八年级数学下册试题 3.3 方差与标准差算-浙教版（含答案）

3.3 方差与标准差算
一．选择题
1．某次射击选拔赛中，甲、乙两人各射击5次，平均成绩均为7环，两人射击成绩的方差分别为S2甲＝2环2，S2乙＝3.6环2，则这两组射击成绩中（　　）
A．甲的射击成绩波动比较小
B．乙的射击成绩波动比较小
C．甲、乙两人的射击成绩波动一样小
D．甲、乙两人的射击成绩的波动大小无法比较
2．甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.27m．方差分别是S甲2＝0.60，S乙2＝0.62，S丙2＝0.57，S丁2＝0.49，则这四名同学跳高成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（　　）
A．平均数是4 B．众数是3 C．中位数是5 D．方差是3.2
4．为了在甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省射击比赛，对他们的射击水平进行考核．在相同的情况下，两人的比赛成绩经统计算后如表：
运动员 射击次数 中位数（环） 方差 平均数（环）
甲 15 7 1.6 8
乙 15 8 0.7 8
某同学根据表格分析得出如下结论：①甲、乙两名运动员成绩的平均水平相同；②乙运动员优秀的次数多于甲运动员（环数≥8环为优秀）；③甲运动员成绩的波动比乙大．上述结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
5．已知一组数据x1，x2，x3，把每个数据都减去2，得到一组新数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，对比这两组数据的统计量不变的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
6．小欣同学对数据36，3■，58，40，62进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染看不到了，则分析结果与被污染数字无关的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
7．某校田径队六名运动员进行了100米跑的测试，他们的成绩各不相同．在统计时，将第五名选手的成绩多写0.1秒，则计算结果不受影响的是（　　）
A．平均数 B．方差 C．标准差 D．中位数
8．已知数据x1，x2，…，xn的平均数是2，方差是0.1，则4x1﹣2，4x2﹣2，…，4xn﹣2的平均数和标准差分别为（　　）
A．2，1.6 B．2， C．6，0.4 D．6，
9．有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（　　）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
10．一组数据7，2，5，4，2的方差为a，若再增加一个数据4，这6个数据的方差为b，则a与b的大小关系是（　　）
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．以上都有可能
二．填空题
11．已知一组数据的方差是4，则这组数据的标准差是　 　．
12．一组数据：3，4，3，2，3，这组数据的方差是　 　．
13．某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的棵数如下：10，10，x，8．若这组数据的的众数和平均数相等，则x＝　 　，这组数据的方差是　 　．
14．已知一组正数x1，x2，x3，x4，x5的方差为：S2＝（x12+x22+x32+x42+x52﹣20），则关于数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2，x5+2的四个说法：①方差为S2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S2．其中正确的说法是　 　．
15．某人5次上班所用时间（单位：分钟）分别为a，b，8，9，10．已知这组数据的平均数为9，方差为2，则|a﹣b|的值为　 　．
16．一次有100人参加的知识竞赛笔试，获奖率为50%，小苏的笔试成绩为78分．为了获奖，小苏最想了解的是这次考试成绩的　 　．（在平均数、中位数、众数和方差中选一个）
三．解答题
17．已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是，方差是S2，设另一组数据x′1＝ax1+b，x′2＝ax2+b，x′3＝ax3+b，…，x′n＝axn+b的平均数是′，方差是S′2．请说明以下等式成立的理由：
（1）′＝a+b；（2）S′2＝a2S2．
18．某校举行了主题为“新冠肺炎防护”的知识竞赛活动，对八年级的两班学生进行了预选，其中各班前5名学生的成绩（百分制，单位：分）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：
班级 平均分 中位数 众数 方差
八（1） 85 b c 22.8
八（2） a 85 85 d
（1）直接写出表中a，b，c，d的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　．
（2）根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．
19．某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（1）请将下表补充完整：（参考公式：方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）
平均数 方差 中位数
甲 7 　 　 7
乙 　 　 5.4 　 　
（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看，　 　的成绩好些；
②从平均数和中位数相结合看，　 　的成绩好些；
③若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．
20．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙的平均成绩．
（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．
21．某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68分 a 376 90% 30%
乙组 b c 196 80% 20%
（1）以上成绩统计分析表中a＝　 　分，b＝　 　分，c＝　 　分
（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由
（3）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由
22．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，各选10名选手参赛，各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如表：
输入汉字个数（个） 132 133 134 135 136 137
甲班人数（人） 1 0 2 4 1 2
乙班人数（人） 0 1 4 1 2 2
请分别判断下列同学是说法是否正确，并说明理由．
（1）两个班级输入汉字个数的平均数相同；
（2）两个班学生输入汉字的中位数相同众数也相同；
（3）甲班学生比乙班学生的成绩稳定．
23．某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）根据图示填写下表：
班级 中位数（分） 众数（分）
九（1） 85
九（2） 100
（2）通过计算得知九（2）班的平均成绩为85分，请计算九（1）班的平均成绩．
（3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好．
（4）已知九（1）班复赛成绩的方差是70，请计算九（2）班的复赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩比较稳定？
答案
一．选择题
A．D．C．A．B．C．D．D．A．A．
二．填空题
11．2．
12．．
13．12，2．
14．①③．
15．4．
16．中位数．
三．解答题
17．解：（1）＝（x′1+x′2+…+x′n），
＝[（ax1+b）+（ax2+b）+…+（axn+b）]，
＝[a（x1+x2+…+xn）+nb]，
＝．
（2）S′2＝[（x′1﹣）2+（x′2﹣）2+…+（x′n﹣）2]，
＝[（ax1+b﹣a﹣b）2+（ax2+b﹣a﹣b）2+…+（axn+b﹣a﹣b）2]，
＝[a2（x1﹣）2+a2（x2﹣）2+…+a2（xn﹣）2]，
＝a2S2．
18．解：（1）八（2）班的平均分a＝（79+85+92+85+89）÷5＝86，
八（2）班的方差d＝[（79﹣86）2+（85﹣86）2+（92﹣86）2+（85﹣86）2+（89﹣86）2]÷5＝19.2．
将八（1）班的前5名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：77，85，85，86，92，第三个数是85，所以中位数b＝85，
85出现了2次，次数最多，所以众数c＝85．
故答案为86，85，85，19.2；
（2）由数据可知，两班成绩中位数，众数相同，而八（2）班平均成绩更高，且方差更小，成绩更稳定，
∴八（2）班前5名同学的成绩较好．
19．解：（1）甲的方差[（9﹣7）2+（5﹣7）2+4×（7﹣7）2+2×（8﹣7）2+2×（6﹣7）2]＝1.2，
乙的平均数：（2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）÷10＝7，
乙的中位数：（7+8）÷2＝7.5，
填表如下：
平均数 方差 中位数
甲 7 1.2 7
乙 7 5.4 7.5
（2）①从平均数和方差相结合看，甲的成绩好些；
②从平均数和中位数相结合看，乙的成绩好些；
③选乙参加．
理由：综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，更具有培养价值，应选乙．
故答案为：（1）1.2，7，7.5；（2）①甲；②乙．
20．解：（1）甲的平均成绩是：（10+8+9+8+10+9）÷6＝9，
乙的平均成绩是：（10+7+10+10+9+8）÷6＝9；
（2）甲的方差＝[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]＝．
乙的方差＝[（10﹣9）2+（7﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2+（8﹣9）2]＝．
（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
21．解：（1）甲组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是60，因此中位数是60，即a＝60，
（50+60×3+70×4+80+90）÷10＝68分，即b＝68，
乙组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是70，因此中位数是70，即c＝70，
故答案为：60，68，70．
（2）小亮得了70分，在小组中属中游略偏上，说明中位数小于70，因此在甲组，
（3）选择甲组，虽然甲组的方差大，数据不稳定，但是甲组的合格率、优秀率都高于乙组，并且有考满分的同学，很有可能获得个人第一名．
22．解：（1）∵甲的平均数为：（132+134×2+135×4+136+137×2）÷10＝135（个），
乙的平均数为：（133+134×4+135+136×2+137×2）÷10＝135（个），
∴两个班级输入汉字个数的平均数相同，故说法（1）正确；
（2）∵甲的中位数是135个，众数是135个，
乙的中位数是134.5个，众数是134个，
∴两个班学生输入汉字的中位数不相同，众数也不相同，故说法（2）错误；
（3）∵甲的方差为：[（132﹣135）2+2×（134﹣135）2+4×（135﹣135）2+（136﹣135）2+2×（137﹣135）2]＝2，
乙的方差为为：[（133﹣135）2+4×（134﹣135）2+（135﹣135）2+2×（136﹣135）2+2×（137﹣135）2]＝1.8，
∴乙班学生比甲班学生的成绩稳定，故说法（3）错误．
23．解：（1）填表：
班级 中位数（分） 众数（分）
九（1） 85 85
九（2） 80 100
（2）＝85
答：九（1）班的平均成绩为85分
（3）九（1）班成绩好些
因为两个班级的平均数都相同，九（1）班的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的九（1）班成绩好．
（4）S21班＝[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
S22班＝[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160，
因为160＞70所以九（1）班成绩稳定．