(共30张PPT)
2.2.1一元二次方程的解法
浙教版 八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
一元二次方程是“浙教版八年级数学（下）”第二章第二节的内容。本节课的主要内容是让学生在具体问题情境中根据数量关系列方程，经历一元二次方程概念的发生过程，使学生理解一元二次方程的概念并了解一元二次方程的一般形式,要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础，与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教材中有着非常重要的地位和作用.
教学目标
1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.
2.会用因式分解法解一元二次方程.
3.提高分析问题、解决问题的能力及合作交流能力..
复习回顾
一元二次方程必须满足的三个条件是什么？
1.两边都是整式；
2.只含有一个未知数；
3.未知数的最高次数是2次.
一元二次方程的一般形式是什么？
ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0)是一元二次方程的一般形式,其中ax2 ,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
探究新知
1.若A×B=0,下面两个结论正确吗
(1) A和B都为0,即A=0,且B=0.
(2) A和B中至少有一个为0,即A=0,或B=0.
2.你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗 试一试.
已知： A×B=0
①A=B=0
②A=0,B≠0
③A≠0,B=0
解：(1)不正确，只说明了①这种情况，还有②③情况存在.
(2)正确,①②③都表明若A×B=0,A和B中至少有一个为0.
探究新知
2.你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x3)=0吗 试一试.
分析：根据A×B=0,则A=0或B=0解方程即可
解：由题意可得2x+3=0或2x3=0
∴x1=、 x2=
故答案为x1=、 x2=
探究新知
例1 解下列方程:
(1) x23x=0. (2) 25x2= 16.
解：(1)将原方程的左边分解因式,得x(x3)=0,
则x=0,或x3=0,
解得x1 =0, x2 =3.
(2)移项,得25x216=0.
将方程的左边分解因式，得(5x4)(5x+4)=0,
则5x4=0,或5x+4=0,
解得x1 = , x2 = .
探究新知
因式分解法解方程的基本步骤：
1.移项：将方程的右边化为0；
2.化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
3.转化：令每一个因式都为0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，得原方程的解.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
例题精讲
例2 解下列一元二次方程:
(1) (x5)(3x2)=10.
(2) (3x4)2=(4x3)2.
解：(1)化简方程,得3x217x=0.
将方程的左边分解因式,得x(3x17)=0,
则x=0,或3x17=0,
解得x1 =0, x2 =.
例题精讲
例2 解下列一元二次方程:
(1) (x5)(3x2)=10.
(2) (3x4)2=(4x3)2.
解： (2)移项,得(3x4)2(4x3)2=0.
将方程的左边分解因式,得.
[(3x4)+(4x3)][(3x4)(4x3)]=0,
即(7x)(x)=0.
则7x=0,或x=0,
解得x1 =1, x2 =.
例题精讲
解：移项,得x22x+2 =0,
即x22x +()2=0.
则(x)2=0,
解得x1 = x2= .
例3 解方程x2=2x2.
例题精讲
已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别为x1＝2，x2＝3，则x2＋mx＋n分解因式的结果是( )
A.(x＋2)(x＋3)
B.(x＋2)(x－3)
C.(x－2)(x＋3)
D.(x－2)(x－3)
D
例题精讲
详细计算结果：
(x－2)(x－3)= x2+[]x+() ×()= x25x+6
(x＋2)(x＋3)=
(x＋2)(x－3)=
(x－2)(x＋3)=
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab= x2+px+q,其中p= a+b,q=ab
x2+()x+3×2= x2+5x+6
x2+()x+()×2= x2x6
x2+[x+×()= x2+x6
思考：你能说说你的发现吗？
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.方程x(2x+1)=5(2x+1)的解是( )
A.x1=,x2=5
B.x=
C.x=5
D.x1=,x2=5
A
课堂练习
2.方程4x2100=0的解是( )
A.x1=x2=5
B.x1=x2=5
C.x1=5,x2=5
D.x1=x2=25
【知识技能类作业】
必做题
C
课堂练习
3. x2=4x4的解为( )
A.x1=x2=4
B.x1=4,x2=4
C.x1=x2=2
D.x1=2,x2=2
【知识技能类作业】
必做题
C
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
1.用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A． ，则 ，或
B． ，则 ，或
C． ，则 ，或
D． ，则
B
课堂练习
2.如果，那么的值为（ ）
A．2或1
B．0或1
C．2
D．1
【知识技能类作业】
必做题
A
课堂练习
3.若实数x，y满足(x＋y＋3)(x＋y－1)＝0，则x＋y的值为( )
A.1
B.－3
C.3或－1
D.－3或1
【知识技能类作业】
选做题
D
课堂练习
【综合实践类作业】
解方程：
(1) x2－2x－15＝0；
(2) (3x+2)2＝3(3x+2)．
解： (1) ∵ x2－2x－15 ＝0，
∴(x－5)(x+3)＝0，
则x－5＝0或x+3 ＝0，
解得x＝5或x＝－3；
课堂练习
【综合实践类作业】
解方程：
(2) (3x+2)2＝3(3x+2)．
解： (2) ∵ (3x+2)2＝3(3x+2) ．
∴ (3x+2)2 3(3x+2)=0，
∴ (3x+2) (3x1)＝0，
则3x+2＝0或3x1＝0，
解得x＝﹣ 或x＝ ．
课堂总结
因式分解法：
1.提取公因式法：如x2+ax=0 x(x+a)=0 x1 =0, x2 =
2.完全平方公式法：如x2+2ax+a2 =0 (x+a)2=0 x1 =x2 =
3.平方差根式法：如x2a2 =0 (x+a) (xa)=0 x1 = a, x2 =
4.十字相乘法：如x2+(a+b)x+ab =0 (x+a)(x+b)=0 x1 =, x2 =
作业布置
【知识技能类作业】
1.一元二次方程的解是（ ）
A．
B．，
C．
D．，
B
作业布置
【知识技能类作业】
2.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2x+60 =0的一个实数根，则该三角形的面积是( )
A．
B．24
C． 或24
D． 或24
C
作业布置
【知识技能类作业】
3.一元二次方程x(x＋3)=x的解是 ．
4.用因式分解法解方程x2﹣kx﹣16=0时，得到的两根均整数，则k的值可以是_______________ (只写出一个即可).
5.若关于x的一元二次方程x2+8x+m=0(m为整数)能利用完全平方公式求解,则m= .
x1=0,x2=2
k=6(-15,15,-6,0)
16
作业布置
【综合实践类作业】
已知关于的一元二次方程.若是这个方程的一个解，求m的值和它的另一解；
解：将x=1，代入中，
得，解得：m=1，
将m＝1代入方程中得：，
解方程：，
故方程的解为： =1或3，
故方程的另一个根为： =3；
板书设计
因式分解法：
1.提取公因式法：
2.完全平方公式法：
3.平方差根式法：
4.十字相乘法：
2.2.1一元二次方程的解法
习题讲解书写部分
谢谢
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.3.了解一元二次方程的根与系数的关系.4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
内容分析 本章是浙教版八年级下册第二章《一元二次方程》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“方程与不等式”.主要内容有一元二次方程的概念、解法和应用.本单元首先以具体问题情境为导入探究一元二次方程的概念，让学生经历一元二次方程概念的发生过程，了解一元二次方程的一般形式，要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。再通过合作学习体验并掌握一元二次方程的解法。一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础.一元二次方程与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教学过程中让学生经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言、表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力，提升学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，以及有逻辑地表达与交流的能力。
学情分析 《一元二次方程》这一章是在学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程、分式方程，知道根据具体问题中的数量关系列方程的基础上进行构建的。本章知识是在此基础上，全面研究一元二次方程的概念、解法和应用。一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。教师应该在传授知识的过程中注重联系实际，从实际问题中引出引导学生学习一元二次方程的有关知识，并最终回归到建立一元二次方程模型解决实际问题中去.同时教师需加强学生对知识之间内在联系的认识，体会相关的数学思想方法，提高学生的基本能力，在日常教学中注重培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力。
单元目标 （一）教学目标1.理解一元二次方程的概念.2.了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.3.会用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程.4.能用一元二次方程的根的判别式判别方程的根的情况.5.了解一元二次方程的根与系数的关系.6.会用一元二次方程解决简单的实际问题.7.体会方程在现实生活中的具体应用.（二）教学重点、难点教学重点：一元二次方程的解法教学难点：列一元二次方程解应用题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1一元二次方程12.2一元二次方程的解法42.3一元二次方程的应用22.4一元二次方程根与系数的关系1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1一元二次方程1.经历一元二次方程概念的发生过程. 2.理解一元二次方程的概念.3.了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动一：情境导入，根据数量关系列方程.活动二：探究新知，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式.活动三：例题精讲，辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动四：针对训练，请学生回答问题.2.2.1一元二次方程的解法1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.2.会用因式分解法解一元二次方程.会用因式分解法解一元二次方程.活动一：复习导入，回顾一元二次方程的概念.活动二：合作学习，探究因式分解法解一元二次方程.活动三：例题精讲，用因式分解法解一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.2一元二次方程的解法1.理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.2.会用开平方法解一元二次方程.3.理解配方法.4.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.1.会用开平方法解一元二次方程.2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.活动一：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.活动二：探究新知，理解开平方法，配方法.活动三：例题精讲，用开平方法，配方法解一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.3一元二次方程的解法1.巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.2.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.活动一：复习导入，回顾开平方法，配方法.活动二：探究新知，能够运用二次根式的性质进行运算.活动三：例题精讲，用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.4一元二次方程的解法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会用公式法解一元二次方程.会用公式法解一元二次方程.活动一：温故知新，回顾如何用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程活动二：合作学习，一元二次方程求根公式活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.2.3.1一元二次方程的应用1.经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.2.会列一元二次方程解应用题.会列一元二次方程解应用题.活动一：复习导入，回顾一元二次方程的解法.活动二：例题精讲，列一元二次方程解应用题.活动三：巩固练习，请学生回答问题2.3.2一元二次方程的应用1.继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值.2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.活动一：复习导入，回顾如何列一元二次方程解应用题.活动二：例题精讲，列一元二次方程解应用题.活动三：巩固练习，请学生回答问题2.4一元二次方程根与系数的关系1.经历一元二次方程根与系数的关系的推导过程.2.能够理解一元二次方程根与系数的关系.3.会灵活运用一元二次方程根与系数的关系解题.会用一元二次方程根与系数的关系解题.活动一：复习导入，回顾如何列一元二次方程解应用题.活动二：探究新知，经历一元二次方程根与系数的关系的推导过程.活动三：例题精讲，用一元二次方程根与系数的关系解题.活动四：巩固练习，请学生回答问题
《一元二次方程》大单元教学设计
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《一元二次方程的解法》教学设计
第一课时《一元二次方程的解法》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 一元二次方程的解法——因式分解法是“浙教版八年级数学（下）”第二章第二节第一课时的内容。本节课的主要内容是让学生通过合作交流掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤，要求学生会用因式分解法解一元二次方程.一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础，与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教材中有着非常重要的地位和作用.
学习者分析 学生在上节课学习了一元二次方程的概念，在七年级下册“因式分解”这一章中已经学习了提取公因式法和公式法，且学生具备一定的独立思考、合作探究、归纳概括的能力，这些都有利于学生理解因式分解法解一元二次方程的基本步骤.教师可以通过问题引导学生进行合作交流，发现可以通过因式分解法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，再通过分析讲授使学生理解因式分解法解一元二次方程的基本步骤.同时教师在教学过程中要注意面向全体学生，发挥学生的主体作用，让学生积极参与进来.
教学目标 1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤. 2.会用因式分解法解一元二次方程. 3.提高分析问题、解决问题的能力及合作交流能力.
教学重点 用因式分解法解一元二次方程.
教学难点 例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成,才能分解因式
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾，巩固旧知教师活动1： 教师提问：一元二次方程的三要素是什么？ 教师讲授： 1.两边都是整式； 2.只含有一个未知数； 3.未知数的最高次数是2次. 教师提问：一元二次方程的一般形式是什么？ 教师讲授：ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0)是一元二次方程的一般形式,其中ax2 ,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.学生活动1： 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机.环节二：探究新知，合作交流教师活动2： 1.若A×B=0,下面两个结论正确吗 (1) A和B都为0,即A=0,且B=0. (2) A和B中至少有一个为0,即A=0,或B=0. 2.你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗 试一试. 教师讲授： 1. 答案：1.(1)不正确，只说明了①这种情况，还有②③情况存在. (2)正确,①②③都表明若A×B=0,A和B中至少有一个为0. 2.根据A×B=0,则A=0或B=0解方程即可 答案：2.解：由题意可得2x+3=0或2x3=0 ∴x1=、 x2= 故答案为x1=、 x2= 例1 解下列方程: (1) x23x=0. (2) 25x2= 16. 答案： 解：(1)将原方程的左边分解因式,得x(x3)=0, 则x=0,或x3=0, 解得x1 =0, x2 =3. (2)移项,得25x216=0. 将方程的左边分解因式，得(5x4)(5x+4)=0, 则5x4=0,或5x+4=0, 解得x1 = , x2 = . 教师讲授： 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 因式分解法解方程的基本步骤： 1.移项：将方程的右边化为0； 2.化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； 3.转化：令每一个因式都为0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，得原方程的解.学生活动2： 学生认真思考，合作交流，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，完成习题，举手回答问题教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，完成习题，举手回答问题教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，理解因式分解法解一元二次方程的基本步骤 活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精讲，再探新知教师活动3： 例2 解下列一元二次方程: (1) (x5)(3x2)=10. (2) (3x4)2=(4x3)2. 解： (1)化简方程,得3x217x=0. 将方程的左边分解因式,得x(3x17)=0, 则x=0,或3x17=0, 解得x1 =0, x2 =. (2)移项,得(3x4)2(4x3)2=0. 将方程的左边分解因式,得. [(3x4)+(4x3)][(3x4)(4x3)]=0, 即(7x)(x)=0. 则7x=0,或x=0, 解得x1 =1, x2 =. 例3 解方程x2=2x2. 解：移项,得x22x+2 =0, 即x22x +()2=0. 则(x)2=0, 解得x1 = x2= . 再探新知： 已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别为x1＝2，x2＝3，则x2＋mx＋n分解因式的结果是( D ) A.(x＋2)(x＋3) B.(x＋2)(x－3) C.(x－2)(x＋3) D.(x－2)(x－3) 详细计算结果： (x－2)(x－3)= x2+[]x+() ×()= x25x+6 (x＋2)(x＋3)= (x＋2)(x－3)= (x－2)(x＋3)= 答案： (x＋2)(x＋3)= x2+()x+3×2= x2+5x+6 (x＋2)(x－3)= x2+()x+()×2= x2x6 (x－2)(x＋3)= x2+[x+×()= x2+x6 思考：你能说说你的发现吗？ 教师讲授：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab= x2+px+q,其中p= a+b,q=ab 学生活动3： 学生认真思考，完成习题，举手回答问题教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真听讲 学生认真思考，完成习题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，完成习题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，完成习题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生合作交流，举手回答问题，教师进行评价和讲解活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂小结
教师活动4： 因式分解法： 1.提取公因式法：如x2+ax=0x(x+a)=0 x1 =0, x2 = 2.完全平方公式法：如x2+2ax+a2 =0 (x+a)2=0 x1 =0, x2 = 3.平方差根式法：如x2a2 =0 (x+a) (xa)=0 x1 = a, x2 = 4.十字相乘法：如x2+(a+b)x+ab =0 (x+a)(x+b)=0 x1 =, x2 =学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.方程x(2x+1)=5(2x+1)的解是( ) A.x1=,x2=5 B.x= C.x=5 D.x1=,x2=5 2.方程4x2100=0的解是( ) A.x1=x2=5 B.x1=x2=5 C.x1=5,x2=5 D.x1=x2=25 3.x2=4x4的解为( ) A.x1=x2=4 B.x1=4,x2=4 C.x1=x2=2 D.x1=2,x2=2 选做题： 1.用因式分解法解下列方程，正确的是（ ） A． ，则 ，或 B． ，则 ，或 C． ，则 ，或 D． ，则 2.如果，那么的值为（ ） A．2或1 B．0或1 C．2 D．1 3.若实数x，y满足(x＋y＋3)(x＋y－1)＝0，则x＋y的值为( ) A.1 B.－3 C.3或－1 D.－3或1 【综合拓展类作业】 解方程： (1) x2－2x－15＝0； (2) (3x+2)2＝3(3x+2)．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.一元二次方程的解是（ ） A． B．， C． D．， 2.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2x+60 =0的一个实数根，则该三角形的面积是( ) A． B．24 C． 或24 D． 或24 3.一元二次方程x(x＋3)=x的解是 ． 4.用因式分解法解方程x2﹣kx﹣16=0时，得到的两根均整数，则k的值可以是_______________ (只写出一个即可). 5.若关于x的一元二次方程x2+8x+m=0(m为整数)能利用完全平方公式求解,则m= . 【综合拓展类作业】 已知关于的一元二次方程.若是这个方程的一个解，求m的值和它的另一解；
教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过复习导入激发学生学习的兴趣。安排学生探索新知，观察思考，从而获得数学活动经验，直观感知知识。本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整教学方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。
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