+≤13，
∴AN BM≤，
即当BM=2时，BM AN的最大值为；
（3）解：∵M为BC中点，
∴BM=CM=BC=1，
由（2）得，AN BM=，
∵==10，
∴AN=5，
∴DN=5﹣2=3，
设DE=x，则CE=3﹣x，
∵AN∥BC，
∴，即，
解得，x=，即CE=，
∴CE=，
∴ME==．
26．
解：（1）如图，点O即为所求．
（2）证明：如图，
∵线段A′B′为线段AB绕点O逆时针旋转后的图形，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOA′＝∠BOB′．
∴＝．
∴△OAA′∽△OBB′．