浙教版八年级数学下册试题 5.3 正方形（含答案）

5.3 正方形
一．选择题
1．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形的正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（　　）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
5．如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是（　　）
A．∠DAB＝90°且AD＝BC B．AB＝BC且AC＝BD
C．∠DAB＝90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO＝BO＝CO＝DO
6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F在对角线BD上，四边形AECF是菱形，且∠DAE＝67.5°，则BE的长为（　　）
A． B．2 C．4﹣4 D．6﹣4
7．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则BF的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
8．如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．28 B．24 C．20 D．16
9．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（　　）
A．0 B．4 C．8 D．16
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④EF的最小值为2．其中正确结论的序号为（　　）
A．①③④ B．①④ C．②③④ D．①②④
二．填空题
11．如图，在正方形ABCD中，延长BC至E，使CE＝CA，则∠E的度数是　 　．
12．已知正方形ABCD，以∠BAE为顶角，边AB为腰作等腰△ABE，连接DE，则∠DEB＝　 　．
13．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于　 　cm．
14．如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6，则AC＝　 　．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长BC到点E，使CE＝1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为　 　．
16．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝1+；⑤S正方形ABCD＝4+．其中正确结论的序号是　 　．
三．解答题
17．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．
（1）判断四边形AECF的形状，并证明你的猜想；
（2）若AB＝3，BE＝3，求四边形AECF的周长．
18．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
19．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．若正方形ABCD的边长为2，∠AGF＝105°．
（1）求∠BAG的度数；
（2）线段EF的长．
20．正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE．
（1）已知点F在线段BC上
①若AB＝BE，求∠DAE度数；
②求证：CE＝EF
（2）已知正方形边长为2，且BC＝2BF，请直接写出线段DE的长．
21．如图，平行四边形ABCD中，AD＝9cm，CD＝3cm，∠B＝45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）
（1）求BC边上高AE的长度；
（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；
（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．
22．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F．
（1）求证：AG＝FG．
（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．
（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．
23．如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P．
（1）判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．
（2）当OD＝时，求CP的长．
（3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为S1，△AOD的面积为S2，求S1﹣S2的最值．
答案
一．选择题
B．D．D．A．D．C．B．B．B．D．
二．填空题
11．22.5°
12．135°或45°．
13．1或2．
14．16
15．3s或7s
16．①③⑤．
三.解答题
17．（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
AC⊥BD．
∵BE＝DF，
∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，AC⊥BD，
∴AO＝BO，∠AOB＝90°．
在直角△AOB中，由勾股定理知：AB＝＝3，
∴AO＝BO＝3．
∴EO＝OB+BE＝6．
在△AOE中，∠AOE＝90°，AE＝＝＝3．
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC＝CF＝AF．
∴四边形AECF的周长＝4AE＝12．
∴四边形AECF的周长是12．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC＝CD．
又∵CE＝BC，
∴BE＝2BC，
∴BE＝2CD；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BE，
又∵CE＝BC，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACED是矩形，
又∵CA＝CB，
∴CA＝CE，
∴矩形ACED是正方形．
19．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠ABG＝45°，AB＝BC＝CD＝2，
∵GF⊥BC，
∴∠GBF＝45°＝∠BGF，
∵∠AGF＝105°，
∴∠AGB＝60°，
∵∠AGB+∠BAG+∠ABG＝180°，
∴∠BAG＝180°﹣45°﹣60°＝75°；
（2）如图，连接CG，过点A作AH⊥BD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA＝GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴EF＝GC，
∴AG＝EF，
∵AB＝2，∠ABH＝45°，AH⊥BG，
∴BH＝AH＝，
∵∠AGB＝60°，AH⊥BG，AH＝，
∴HG＝＝＝，AG＝2HG＝，
∴EF＝．
20．解：（1）①∵ABCD为正方形，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝BE，
∴∠BAE＝×（180°﹣45°）＝67.5°．
∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°
②证明：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
（2）如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵CE＝EF，
∴N是CF的中点．
∵BC＝2BF，
∴＝．
又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，
∴CN＝DM＝ME，
∴ED＝DM＝CN＝．
如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
∴FN＝CN．
又∵BC＝2BF，
∴FC＝3，
∴CN＝，
∴EN＝BN＝，
∴DE＝．
综上所述，ED的长为或
21．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3cm．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝45°，
∴AE＝AB sin∠B＝3×＝3（cm）；
（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），
∴AM＝CN＝t，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，
∴当AN＝AM时，四边形AMCN为菱形．
∵BE＝AE＝3，EN＝6﹣t，
∴AN2＝32+（6﹣t）2，
∴32+（6﹣t）2＝t2，
解得t＝．
故当t为时，四边形AMCN为菱形；
（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，
∴四边形MPNQ为矩形，
∴当QM＝QN时，四边形MPNQ为正方形．
∵AM＝CN＝t，BE＝3，
∴AQ＝EN＝BC﹣BE﹣CN＝9﹣3﹣t＝6﹣t，
∴QM＝AM﹣AQ＝|t﹣（6﹣t）|＝|2t﹣6|（注：分点Q在点M的左右两种情况），
∵QN＝AE＝3，
∴|2t﹣6|＝3，
解得t＝4.5或t＝1.5．
故当t为4.5或1.5秒时，四边形MPNQ为正方形．
22．证明：（1）连接GC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，
∵∠ABC+∠BAG+∠AGF+∠BFG＝360°，且∠ABC＝∠AGF＝90°，
∴∠BAG+∠BFG＝180°，
∴∠BCG+∠BFG＝180°，
∵∠BFG+∠GFC＝180°，
∴∠BCG＝∠GFC，
∴GC＝GF，
∴AG＝FG；
（2）如图2，过点G作GH⊥BC于H，
∵AB＝10，BF＝4，
∴AF2＝AB2+BF2＝AG2+GF2，
∴GF2＝58，
∵∠DBC＝45°，GH⊥BC，
∴BH＝GH，BG＝GH，
∵GF2＝GH2+FH2，
∴58＝GH2+（GH﹣4）2，
∴GH＝7，（负值舍去），
∴BG＝7；
（3）如图，在AB上截取BF＝BN，连接NF，
∵AG＝GF，AG⊥GF，
∴∠EAF＝45°，
∵AE＝AF，AB＝AD，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴∠BAF＝∠DAE＝22.5°，BF＝DE，
∴CF＝CE，
∵BF＝BN，∠ABC＝90°，
∴NF＝BF，∠BNF＝∠BFN＝45°，
∴∠BAF＝∠AFN＝22.5°，
∴AN＝NF＝BF，
∵AB＝BC，
∴BN+AN＝BF+FC，
∴FC＝BF，
∴BC＝（+1）BF，
∴正方形ABCD与△CEF的面积之比＝BC2：FC2＝3+2：1．
23．解：（1）OA＝OP，理由是：
如图1，过O作OG⊥AB于G，过O作OH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，
∴OG＝OH，
∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，
∴四边形OGBH是正方形，
∴BG＝BH，∠GOH＝90°，
∵∠AOP＝∠GOH＝90°，
∴∠AOG＝∠POH，
∴△AGO≌△PHO（ASA），
∴OA＝OP；
（2）如图2，过O作OQ⊥CD于Q，过O作OH⊥BC于H，连接OC，
∴∠OQD＝90°，
∵∠ODQ＝45°，
∴△ODQ是等腰直角三角形，
∵OD＝，
∴OQ＝DQ＝1，
∵AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，OD＝OD，
∴△ADO≌△CDO（SAS），
∴AO＝OC＝OP，
∵OH⊥PC，
∴PH＝CH＝OQ＝1，
∴PC＝2；
（3）如图3，连接OC，过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，
设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，
由（2）知：△AOD≌△COD，
∴S△AOD＝S△COD，
∴S1﹣S2＝S1﹣S△COD＝S△POC＝＝＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
当x＝2时，S1﹣S2有最大值是4，
当x＝0和x＝4时，S1﹣S2有最小值是0，
∵点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），
∴0＜x＜4，
∴S1﹣S2没有最小值
综上，S1﹣S2有最大值是4．