八年级数学下册试题 2.4 一元二次方程根与系数的关系-浙教版（含答案）

2.4 一元二次方程根与系数的关系
一．选择题
1．以﹣3和5为根的一元二次方程的是（　　）
A．x2+2x﹣15＝0 B．（x+3）（x﹣5）＝4
C．x2﹣2x+15＝0 D．（x+3）（x﹣5）＝0
2．设x1，x2是一元二次方程2x2+6x﹣1＝0的两个根，则x1+x2的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6
3．已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则另一根为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
4．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则+＝（　　）
A． B．1 C． D．
5．若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（　　）
A．10 B．9 C．7 D．5
6．设a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则代数式+的值为（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
7．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两个根符号也相同
B．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
D．如果2是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
8．已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2016＝0的两实数根，则x13+2017x2﹣2016的值是（　　）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
二．填空题
10．写出一个根为1和3的一元二次方程：　 　．
11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是，则m的值为　 　，另一个根为　 　．
12．已知一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值是　 　．
13．已知一元二次方程2x2+bx+c＝0的两个根为x1＝1和x2＝2，则b＝　 　c＝　 　．
14．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是　 　．
15．若α，β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为　 　．
16．设方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝3，则m＝　 　．
三．解答题
17．关于x的一元二次方程kx2+2（k﹣2）x+k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
18．已知一元二次方程2x2﹣4x+1＝0．
（1）解这个方程．
（2）设x1和x2是该方程的两个根，且x1＞x2，求2x1﹣2x2的值．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0．
（1）证明：无论k取任何实数，方程总有实数根．
（2）若，求k的值．
（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
20．阅读材料：已知方程a2﹣2a﹣1＝0，1﹣2b﹣b2＝0且ab≠1，求的值．
解：由a2﹣2a﹣1＝0及1﹣2b﹣b2＝0，
可知a≠0，b≠0，
又∵ab≠1，∴．
1﹣2b﹣b2＝0可变形为
（）2﹣2（）﹣1＝0，
根据a2﹣2a﹣1＝0和（）2﹣2（）﹣1＝0的特征．
∴a、是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则a＝2，即＝2．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0且mn≠1，求的值．
21．如果方程x2+bx+c＝0的两个根为p，q，则p+q＝﹣b，pq＝c，根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知a，b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0．求的值？
（2）已知关于x的方程x2+mx+n＝0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．
22．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2＝0的两个实数根．
（1）当m＝0时，求方程的根；
（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）＝41，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
答案
一．选择题
D．B．D．B．C．B．B．D．C．
二．填空题
10．（x﹣1）（x﹣3）＝0（答案不唯一）．
11．1，1．
12．﹣6．
13．﹣6；4．
14．﹣2或﹣．
15．12．
16．．
三．解答题
17．解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2+2（k﹣2）x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＜1且k≠0，
∴k的取值范围是k＜1且k≠0．
（2）不存在符合条件的实数k，理由如下：
设方程kx2+2（k﹣2）x+k＝0的两根分别为x1、x2，
由根与系数关系得：x1+x2＝﹣．
∵x1、x2互为相反数，
∴x1+x2＝0，即＝0，
∴k＝2．
又∵k＜1且k≠0，
∴k＝2舍去，
∴不存在符合条件的k值．
18．解：（1）x2﹣2x+＝0，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴，；
（2）由根与系数的关系得，x1+x2＝2，，
2x1﹣2x2＝2（x1﹣x2）＝2＝2．
19．解：（1）∵△＝（8+k）2﹣4×8k
＝（k﹣8）2，
∵（k﹣8）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）∵x1+x2＝8+k，x1 x2＝8k，，
（x1+x2）2＝x+x+2x1 x2，
∴（8+k）2＝68+16k，
解得：k＝±2；
（3）解方程x2﹣（8+k）x+8k＝0得x1＝k，x2＝8，
①当腰长为5时，则k＝5，
∵5+5＞8，
周长＝8+5+5＝18；
②当底边为5时，
∴k＝8，
∵5+8＞8，
∴周长＝5+8+8＝21．
20．
解：由3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0且mn≠1，可知m≠0，m≠0，
又∵mn≠1，
∴m≠．
2n2+7n﹣3＝0可变形为
3（）2﹣7（）﹣2＝0，
根据3m2﹣7m﹣2＝0和3（）2﹣7（）﹣2＝0的特征．
∴m、是方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得m+＝，＝﹣，
∴＝．
∴＝，
∴＝．
21．解：（1）从a，b满足的同一种关系可知：
①当a≠b时，a、b是一元二次方程x2﹣15x﹣5＝0的两根，
以a+b＝15，ab＝﹣5，
＝＝＝＝﹣47．
②当a＝b时，＝1+1＝2．
故的值为﹣47或2；
（2）设x2+mx+n＝0（n≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣m，xlx2＝n，
则所求新方程的两根为，．
∵+＝＝﹣，
×＝＝．
所以所求的方程为y2+y+＝0，
即ny2+my+1＝0．
22．解：（1）当m＝0时，方程即为x2﹣4x＝0，
解得x1＝0，x2＝4；
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2（m+2），x1x2＝m2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝m2﹣4（m+2）+4＝m2﹣4m﹣4＝41，
∴m2﹣4m﹣45＝0，
解得m1＝9，m2＝﹣5．
当m1＝9时，方程为x2﹣22x+81＝0，△＝（﹣22）2﹣4×81＝160＞0，符合题意；
当m1＝﹣5时，方程为x2+6x+25＝0，△＝62﹣4×25＝﹣64＜0，不符合题意；
故m的值为9；
（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝4（m+2）2﹣4m2＝0，
解得：m＝﹣1，
∴方程变为x2﹣2x+1＝0，
解得：x1＝x2＝1，
∵1+1＜9，
∴不能构成三角形；
②当9为腰时，设x1＝9，
代入方程得：81﹣18（m+2）+m2＝0，
解得：m＝15或3，
当m＝15时方程变为x2﹣34x+225＝0，
解得：x＝9或25，
∵9+9＜25，不能组成三角形；
当m＝3时方程变为x2﹣10x+9＝0，
解得：x＝1或9，
此时三角形的周长为9+9+1＝19．