浙教版八年级数学下册试题 5.2 菱形（含答案）

5.2 菱形
一．选择题
1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线垂直 B．对边相等
C．对角相等 D．对角线互相平分
2．下列说法中，错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，则EF的长为（　　）
A．4.8 B． C．5 D．6
5．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值为（　　）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（　　）
A．24 B．28 C．32 D．36
7．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件是（　　）
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
8．一个菱形的边长为5，两条对角线的长度之和为14，则此菱形的面积为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．32
9．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在对角线BD上（不与点B，D重合），PE∥BC，PF∥DC．设AB＝m，AP＝a，PF＝b，PE＝c，下列表述正确的是（　　）
A．c2+b2＝a2 B．a+b＝c+m
C．c2+b2﹣bc＝a2 D．a+b+c≥2m
二．填空题
11．四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，添加一个条件　 　，即可判定该四边形是菱形．
12．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝　 　度．
13．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足　 　时，四边形EGFH是菱形．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是　 　．
15．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为　 　．
16．在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，点F是对角线AC上（不与点A，C重合）一动点，当△ADF是等腰三角形时，则∠AFD的度数为　 　．
三．解答题
17．如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AE＝12，AD＝13，则线段OE的长度是　 　．
19．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．若EC平分∠BEF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若AC＝8，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
20．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点M．交BC于点N；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求DP的长．
21．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，求∠BAO的大小．
（3）在第（2）问的基础上，且AB＝2，求四边形BECD的面积．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝11cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动．当P、Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P、Q的速度分别为1cm/s，2cm/s，连结PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）如图（1），当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）如图（2），若点E为边AD上一点，当AE＝3cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
23．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E
（1）若∠BAE＝30°，AE＝3，求菱形ABCD的周长．
（2）作AF⊥CD于点F，连结EF，BD，求证：EF∥BD．
（3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值．
答案
一．选择题
A．B．D．A．B．C．D．B．C．C．
二．填空题
11．AB＝BC或AC⊥BD．
12．24．
13．AB＝CD．
14．5．
15．3．
16．108°或72°．
三．解答题
17．证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵AF＝CE，
∴OF＝OE，
∴四边形FBED是菱形．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵AE＝12，AD＝13，
∴AB＝13，
∴BE＝5，
∵AB＝BC＝13，
∴CE＝18，
∴AC＝＝＝6，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO＝3．
∴OE＝3，
故答案为：3．
19．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE．
∵EC平分∠BEF，
∴∠BEC＝∠FEC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
又∵EF＝BE，
∴EF＝BC，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝EF，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵AC＝8，D是AC的中点，
∴EC＝AC＝8＝4．
∵∠BCF＝120°，
∴∠ECB＝∠BCF＝120°＝60°，
又∵在菱形BCEF中，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE＝BC＝CE＝4，
过点E作EG⊥BC于点G，如图：
∴BG＝BC＝4＝2，
∴EG＝＝＝，
∴S菱形BCFE＝BC EG＝4×＝．
20．（1）证明：由作图知BA＝BE，∠ABF＝∠EBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝8，
∴AB＝AF＝8，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝4，
∴PH＝2，DH＝8，
∴DP＝＝＝2．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE，BE＝CD，BD＝CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝CD，
∴CE⊥AC，BE＝AB＝BC＝CD，
∴AE＝AB+BE＝4，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE＝90°，
∵∠E＝60°，
∴△BCE是等边三角形，∠CAE＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∵AB＝BC，
∴∠BAO＝30°；
（3）∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE，BE＝CD，BD＝CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝CD＝2，
∴CE⊥AC，BE＝AB＝BC＝CD＝2，
∴AE＝AB+BE＝4，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE＝90°，
∵∠E＝60°，
∴△BCE是等边三角形，∠CAE＝30°，
∴BD＝CE＝BC＝2，AC＝CE＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝×2×2＝2，
∴四边形BECD的面积＝菱形ABCD的面积＝2．
22．解：由题意可得DP＝t，BQ＝2t，则AP＝11﹣t，BQ＝2t，
（1）若四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ，
∴11﹣t＝2t，
解得t＝，
故当t＝时，四边形ABQP是矩形；
（2）由题意得PE＝11﹣8﹣t，CQ＝11﹣2t，CP2＝CD2+DP2＝9+t2，
若四边形EQCP为菱形，则PE＝CQ＝CP，
∴t2+16＝（8﹣t）2＝（11﹣2t）2，
解得t＝3，
故当t＝3时，四边形EQCP为菱形．
23．（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，
∴BE＝AB，BE2+AE2＝AB2，
∵AE＝3，
∴（AB）2+32＝AB2，
解得：AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝2×4＝8；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD＝BC＝CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CBD＝（180°﹣∠C），
∴EF∥BD；
（3）解：连接CG，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADG＝∠CDG，AD＝CD，
在△ADG和△CDG中，，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG，△ADG和△CDG的面积相等，
∴S1﹣S2＝S△CGE，
AB＝BC＝CE+BE＝4+8＝12，
∵AE⊥BC，
∴AE＝＝＝4，
设EG＝x，则AG＝CG＝4﹣x，
∵AE⊥BC，
∴EG2+EC2＝CG2，即：x2+42＝（4﹣x）2，
解得：x＝，即EG＝，
∴S1﹣S2＝S△CGE＝CE EG＝×4×＝．