浙教版九年级数学上册试题 4.5相似三角形的性质及其应用同步练习（含答案）

4.5相似三角形的性质及其应用
一、单选题
1．如图，在中，，，是边上一点，且，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（ ）
A．6 B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对称中心恰好是原点O，已知点B坐标是，双曲线经过点A，则菱形的面积是（ ）
A． B．18 C． D．25
4．如图，菱形的对角线与相交于点，，，点在上运动．过点作交于，交于点，将沿翻折得到，若，与重叠部分的面积为，下列图象能正确反映与的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE·OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，OE＝． 其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边交轴于点，反比例函数（，）的图象经过上的两点，．若，，平行四边形的面积为7，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（ ）
A． B． C．2－ D．－1
8．如图，在正方形ABCD中，，M是AD边上的一点，．将沿BM对折至，连接DN，则DN的长是（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题
9．如图，边长为5的圆内接正方形ABCD中，P为CD的中点，连按AP并延长交圆于点E，则DE的长为___．
10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点，连接，过点作的垂线交反比例函数图象于另一点，若，点的横坐标为，则的值是_____________．
11．如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为__________．
12．在中学数学中求一些图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等数学思想方法，我们称它为等积变换．如图，BD为的对角线，M、N分别在AD、AB上，且，若，则__________．
13．如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH的中点，连接GM，若AB＝3，BC＝2，设BE＝x，则CF＝____（用x表示）；则GM的最小值为_____．
14．如图，是小明家客厅地面铺设的瓷砖图案，其中四边形是正方形，阴影部分是四个全等的菱形，且点A、E、F在同一条直线上．已知菱形较短的对角线长为，则正方形的面积为_________．
15．已知：正方形ABCD中，E为BC的中点，BP＝2AP，F为AD上一点，EF交CP于O，∠POF＝45°，若APF的面积为，则线段EF的长为___．
16．如图，已知，，的中垂线交于点D、交于点M．下列结论：①是的平分线：②是等腰三角形；③；④．正确的有_______．
三、解答题
17．已知，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD与点F，设运动时间为．
（1）当t为何值时，是等腰三角形；
（2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分 若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．
18．已知：如图，在矩形和等腰中，，，．点从点出发，沿方向匀速运动．速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，交于点，交于点，过点作，交于点．分别连接，，设运动时间为．
解答下列问题：
（1）当时，求的值；
（2）设五边形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）当时，求的值；
（4）若与相交于点，分别连接和．在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（阅读）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（理解）（1）如图1，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由．
（应用）（2）如图2，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求的值．
（拓展）（3）如图3，a∥b，且直线a与b之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线b上，点A在直线a上，＝，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，线段A′C交a于点D．当点B′落在直线b上时，求的值．
20．（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF；
（2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长；
（3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，则∠QAD＝_______°．
21．如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°．
（1）求AD的长度．
（2）已知DE＝，求BF的长度．
（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
22．如图，等腰三角形的腰长，，动点从出发沿向运动，速度为，动点从出发沿向运动，速度为，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点是点关于直线的对称点，连接和，和相交于点．设运动时间为秒．
（1）若当的值是多少时，恰好经过点
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻，使平分 若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上 若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由．
23．如图，已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE//AC，交DC于点E． 设运动时间为t （s），（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在AC的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）设五边形APCEQ的面积为y，求y与t的函数关系式：
（3）当0＜t＜时，是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．抛物线y＝ax2+b经过点A（4，0），B（0，﹣4），直线EC过点E（4，﹣1），C（0，﹣3），点P是抛物线上点A、B间的动点（不含端点A、B），过P作PD⊥x轴于点D，连接PC、PE．
（1）求抛物线与直线CE的解析式；
（2）求证：PC+PD为定值；
（3）若△PEC的面积为1，求满足条件的点P的坐标．
25．
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，可以猜想：DE∥BC且DE=BC．请用演绎推理给出证明．
（1）如图①，在矩形ABCD中，点M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、DA的中点，顺次连结M、N、P、Q．求证：四边形MNPQ是菱形．
（2）如图②，在△ABC中，F是BC边中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，∠FEC=60°，则FE的长为 ．
26．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E为边BC上一点，连接AE交BD于点F．
（1）求证：BE AF＝BC EF；
（2）若AC⊥AB，AE⊥BC，BE＝3，AB＝4，求的值．
答案
一、单选题
B．B．C.A．C．A．A．D．
二、填空题
9．
10．
11．
12．7
13．，．
14．
15．
16．①②③．
三、解答题
17．
解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，
∴AC=10，，点O到AD的距离为3，
当为等腰三角形时，分三种情况讨论：
当AP=PO=t时
过P作PM⊥AO，如图1所示：
∴，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴
∴，
∴；
②当；
③当时即点P与点D重合，．不合题意，舍去．
综上所述，当或5s时，为等腰三角形
（2）在矩形ABCD中，，，
∴
∵，
∴，
∴，
在矩形ABCD中，AD//BC， AO=CO，又得∠AOP=∠COE，
∴∠PAO=∠ECO，
∴△AOP≌COE，
∴AP=EC=t，
∴，
∴
（3）存在，理由如下：
如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
在矩形ABCD中，，，
∴，
∵∠POD=∠COD，
∴，
∴
∵
∴OP DM=3PD，
∴
∴
∵PD2=PM2+DM2，
∴
解得：t=16（不合题意，舍去），
∴当时，OD平分∠COP．
18．
（1）由题意可得，，，
在矩形中，
∵，，
，
在中，，
，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
答：为时，.
（2）过点作，交于点，
在等腰中，
，，
则.
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴.
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，∴，∴.
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，.
∴
.
答：与的函数关系式是.
（3）延长交于点，由（1），（2）可得，
，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可证，四边形是矩形.
∴，
当时，
∵，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
答：当时，.
（4）由（2）得，，
∵，，
∴，
∴为矩形，
∴，且.
∴，
∵，
∴，
同理可证，
∴，，
∴，
∴，
∴.
答：在运动的过程中，存在时刻，使.
19．
解：（1）结论：△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”．
理由：过点A作AD⊥CB交CB的延长线于D．
∵AC＝8，∠C＝30°，
∴AD＝4，
∴＝
∴△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”；
（2）如图，
∵A，D关于BC对称，
∴BE⊥AD，AE＝ED，
∵△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，
∴＝，不妨设AE＝4k，BC＝5k，
∵C是△ABD的重心，
∴BC：CE＝2：1，
∴CE＝，BE＝ ，
∴AB＝，
∴；
（3）如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AC于F，过点B′作B′G⊥BC于G．
△ABC是“准黄金”三角形，
旋转
=CB=5，
∵∠CGB′=90°，GB′=4，
∴ ，
又∵=，
∴ ，
∴ ，
∴，
将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C
即∠GCB′=∠FCD，
∠CGB′=∠CFD=90°，
∴△CGB′∽△CFD，
∴DF：CF：CD=GB′：CG：CB′=3：4：5，
设DF=4k，CF=3k，CD=5k，
∵△AEC∽△DFA，
，
解得： ，
∴，
∴
．
20．
（1）证明：如图1，将ABE绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的ADG，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，
∴∠ADF+∠ADG＝180°，
∴F，D，G三点共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
在EAF与GAF中，
，
∴EAF≌GAF（SAS），
∴EF＝FG，
∵DG+FD＝FG，
∴BE＋FD＝EF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠C＝∠A＝∠D＝90°，
∵BE＝3，EC＝2，
∴AB＝BC＝5，
∵翻折，
∴设AG＝GE＝x，则BG＝5－x，
∵在RtBGE中，，
∴，
解得：，
∴，
∵翻折，
∴∠GEF＝∠A＝90°，
∴∠GEB＋∠FEC＝∠GEB＋∠BGE＝90°，
∴∠FEC＝∠BGE，
又∵∠B＝∠C，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴EF的长为；
（3）解：如图，连接AF，设∠FQA＝∠FEA＝m，
∵EF＝EA，
∴∠EAF＝∠EFA＝，
∵∠FQA＝∠FEA，∠FOQ＝∠AOE，
∴，
∴，
∴，
又∵∠FOA＝∠QOE，
∴，
∴∠AQE＝∠AFE＝，
∵∠CFQ＝34°，∠C＝90°，
∴∠CQF＝90°－∠CFQ＝56°，
∵∠CQF＋∠FQA＋∠AQE＝180°，
∴56°＋m＋＝180°，
解得：m＝68°，
∵∠D＝90°，
∴∠QAD＝90°－∠AQE
＝90°－()
＝
＝34°，
故答案为：34．
21．
（1）如图，连接BD，
在矩形ABCD中，∠DAB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵⊙O半径为5，
∴BD＝10，
∴AD＝ ＝6；
（2）如图，过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G，过点G作MN⊥AB，分别交直线DC、AB点M、N，
在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠EMG＝∠D＝90°，
∴四边形ADMN是矩形，
∴∠EGM+∠MEG＝90°，
∴∠AED+∠MEG＝90°，
∴∠EGM＝∠AED，
在△AEG中，∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠EGF＝45°，
∴AE＝EG，
∴△AED≌△EGM（AAS），
∴MG＝DE＝ ，EM＝AD＝6，
∴AN＝DE+EM＝ ，NG＝MN﹣MG＝ ，
∵MNADBC，
∴△ABF∽△ANG，
∴ ，
解得BF＝2；
（3）△AEF的面积存在最小值，理由如下：
过点E作EH⊥AB于H，交AF于点P，作△APE的外接圆⊙I，连接IA、IP、IE，过I作IQ⊥CD于点Q，设⊙I的半径为r，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EIP＝90°，∠IEP＝45°，∠IEQ＝45°，
∴EP＝ r，IQ＝r，
∵IA+IQ≥AD，
∴r+r≥6，
∴r≥12﹣6 ，
∴S△AEF＝AB EP＝4r，
∴S△AEF≥4（12﹣6），
∴S△AEF ﹣48，
∴△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48．
22．
解：（1）如图所示，过点A作AD⊥BC于D，
由题意得：恰好经过点A时，∠PAC=90°，，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
解得，
∴当时，恰好经过点A；
（2）如图，过点A作AD⊥BC于D，
由题意得：∠PEC==90°，cm， ，
∴∠ADC=∠PEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△PEC，
∴，
∵，BD=CD=4cm，AD=3cm
∴，
∴，，
∴
∴
；
（3）存在，理由如下：
假设存在某一时刻，使平分，如图所示，过点Q作QH⊥BC于H，
∴∠QHC=∠QHB=∠QEP=∠ADC=90°
∴当平分时，EQ=QH（角平分线的性质），
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△QHC，
∴，
∴即，
∴，
由（2）得，
∴，
解得，
∴存在时，使平分；
（4）存在，理由如下：
假设存在，如图所示，当Q在PC的垂直平分线上时，
∴，
∵△ADC∽△QHC，
∴，
∴，
解得．
23．
（1）根据题意，
∵BC=8cm
∴
∵矩形ABCD
∴
∴
当时, 点P在AC的垂直平分线上
∴
∴
∴；
（2）根据题意，得：，
矩形ABCD面积
∵QE//AC
∴
∴
∴
∴
∴五边形APCEQ的面积矩形ABCD面积
∴；
（3）根据题意，△PQE是直角三角形，分，，三种情况；
当时，
∵QE//AC
∴
根据（1）的结论，当时，
∵
∴符合题意；
当时，
∵QE//AC
∴，交于点，如下图：
∴
∵
∴
∴，
∵AB=6cm，BC=8cm
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴符合题意，
当，点在矩形ABCD外
∴不成立；
∴当或时，可使△PQE是直角三角形．
24．
解：（1）将A（4，0），B（0，﹣4）的坐标代入y＝ax2+b，
得 ，
解得， ，
∴抛物线的解析式为，
设直线CE为y＝mx+n，将点E（4，﹣1），C（0，﹣3）的坐标代入y＝mx+n得，
，
解得， ，
∴直线CE的解析式是；
（2）证明：设点，0＜t＜4，如图，过点P作PF⊥y轴于点F，
则PF＝t， ， ， ，
所以 为定值；
（3）解：方法一：设DP与EC的交点为G，设，
①如图，当点G在点P上方时，
，
∵S△PEC＝1 ，
∴，
解得： ， （负根舍去），
∴ ，即 ，
②如图，当点G在点P下方时，
，
∵S△PEC＝1，
∴ ，
解得： ，（负根舍去），
∴，即 ，
综上所述，满足条件的点有，．
方法二：如图，分别过点P，E作PF⊥CE，EH⊥y轴，垂足为F，H，PD交CE于点G，
在Rt△EHC中，EH＝4，HC＝2，
∴ ，
∵S△PEC＝1，
∴ ＝1，
即 ，
∵PF⊥CE，PG⊥EH，
∴△PFG∽△CHE，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴过点P与直线CE平行，且与直线CE距离为 的直线有两条： 或 ，
依题意得： ，
解得： （负根舍去），
∴， ，
∴ ，
，
解得：（负根舍去），
∴， ，
∴，
综上所述，满足条件的点有，．
25．
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴ ，
∵∠A＝∠A，
∴△DAE∽△BAC，
∴∠ADE＝∠B， ，
∴DE∥BC且DE＝BC．
（1）证明：如图①连接AC，BD．
∵AM＝BM，AQ＝DQ，,
∴MQ＝BD，同法可证PN＝BD，PQ＝MN＝AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴MQ＝PQ＝PN＝MN，
∴四边形MNPQ是菱形．
（2）如图②：
连接BD，取DB的中点H，连接EH、FH，
∵F是BC边中点， E是AD的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
∴ ，
∴△EHF是等边三角形 ．
∴ ．
26．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，且 ，
∴ ，
又∵ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴BE AF＝BC EF．
（2）∵AC⊥AB，四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵AE⊥BC ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BE＝3，AB＝4，
∴在中， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，， ，，
∴ ，
在中， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．