九年级数学上册试题 4.5相似三角形的性质及其应用同步测试-浙教版（含答案）

4.5相似三角形的性质及其应用
一、单选题
1．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mm
A． B． C． D．
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、CD上，AD∥EF，如果AE：AB＝1：3，AD＝4，BC＝10，那么EF的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B、D的对应点为A、C，那么需要添加的一个条件是（　　）
A．CE＝ B．CE＝ C．AC＝BD D．AC∥BD
4．有3个正方形按如图所示放置，其中大正方形的边长是1，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1+S2等于( )
A． B． C． D．
5．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．的顶点都在小正方形的格点上．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D；画射线交于点P，设．点Q为线段上的动点，则下列结论：①；②若分别连接，，则；③当时，；④的最小值为m．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在中，点，分别在，上，且，连结，若，，则与的面积比为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，，，E为中点，D为上一点，连接，当时，的长为（ ）
A． B． C．3 D．
8．如图，在菱形中，点，分别在，上，且，点，分别是的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在ABC中，点D是边AC上的任意一点，点M，N分别是ABD和BCD的重心，如果AC＝6，那么线段MN的长为 ___．
10．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝_____．
11．如图，在ABC中，AB＝6，BC＝12，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝___________时，BPQ与BAC相似．
12．如图，一张矩形纸片ABCD，点E在AB边上，把沿直线CE，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，若点E、F、D在同一直线上，．则______．
13．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠BAD和∠ABC的平分线交CD于E、F两点，AE、BF交于点G，则△EFG和△ABG面积的比值是_______________．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，CE和BD交于点O．若S△EOB＝1，则四边形AECD的面积为 ___．
15．如图，△ABC中，BC＝6，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，且S△ADE＝SDBCE，则DE＝___．
16．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长_______________________．
三、解答题
17．数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树梢影子末端重合于点H，测得米．随后，组员在直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时米．如图，已知，，，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度．
18．在中，，是中线，，，、分别在、的延长线上，与交于点，与交于点．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，求证；
（3）若，，求的长．
19．如图，在和中，，，求的度数．
20．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上．已知纸板的两条边EF＝30cm，DE＝40cm，延长DF交AB于点C，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求树高AB．
21．如图，在ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，连接DE，作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：DBE∽ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长．
22．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，连接AC，EC，EF，FC，且EC⊥EF．
（1）求证：△AEF∽△BCE；
（2）若AC=，求AB的长．
23．如图，在中，，垂足为D．
（1）请指出图中所有的相似三角形；
（2）你能得出吗？
24．如图，在中，，是的高，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．如图所示，点P是 ABCD的边DC的延长线上一点，连结AP分别交BD、BC于点M、N．
求证：AM2＝MN MP．
26．如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）（证明与推断）：①求证：四边形CEGF是正方形；
②的值为　 　；
（2）（探究与证明）：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α度（0°＜α＜45°），如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）（拓展与运用）：正方形CEGF在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H．
①求证：△ACH∽△GAH；
②若AG=6，GH=2，求BC的长．
答案
一、单选题
C．B．B．A．D．B.C．D．
二、填空题
9．2
10．18
11．1.5或6．
12．
13．．
14．9．
15．．
16．．
三、解答题
17．
设 ，，
，，，，
，，
，
又，
即
．
答：树的高度为米．
18．
（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，
∴∠DCF＝∠DCE＝135°，
在△DCF和△DCE中，
，
∴△DCF≌△DCE（SAS）
∴DE＝DF；
（2）证明：∵∠DCF＝135°，
∴∠F＋∠CDF＝45°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠CDE＋∠CDF＝45°，
∴∠F＝∠CDE，
∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，
∴△FCD∽△DCE，
∴，
∴CD2＝CE CF；
（3）解：过点D作DG⊥BC于G，
∵∠DCB＝45°，
∴GC＝GD＝CD＝，
由（2）可知，CD2＝CE CF，
∴CE＝＝2，
∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，
∴△ENC∽△DNG，
∴，即，
解得，NG＝，
由勾股定理得，DN＝．
19．
解：在和中，，
，
，
，
．
20．
解：∠DEF=∠DCB = 90°，∠EDF=∠CDB，
△DEF△DCB，
在Rt△DEF中，
答：树高AB是10.5m．
21．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠DEF，
∴∠DEF＝∠C，
又∵∠BEF＝∠BED+∠DEF＝∠C+∠CFE，
∴∠BED＝∠CFE，
∴DBE∽ECF；
（2）解：∵F是线段AC中点，AC＝6，
∴AF＝FC＝3，
∵DBE∽ECF，
∴，
设BE＝x，则EC＝5﹣x，
∴，
解得：x＝3或x＝2，
经检验x＝3和x＝2都是原方程的根，
∴BE的长为2或3．
22．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EAF=∠CBE=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EC⊥EF，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∴∠AFE=∠BEC，
∵∠EAF=∠CBE=90°，
∴△AEF∽△BCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵E、F分别是AB、AD的中点
∴AE=BE=AD，
设AE=x，AF=y，
则BE=x，AB=2x，BC=AD=2y，
∵△AEF∽BCE，
∴，
∴，
∴x2=2y2，
∵∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
∴（2x）2+（2y）2=（2）2，
∴x2+y2=3，
∴2y2+y2=3，
解得y=1，，
∴AE=，AF=1，
∵点E是AB的中点，
∴AB=2AE=2．
23．
解：（1），，；
（2）能，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
24．
（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE．
，
，
∵，
；
（2）∵
，
，则，
，
又，
，
．
25．
证明：∵在 ABCD中，，
，，
，
，
∵在 ABCD中，，
，，
，
，
，
；
26．
解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故答案为：；
（2）连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
△CEG和△CBA都是等腰直角三角形，
∴CG=CE，CA=CB，
∴，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；
（3）①由（2）知△BCE∽△ACG，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∵∠CGF=45°，
∴∠AGC+∠CGF=180°，
∴A、G、F三点共线．
∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△ACH∽△GAH；
②由①知，△ACH∽△GAH，则，
设BC=CD=AD=a，则AC=a，
∵，
∴，
∴AH=a，
则DH=AD-AH=a，CH==a，
由得，
解得：a=3，即BC=3．