浙教版八年级数学下册试题 4.6 反证法（含答案）

4.6 反证法
一．选择题
1．用反证法证明“a＜1”，应先假设（　　）
A．a≥1 B．a＞1 C．a＝1 D．a≠1
2．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（　　）
A．5 B．12 C．14 D．16
3．用反证法证明“a≥b”时应先假设（　　）
A．a≤b B．a＞b C．a＜b D．a≠b
4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（　　）
A．a∥c B．b∥c C．a∥c，b∥c D．a与b相交
5．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设（　　）
A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b
6．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立，则下列各备选项中，第一步假设正确的是（　　）
A．假设四边形中没有一个角是钝角或直角
B．假设四边形中有一个角是钝角或直角
C．假设四边形中每一个角均为钝角
D．假设四边形中每一个角均为直角
7．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
8．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设（　　）
A．三角形中每个内角都大于60°
B．三角形中至少有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于或等于60°
D．三角形中每一个内角都小于成等于60°
9．用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个角是直角
B．没有直角
C．至少有一个角是直角
D．有一个角是钝角，一个角是直角
二．填空题
10．用反证方法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B必为锐角”的第一步是假设　 　．
11．用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设　 　．
12．用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设　 　．
13．用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设　 　．
14．用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是直角”时应假设：　 　．
三．解答题
15．用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．
16．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60度．
17．用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，A，B为交点，l1∥l2．
求证：∠1＝∠2．
证明：假设所求证的结论不成立，
即　 　≠　 　．
过点A作直线l4，使l4与l3所成的∠3与∠2相等，则∠3　 　∠1，
所以直线l4与直线l1不重合．
但l4∥l2（　 　），又已知l1∥l2，这与基本事实“　 　”产生矛盾．所以　 　不成立．
所求证的结论成立．
18．用反证法证明下列问题：
如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．
19．有12位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为13束，他们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左右两位同学，每人一束．试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出现至少有7位同学手中持有鲜花的情况．
答案
一．选择题
A．C．C．D．C．A．D．A．A．
二．填空题
10．∠B一定不是锐角（是直角或钝角）．
11．a，b都不能被5整除．
12．三角形的三个内角都小于60°．
13．若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内．
14．三角形中有至少有两个角是直角．
三．解答题
15．证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C＝180°，
而∠A+∠B+∠C＝180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，
而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．
故等腰三角形两底角必为锐角．
16．证明：假设一个三角形中没有内角大于或等于60°，
则∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°；
∴∠A+∠B+∠C＜180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾，
故一个三角形中至少有一个内角大于或等于60度．
17．证明：假设所求证的结论不成立，
即∠1≠∠2．
过点A作直线l4，使l4与l3所成的∠3与∠2相等，则∠3≠∠1，
所以直线l4与直线l1不重合．
但l4∥l2（同位角相等两直线平行），又已知l1∥l2，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线平行已知直线”产生矛盾．所以∠1≠∠2不成立．
所求证的结论成立．
故答案为∠1，∠2，≠，同位角相等两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线平行已知直线，∠1≠∠2．
18．证明：连接DE，
假设BD和CE互相平分，
∴四边形EBCD是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，
∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾，
故假设不成立原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分．
19．证明：不妨假设开始时手中持有鲜花的同学不足7位．我们以A1、A2、A3、…A12按逆时针方向依次分别标记这12位同学．
（1）在分花游戏过程中，任何相邻的两位同学一旦其中一位手中持有鲜花，那么，在此后的每次分花之后，他们两人中始终至少有一人手中持有鲜花．事实上，每次分花，如果分花的同学不是这两位同学中的一位，那么，他们俩手中的鲜花只会增加，不会减少．如果他们俩中的一位是分花者，那么，分花后另一位同学一定持有鲜花．
（2）任何一位同学不可能手中始终无花，可用反证法证明这一点．不妨假设A1手中始终无花，这意味着A2始终没作为分花者，A2手中鲜花只能增加，不会减少．因总共只有13束鲜花，所以经过有限次分花之后，A2不再接受鲜花．这又意味着经过有限次分花之后，A3不再为分花者．同理可知，再经过有限次分花后，A4不再为分花者．依此类推，经有限次分花之后，全部12位同学无一人为分花者，活动终止．这就与13束鲜花分置于12位同学手中，无论何种情况总能找到与可能分花的同学的事实相矛盾．
由（1）、（2）可知，经若干次分花之后，可使任何相邻的两位同学中至少有一位同学手中有花，因此至少有6位同学手中有花．若仅有6位同学手中有花，则手中有花的同学不可能相邻，否则就会有两位手中无花的同学相邻．因此，只要再进行一次分花，至少增加一位手中持花的同学，即至少有7位同学手中持有鲜花．