三角形的中位线
【要点预习】
1. 三角形的中位线概念：
连结三角形 的线段叫做三角形的中位线.
2. 三角形的中位线定理：
三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的 .
【课前热身】
1. (2008嘉兴中考)如图，中，已知AB=8，BC=6，CA=4，DE是中位线，则DE=（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
答案：B
2. 任何一个三角形有 条中位线.
答案：3
3. 如图是一个三角形与它的三条中位线，则图中有 个平行四边形.
答案：3
4.如图，在中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=5，则BC的长是 .
答案：10
【讲练互动】
【例1】如图，Rt中，∠B=90°，D，E分别是AB，AC的中点，DE=6，AC=15，求AB的长.
【变式训练】
1. 如图，在□ABCD中，AC，BD交于点O. E，F，G，H分别为OA，OB，OC，OD的中点. 若AB=4，BC=6，求四边形EFGH的周长.
【例2】如图，△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC中点. 求证：BD=2EF.
【变式训练】
2. 如图，已知DE为△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE.
求证：四边形BCFD为平行四边形.
【例3】如图，AD是∠BAC的外角平分线，CD⊥AD于点D，E是BC的中点.
求证：DE=(AB+AC).
【变式训练】
3. 如图，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边△ABM和△CAN. D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE，求证：DE=EF.
【同步测控】
基础自测
1.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=6，则DE等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
2. 三角形的三条中位线长分别为3cm，4cm，6cm，则原三角形的周长为………………( )
A. 6. 5cm B. 24cm C 26cm D. 52cm
3. 如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=…………………………………（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 50°
4.如图，若D，E分别是AB，AC中点，现测得DE的长为20米，则池塘的宽BC是 米.
5.顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是__ ___.
6.在四边形ABCD中，AC=4cm，BD=4.5cm，分别是边的中点，则四边形EFGH的周长为 .
7. 如图，F、G、D、E分别为AD、AE、AB、AC的中点，△AGF的周长是10，则△ABC的周长是_______.
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=6，求四边形DEFG的周长.
9.如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.
(1)求∠EDB的度数；
(2)求DE的长.
10. 如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点. 求证：四边形DFGE是平行四边形
能力提升
11. 如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，…依次类推，第2009个三角形的周长为………………………………………( )
A. B. C. D.
12.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是……………………………………（ ）
A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关
13.如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP是∠BAC的平分线，BP⊥AP于点P. 若AB=12，AC=22，则MP的长为………（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
14. 如图，□ABCD中，AD=8cm点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动(分别运动到点D，C即停止)，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H. 则在此运动过程中，线段GH 的长始终等于 .
15. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：EF和GH互相平分.
16. 已知△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，连结CE并延长交AB于点F，请你先用刻度尺量一下线段AF与BF，它们之间有什么数量关系 并说明理由.
创新应用
17. 已知：如图l，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG ⊥ CE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M，N.
(1)求证：FG=(AB+BC+AC).
(2)若①BD、CE分别是△ABC的内角平分线(如图2)；②BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系 请写出你的猜想(不用证明).
第1题
第3题
第4题
F
E
D
C
B
A
F
E
C
D
B
A
A
B
C
D
E
F
G
H
A
B
C
D
E
M平行四边形的性质(1)
【要点预行四边形的性质：
(1)平行四边形的两组对边 .
(2)夹在两条平行线间的 相等.
(3)夹在 间的垂线段相等.
【课前热身】
1. 在□ABCD中，若∠A：∠B=3：2，则∠D=________.
答案：72°
2. 在□ABCD中，若AB=3cm，AD=4cm，则它的周长为________cm.
答案：14
3. 已知□ABCD的周长为26，若AB=5，则BC=________.
答案：8
4. 已知□ABCD的周长是20，△ABC的周长为17，则对角线AC的长是_______.
答案：7
【讲练互动】
【例1】已知平行四边形的周长是68cm，相邻两边上的高分别为8cm和9cm，求这个平行四边形的面积.
【变式训练】
1. 已知平行四边形的面积是144cm2，相邻两边上的高分别为8cm和9cm，求这个平行四边形的周长.
【例2】如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F. 试判断AF与CE是否相等，并说明理由.
【变式训练】
2.如图，已知E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF. 求证：DF∥BE.
【同步测控】
基础自测
1如图，□ABCD的为16cm，AD＝5cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于………………………………………（ ）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
2. 如图所示，在□ABCD中，若∠A=45°，AD=，则AB与CD之间的距离为……………………………………………………（ ）
A. B. C. D. 3
3.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，□ABCD的周长为40. 则□ABCD的面积为……………………（ ）
A.24 B.36 C.40 D.48
4.已知直线a∥b，夹在a，b之间的一条线段AB的长为6，AB与直线a的夹角为150°，则夹在a，b之间的距离为_____ _.
5. 如图，在□ABCD中，BD是对角线，E、F是对角线上的两点，要使△BCF≌△DAE，还需添加一个条件（只需添加一个条件）是 .
6.已知，如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E. 求证：BE=CD.
7.将图甲中的□ABCD沿对角线AC剪开，再将△ADC沿着AC方向平移，得到图乙中的△A1D1C1. 连结AD1，BC1. 除△ABC与△C1D1A1外，你还可以在图中找出哪几对全等的三角形（不能另外添加辅助线和字母） 请选择其中的一对加以证明.
8.如图，E，F是□ABCD的对角线AC上的点，CE=AF. 请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明：
猜想：
能力提升
9.在□ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为………………………………………（ ）
A.2 B. C. D.15
10.国家级历史文化名城——金华，风光秀 丽，花木葱茏. 某广场上有一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花. 如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是………………………………………………………（ ）
A.红花、绿花种植面积一定相等 B.橙花、紫花种植面积一定相等
C.红花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等
11. 如图，P是面积为的正△ABC内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF= .
12. (02广西)已知，如图，在□ABCD中，AE＝CF，EF与BD交于点H，由图中可以得到许多结论，例如：AB=DC；∠A＝∠C；△ADB≌△CBD；S梯形ADFE＝S梯形BCFE；……等等，你一定还能从图中得出许多有趣的结论，请你写出一个你认为有价值的正确结论，并证明之.
13. 如图，在□ABCD中，EF∥BC，MN∥AB，且四边形AEPN，BEPM，CFPM的面积分别为6，4，8. 求□ABCD的面积.
创新应用
14.在中，，点P为所在平面内一点，过点P分别作交AB于点E，交BC于点D，交AC于点F.
若点P在BC边上（如图1），此时，可得结论：.
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在内（如图2），外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.
平行四边形的性质(2)
【要点预行四边形的性质：平行四边形的 互相平分.
【课前热身】
1. 在□ABCD中，AB=2cm，BC=5cm，则ABCD的周长为______cm.
答案：14
2. 如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO=4，BO=3，则CO=______，BD=________.
答案：4 6
3. 如图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB ≌△_______，△AOD≌△_______.
答案：COD COB
4. 如图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，若□ABCD的面积为12，则△AOB的面积为 .
答案：3
【讲练互动】
【例1】已知：如图，□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且BE//DF. 求证：BE=DF.
【变式训练】
1. 如图，□ABCD中，AC⊥AB，∠ABD=30°，AC与BD交于点O，AO＝1，求BC的长.
【例2】在一次数学探究活动中，小王用两条直线把□ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等.
(1)根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组.
(2)请你下图的平行四边形中画出满足小王分割方法的直线.
(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？
解：(1)无数；
(2)如图
（AC、BD为对角线） （E、F、G、H为各边中点） （E、F、G、H为各边三等分点）
(3) 这两条直线都经过平行四边形的相同的等分点，且都经过对角线的交点.
【变式训练】
2. 如图是一块蛋糕的形状. 表面是平行四边形，且内有一个平行四边形的孔. 你能切一刀将它分成大小相等的两块吗？请说出你的刀法，并画出示意图.
【同步测控】
基础自测
1. 平行四边形不一定具有的性质是………………………………………………………（ ）
A. 对角线互相平分 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对边相等
2. 如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有………………………………………………（ ）
A. 5对 B. 4对 C. 3对 D. 2对
3. 如第2题图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=6，BD=8，AB=4，则△COD的周长为……………………………………………………………………………（ ）
A. 18 B. 9 C. 11 D. 无法确定
4. 如第2题图，□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=6，BD=8，则边AB长的取值范围是……………………………………………………………………………………（ ）
A. 1＜AB＜7 B. 2＜AB＜14 C. 6＜AB＜8 D. 3＜AB＜4
5. 如第2题图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，若AO=2cm，△ABC的周长为13cm，则□ABCD的周长为_____ _cm.
6. 已知□ABCD的周长为40，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长小6，则AB=________，BC=_______.
7. 如图，O为□ABCD的对角线交点，E为AB的中点，DE交AC于点F，若S□ABCD＝12，则S△DOE的值为 .
8. 如图，已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O任作一直线分别交AD、CB的延长线于E、F，求证：OE＝OF.
9. 如图，已知∠AOB，OA=OB. 点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形. 请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(保留画图痕迹，不写画法)，并说明理由.
能力提升
10. (2007日照中考)如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
11.在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处. 如果AE过BC的中点，则□ABCD的面积等于……………………………（ ）
A.48 B. C. D.
12. (2007眉山中考)如图，ΔACD和ΔAEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°. 四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是………………………………………………………………( )
A.ΔACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与ΔADB重合
B.ΔACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与ΔDAC重合
C.沿AE所在直线折叠后，ΔACE与ΔADE重合
D.沿AD所在直线折叠后，ΔADB与ΔADE重台
13. □ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，那么图中有全等三角形 对.
如图，在□ABCD中，E在AD上，以BE为折痕把△ABE向上翻折，使点A落在CD上的点F. 若△DEF的周长为8，△FCB的周长为22，则FC= .
如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且∠EAF=45°，且AE+AF=，求□ABCD的周长.
分析：结合已知条件求得AB=AE，AD=AF间的关系，进而可得AB+AD=4，于是可求得□ABCD的周长.
创新应用
16. 已知点A(3，0)，B(-1，0)，C(0，2)，以A，B，C为顶点画平行四边形，求第四个顶点D的坐标.
分析：本题分三种情况讨论，即AB、AC、BC分别是对角线时的三种情况.
解：(1)当AB是对角线时，D(2，-2)；
(2) 当AC是对角线时，D(4，2)；
(3) 当BC是对角线时，D(-4，2).
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
D
D1
D2
A
A1
A2
A3
A4
B1
B2
C
C2
C1
C3
C4
B
图1
图2
图3中心对称
【要点预习】
1. 中心对称的概念：
如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做 ，这个点叫 .
如果一个图形绕着一个已知点旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，那么这两个图形关于该已知点成 .
2. 中心对称的性质：
对称中心平分连结两个 的线段.
【课前热身】
1.下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是…………（ ）
答案：D
2.下列分子结构模型的平面图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有………………………………………………………………………………………………（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：C
3. 等边三角形 (填“是”或“不是”)中心对称图形.
答案：不是
4. 请写出一个是中心对称图形的英文大写字母 .
答案：H I N O S X Z（写出其中一个即可）
【讲练互动】
【例1】下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是图中的…………（ ）
解析：从图案中看选项B和D是中心对称图形，从数字上看只有选项D是中心对称图形
答案：D
【绿色通道】判断是否中心对称图形的方法是将图形进行中心对称变换后，所得的像与原图形重合.
【变式训练】
1. 观察下列“风车”的平面图案：
其中是中心对称图形的有…………………………………………………………………（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
【例2】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点O是BC的中点，求作以点O为对称中心，与△ABC成中心对称的图形. （不写作法，保留痕迹）
解：如图△DCB就是
所求的图形.
【黑色陷阱】注意两个图形关于某一点成中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，前者是针对两个图形，如本例；后者是针对一个图形，如例1.
【变式训练】
2. 某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地(如图所示)上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和正方形组成(个数不限)，并且使整个长方形场地成中心对称图形，请画出你的设计方案.
答案：略
【例3】下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形，使所得的新图形分别为下列A，B，C题要求的图形，请画出示意图.
（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）既是中心对称图形，又是轴对称图形.
解：见下图的阴影部分（取其中一个阴影即可）：
【变式训练】
3.如图，在直角坐标系中，图形①与图形②关于点P成中心对称.
(1)画出对称中心P，并写出点P的坐标；
(2)将图形②向下平移4个单位，画出平移后的图形③，并判断图形③与图形①的位置关系. (直接写出结果)
解：(1)P(1，5)；
(2) 图形③略.
图形③与图形①关于点(1，3)成中心对称.
【同步测控】
基础自测
1. 下列命题中的真命题是…………………………………………………………………（ ）
A. 关于中心对称的两个图形全等 B. 全等的两个图形是中心对称图形
C. 中心对称图形都是轴对称图形 D. 轴对称图形都是中心对称图形
2. (哈尔滨中考)在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是…………（ ）
3. (盐城中考)已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是…………………………………………………………………………………………（ ）
4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是…………………（ ）
Ａ. 正六边形 Ｂ. 正五边形 Ｃ. 平行四边形 Ｄ. 等腰三角形
5.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB’的长为……………（ ）
A. 4 B. C. D.
6. 在英文字母“M”，“N”，“S”，“Z”，“W”中，是中心对称图形的有 个.
7.如图，BC为等腰三角形纸片ABC的底边，. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出不同的中心对称图形 个.
8. 下列图形是不是中心对称图形？若是，请指出对称中心；若不是，请说明理由
(1)线段；(2)等腰三角形；(3)平行四边形；(4)圆.
9. 如图，点O在△ABC内. 以O为对称中心，求作与△ABC成中心对称的图形.
解：如图，△DEF就是的图形.
能力提升
10.若一个图形绕着一个定点旋转一个角（）后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形. 例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°（如图），能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形. 显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形. 下面四个图形中，旋转对称图形个数有…………………………………………（ ）
Ａ. 1 Ｂ. 2 Ｃ. 3 Ｄ. 4
11. 在平面直角坐标系中，□ABCD的对称中心在原点O，且A（3，2），B（2，-1），请在下面的直角坐标系中画出这个平行四边形，并求点C，D的坐标.
12.如图（1）所示，是一块边长为2的正方形瓷砖，其中瓷砖的阴影部分是半径为1的扇形. 请你用这种瓷砖拼出两种不同的图案. 使拼成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，并把它们分别画在下面边长为4的正方形（2）（3）中（要求用圆规画图）.
13. 如图，点O是□ABCD的对称中心，过O任意作直线EF，分别交AD，BC于点E，F，请用平行四边形的中心对称性说明OE=OF.
创新应用
14.如图，在4× 3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）.
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
图1
图2
A．
B．
C．
D．
30°
A
C
B’
B
C’”””””
（2）
（3）
（1）4. 2 平行四边形
【要点预习】
1. 平行四边形的概念：
两组对边 的四边形叫做平行四边形.
2. 平行四边形的性质：
平行四边形的 相等.
【课前热身】
1. 在□ABCD中，若∠A=60°，则∠B= .
答案：120°
2. 在□ABCD中，若∠A+∠C=160°，则∠D= .
答案：100°
3. 在□ABCD中，∠A：∠B=2：3，则∠B=_____.
答案：108°
4. 可伸缩的栅栏门运用了平行四边形的性质： .
答案：不稳定性
【讲练互动】
【例1】如图，在□ABCD中，DB=CD，∠C=70°，AE⊥BD于点E，求∠DAE的度数.
【变式训练】
1. 如图所示，在□ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若∠A=55°，求∠EDF的度数.
【例2】如图，在□ABCD中，AE与CF分别平分∠BAD与∠DCB. 求证：四边形AECF是平行四边形.
分析：要证四边形AECF是平行四边形，根据定义只能证AF∥EC且AE∥FC，前者显然已知，为此只需证∠AEB=∠FCE，即需证它们都与∠DFC相等.
【变式训练】
2. 如图，在□ABCD中，点E与点F分别在BC与AD上，且∠BAE=∠DCF.
求证：四边形AECF是平行四边形.
【同步测控】
基础自测
1. 已知平行四边形相邻两角的度数比为2:3，则此四边形中较大的角为……………… ( )
A.72° B.90° C.108° D.126°
2.)如图1，在□ABCD中，E是AB延长线上的一点，若∠A=60°，则∠1的度数为………………………………………（ ）
A. 120° B.60° C.45° D.30°
3. 如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，则图中有 个平行四边形…………………………………………………（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
4.如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A=115°，则∠BCE= .
5. 在□ABCD中，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点O，则∠BOC的度数为 .
6. 如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，BE平分∠ABC，则DE= .
7. 在□ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC＝4，则□ABCD的面积等于_______.
8. 已知：∠α和线段a、b.
求作：□ABCD，使∠A=∠α，AB=a，AD=b
9.如图，已知□ABCD中，点E为BC边的中点，延长DE，AB相交于点F. 求证：CD=BF.
能力提升
10.如图，在□ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB=6，AD=4，则AE:EF:BE为………（ ）
A. 4:1:2 B. 4:1:3 C. 3:1:2 D. 5:1:2
11.如图，将一平行四边形纸片ABCD沿AE，EF折叠，使点E，B，C在同一直线上，则∠AEF= .
12. 如图，平行四边形纸条ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点. 张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF沿EF翻折得平行四边形A1B1FE，得到一个V字形图案.若∠A=63°，则∠B1FC= 度.
如图所示，在□ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AE∥CF，求证：∠AFC=∠AEC.
14. 已知：△ABC与□DEFG如图放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上. 已知BE=DE，CF=FG，求∠A的度数.
创新应用
15. 如图，点A，B，D分别是△EFC中EF，FC，EC边上的三点，若四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD=∠FAB.
(1)请找出图中所有的等腰三角形，并说明理由.
(2)若CF=5，求□ABCD的周长.
A
B
E
C
D
1
α
a
b
A
B
C
D
E
F平行四边形的判定(1)
【要点预习】
1. 平行四边形的判定定理1：一组对边 的四边形是平行四边形.
2. 平行四边形的判定定理2：两组对边 的四边形是平行四边形.
【课前热身】
1. 如图，已知AD∥BC，AB∥EF∥CD，E，F分别在AD，BC上，那么图中的平行四边形共有………………………………………( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：C
2. 第1题中是平行四边形的理由是 .
答案：两组对边平行的四边形是平行四边形
3. 在四边形ABCD中，已知AB∥CD，请补充条件__________________（写一个即可），使得四边形ABCD为平行四边形.
答案：AB=CD或AD∥BC
4. 四边形ABCD中，已知AB=CD=4，BC=6，则当AD= 时， 四边形ABCD为平行四边形.
答案：6
【讲练互动】
【例1】如图，已知□ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，求证：EF=BC.
【变式训练】
1. 如图，已知E，F分别是□ABCD的边AD，BC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF.
【例2】 如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF.
求证：四边形DAEF是平行四边形.
【变式训练】
2. 如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，CA边上的点，且BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，使点F位于AB的同侧. 求证：∠EFD＝∠EBD.
【同步测控】
基础自测
1..不能判定四边形是平行四边形的题设是…………………（ ）
A. AB∥CD，AB=CD B. AB=CD，AD=BC
C. AD=BC，∠A=∠C D. AB∥CD，∠B=∠D
2.如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是……………………………………………………………………（ ）
A. (-3，1) B.(4，1) C. (-2，1) D. (2，-1)
3. 如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其它线段有……………………（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4. 如图，已知AD=BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要添加的条件是_______. （只需填写一个）
5. 如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形).
6. 将两个全等的三边各不相等的三角形按不同的方式拼接成各种四边形，其中平行四边形有________个.
7. 如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，∠D=∠DCE. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
8. 只用一把刻度尺与圆规，作□ABCD，使AB=3cm，BC=4cm，∠B=45°.（不写作法，保留作图痕迹）
9.如图，点在一条直线上，AB=DE，. BE=CF.
求证：（1）；
（2）四边形ABED是平行四边形.
能力提升
10. 已知四边形ABCD，从下列条件中：(1)AB∥CD，(2)BC∥AD；(3)AB=CD；（4）BC=AD；(5)∠A=∠C；(6)∠B=∠D. 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有……………………………………………………………………………………（ ）
A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种
11. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/秒的速度由A向D运动，Q以2cm/秒的速度由C向B运动， 秒后四边形ABQP成为平行四边形.
12.在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（，0），C（1，0）三点坐标. 若点D与A，B，C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标 .
请作出如图的□ABCD关于AB所在直线的轴对称图形□ABC/D/，连结CC/，DD/，请判断四边形CC/DD/是不是平行四边形，并说明理由.
14.如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG.
求证：四边形GEHF是平行四边形.
创新应用
15. 如图，四边形ABCD为平行四边形，M、N分别从D到A、从B到C，速度相同，E、F分别从A到B、从C到D，速度相同. 他们之间用橡皮绳连紧.
（1）没有出发时，这两条橡皮绳有何关系？
（2）若同时出发，这两条橡皮绳还有（1）中的结论吗？为什么？
平行四边形的判定(2)
【要点预行四边形的判定定理3：对角线 的四边形是平行四边形.
【课前热身】
1. 已知：四边形ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、CD中点，则四边形BEDF为 ______________形.
答案：平行四边
2. 如图，AC、BD是相交的两条线段，O分别为它们的中点. 当BD绕点O旋转时，连接AB、BC、CD、DA所得到的四边形ABCD始终为 形.
答案：平行四边
3. 第2题的理由是 .
答案：对角线互相平分的四边形是平行四边形
【讲练互动】
【例1】四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是……………………………………………………………………………………（ ）
A. AD∥BC且AD=BC B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB=CD D. AD∥BC，AB=CD
【变式训练】
已知在四边形ABCD中，AD∥BC，请再添加一个条件，能使四边形ABCD成为平行四边形(写出三种条件). (1) ________ ；(2) _______ _；(3) __ ______.
【例2】已知：如图，E、F是□ABCD的对角线AC上的两点，并且AE＝CF.
求证：四边形DEBF是平行四边形.
【变式训练】
2. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE＝CF，BM＝DN.
求证：四边形EMFN为平行四边形.
【同步测控】
基础自测
1. 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是…………………………………………………………………………………………（ ）
A. AD∥BC且AD=BC B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB=CD D. AD∥BC，AB=CD
2. 如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是……………………( )
A. BE＝DF B. AF⊥BD，CE⊥BD
C. ∠BAE＝∠DCF D. AF＝CE
3. 如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，连结AF、CE与对角线BD分别交于点G、H，则图中与∠HED相等的角(不包括∠HED)共有……………………………………………………( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （任意添加一个符合题意的条件即可）.
如图，□ABCD和□AEFD，则四边形BCFE是________.
6. 将一张平行四边形的纸片对折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这条折痕必通过
7. 请用刻度尺与圆规作一个平行四边形，使得两条对角线与一条边各为3cm，5cm，3cm. （不写作法，保留痕迹）
8.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.
（1）求证：△BDE≌△CDF.
（2）请连结，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由.
9. 如图，已知AC∥DE且AC=DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，求证：四边形AGDF是平行四边形.
能力提升
10. 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为……………………( )
A. 2＜AD＜14 B. 1＜AD＜7 C. 6＜AD＜8 D. 12＜AD＜16
11. 在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则能通过旋转达到重合的三角形有……………………………………………………（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C 中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是
13. 如图，已知E，F分别为□ABCD边AD，AB上的两点，则图形中与△BEC的面积相等的三角形有 个.
14. 如图，AC是□ABCD的对角线.
（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：
①分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q；
②连结PQ，PQ分别与交于点.
求证：AE=CF.
创新应用
15.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA＝OC；②AB＝CD；③∠BAD＝∠DCB；④AD∥BC.
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明.
C
B
A
D
F
E
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ｂ
Ｆ
第2题
B
C
D
E
F
O
M
N
A第4章 平行四边形
【本章要点】
1. 探索并掌握四边形的内角和与外角和.
2. 了解多边形的概念，n边形的内角和与外角和.
3. 了解正多边形的概念，通过探索知道单独能镶嵌的正多边形只有3种，并能进行简单的镶嵌设计.
4. 掌握平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性.
5. 了解中心对称图形的概念；了解平行四边形是中心对称图形.
6. 探索并掌握平行四边形的性质.
7. 探索并掌握三角形中位线的性质.
8. 探索并掌握四边形是平行四边形的条件.
9. 进一步理解图形的平移，会运用平移变换的性质解决一些简单的图形问题；进一步认识平移在现实生活中的应用.
10. 结合具体的例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立.
多边形(1)
【要点预习】
1. 四边形的概念：
由不在同一直线上的四条线段 形成的图形叫做四边形.
2. 四边形的内角和定理：
四边形的内角和等于 .
3. 四边形的外角和定理：
四边形的外角和等于 .
【课前热身】
1. 如图，写出四边形ABCD的一个外角 .
答案：∠ABE
2. 在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=75°，∠D=108°，则∠C=__ _度.
答案：87
3. 在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，则∠D的外角为_______度.
答案：60
【讲练互动】
【例1】一个四边形的四个内角的度数之比为1：2：3：4，求此四边形的四个内角的度数.
解：∵四边形的四个内角的度数之比为1：2：3：4，且四边形的内角和为360°
设最小角的度数这x°，则x+2x+3x+4x=360，解得x=36.
∴四边形的四个内角分别为36°，72°，108°，144°.
【绿色通道】在求与四边形的内角、外角有关度数时，常利用方程来解，这体现了一种重要的数学思想——方程思想.
【变式训练】
1. 四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠D，且∠A：∠C=1：2. 求四边形ABCD四个内角的度数.
【例2】已知如图，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，求证：∠A＝∠C.
【变式训练】
2.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4.
求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)BO=DO.
【例3】如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE，BF分别平分∠ADC与∠CBA. 求证：DE∥BF.
分析：欲证DE∥BF，只需证∠DEA=∠FBA，由于∠DEA+∠ADE= 90°，故只需证∠FBA+∠ADE=90°，这就联想到四边形的内角和定理及题设中的角平分线的条件.
【变式训练】
3. 如图，在四边形ABCD中，∠A-∠C=∠D-∠B，求证：AD∥BC.
【同步测控】
基础自测
1. 已知四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D=70°，则∠C的度数为…………………（ ）
A. 70° B. 90° C. 110° D. 140°
2. 在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B比∠D大60°，则与∠B相邻的外角为……（ ）
A. 60° B. 80° C. 120° D. 130°
3. 如图所示，已知在四边形ABCD中，DA⊥AB，BC⊥AB，∠ADC与∠BCD的平分线交于点E，则∠DEC的度数为……………………………………………………………………( )
A. 70° B. 80° C.90° D.100°
4. 如图所示，一块钉板上水平方向和垂直方向相邻两钉的距离都是一个单位，用橡皮筋构成如图的一个四边形，那么这个四边形的面积为………………………………………（ ）
A. 2. 5 B. 5 C. 7. 5 D. 9
5.四边形的外角和为 .
6. 如图，四边形ABCD中，∠A=95°，∠D=100°，外角∠ABE=70°，则∠ABC=___ _ _°，∠C=____ _°.
7. 如图，把四张全等的四边形纸片可组成一幅镶嵌图，这样做的理由是 .
8.四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：4：1：5.
(1)求四边形ABCD的四个内角的度数.
(2)四边形ABCD中是否有互相平行的边？若有，请找出来，并说明理由.
9.已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A＝∠C. 求证：AD=CD.
能力提升
10.如图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是…………（ ）
A. 这两个四边形面积和周长都不相同
B. 这两个四边形面积和周长都相同
C. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长
D. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长
11. 如图所示，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=4，AD=4，则四边形ABCD的面积是…………………………………（ ）
A. 16 B. 16 C. 16 D. 24
12. 如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别为2、2、、2，且AB⊥BC，则∠BAD的度数等于________.
13. 在四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠ADC.
(1)求证：AB∥CD.
(2)若∠ADC-∠A=60°，过点D作DE∥BC交AB于点E. 请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由.
.
14.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.
如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD相交于点O.
(1)求证：①；②OB=OD，；
（2）如果AC=6，BD=4，求筝形ABCD的面积.
创新应用
15.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1，己知四边形ABCD中，AC平分，=60°，与互补，求证：.
小敏反复探索，不得其解. 她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.
(1)特殊情况入手
添加条件：“”，如图2，可证. （请你完成此证明）
(2)解决原来问题
受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F. （请你补全证明）
.
多边形(2)
【要点预习】
1. 多边形的内角和公式：n边形的内角和为 .
2. 多边形的外角和性质：任何多边形的外角和为 .
【课前热身】
1.五边形的内角和为 .
答案：540°
2. 过n(n＞3)边形其中一个顶点的所有对角线可以把n边形分成 个三角形.
答案：n-2
3. 过五边形的任一顶点可作 条对角线.
答案：2
4. 十五边形的外角和是 度.
答案：360°
【讲练互动】
【例1】一个多边形的每个外角都是18°，求这个多边形的内角和.
【变式训练】
1.一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是…………………………（ ）
A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形
【例2】如图，在六边形ABCDEF中，∠C=∠F，∠A=∠D，BC∥EF.
(1)求证：AF∥CD；(2)求∠A+∠B+∠C的度数.
【变式训练】
2. 如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=∠B=∠BCD=∠D=∠E，AB=BC=AE=DE. 求证：(1)AC∥DE；(2)CD=DE.
【同步测控】
基础自测
1.六边形的内角和等于……………………………………………………（ ）
A.180° B.360° C.540° D.720°
2. 已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这多边形是……………………………（ ）
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
3. 过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形边数是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
4.在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2＝ 度.
5.若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是_____.
6. 如图所示，画出五边形ABCDE的所有对角线.
7. 已知一个多边形的内角和是1440°.
(1)求这个多边形的边数；
(2)从这个多边形的某个顶点出发，最多可以画多少条对角线？
能力提升
8.一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为……………………………………………………………（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
9. 将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形的内角和为……………… ( )
A. 180°或360° B. 180°或540° C. 360°或540° D. 180°或360°或540°
10. n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比(n+1)边形的内角和小__________度.
多边形（3）
【要点预习】
1. 正多边形的概念：
相等，各内角也 的多边形叫做正多边形.
2. 正多边形的镶嵌：
单独能镶嵌平面的正多边形只有 种，即 、 、 .
【课前热身】
1.只用下列图形不能镶嵌的是…………………………………………（ ）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
答案：C
2.若一个正n边形的每个内角都等于120°，则n= .
答案：6
3. 若一个正多边形的每个外角都等于45°，则正多边形的边数是 .
答案：8
【讲练互动】
【例1】如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了多少m
解：当小亮第一次回到A点时，他的行程路线正好是一个正多边形. 由该多边形的外角都等于15°可得，该多边形正好是一个边形，因此他一共走了24×10=240m.
【变式训练】
1.科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为…………………………………………………………………（ ）
A.6米 B.8米 C.12米 D.不能确定
【例2】用三块正多边形的瓷砖铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合. 现知道其中两块瓷砖的边数分别是4和5，你能求出第三块瓷砖是正几边形吗？
解：第三块正多边形的内角为360°=162°.
设第三块瓷砖是正n边形，则162n=180(n-2)，解得n=20.
【变式训练】
2. 用正方形，再选一种正多边形设计一副镶嵌图，有哪几种选法？要求说明数学原理，并画出示意图.
解：选用正八边形与正方形镶嵌. 这是因为正八形的内角是135°，正方形的内角是90°，由于135°×2+90°＝360°，所以两个正八边形和一个正方形能组成一副镶嵌图，如图.
【同步测控】
基础自测
1.分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有………………………（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④都可以
2. (2007肇庆中考)如果正n边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么n的值是………（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3.如图，若正六边形ABCDEF绕着中心O旋转角得到的图形与原来的图形重合，则最小值为……………………（ ）
A. 180° B. 120° C. 90° D. 60°
4.根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第个图中平行四边形的个数是…………………………（ ）
A.3n B. 3n(n+1) C.6n D.6n(n+1)
5.用正三角形作平面镶嵌，同一顶点周围，正三角形的个数为 个.
6. (2008威海市)如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，则∠CAD的度数是 °.
7. 已知一个正多边形的每个内角都是156°，求这个多边形的边数.
8.在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形. 将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是…………………………………………………………………………………………（ ）
A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④
第7题
第6题
第3题
第4题
Ⅰ
Ⅱ
1
2
50°
15°
15°
开始
机器人站在点A处
向前走1米向左转30°
机器人回到点A处
结束
是
否
……
（1）
（2）
（3）
