6.2 反比例函数的图象与性质
一.选择题
1.对于反比例函数y=,下列说法不正确的是( )
A.这个函数的图象分布在第一、三象限
B.这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C.点(1,4)在这个函数图象上
D.当x>0时,y随x的增大而增大
2.已知点A(1,﹣3)关于y轴的对称点A′在反比例函数y=的图象上,则实数k的值为( )
A.3 B. C.﹣3 D.﹣
3.如果反比例函数y=(a是常数)的图象在第二、四象限,那么a的取值范围是( )
A.a>2 B.a<2 C.a>0 D.a<0
4.如图,A是反比例函数图象上第二象限内的一点,若△ABO的面积为2,则k的值为( )
A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4
5.已知点A(﹣1,y1)、B(﹣2,y2)、C(3,y3)都在反比例函数y=的图象上,则y1、y2、y3的关系是( )
A.y2>y1>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
6.若点A(x1,3)、B(x2,﹣2)、C(x3,﹣1)在反比例函数y=的图象上,且x1、x2、x3的大小关系是x1<x2<x3,则k的范围是( )
A.k<4 B.k>4 C.k≤4 D.k≥4
7.关于反比例函数y=,下列说法中错误的是( )
A.它的图象分布在一、三象限
B.当x>﹣1时,y<﹣3
C.当x>0时,y的值随x的增大而减小
D.若点(a,b)在它的图象上,则(b,a)也在图象上
8.在同一直角坐标系中反比例函数y=与一次函数y=x+a(a≠0)的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9.如图所示为反比例函数的部分图象,AB⊥OA,AB交反比例函数的图象于点D,且AD:BD=1:3,若S△AOB=8,则k的值为( )
A.4 B.﹣4 C.2 D.﹣2
10.如图,两个反比例函数y=和y=(其中k1>k2>0)在第一象限内的图象依次是C1和C2,设点P在C1上,PC⊥x轴于点C,交C2于点A,PD⊥y轴于点D,交C2于点B,下列说法正确的是( )
①△ODB与△OCA的面积相等;
②四边形PAOB的面积始终等于矩形OCPD面积的一半,且为k1﹣k2;
③PA与PB始终相等;
④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点
A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④
二.填空题
11.若点P(n,1),Q(n+6,3)在反比例函数图象上,请写出反比例函数的解析式 .
12.反比例函数,当x>0时,y随x的增大而减小,写出一个m的可能值 .
13.已知函数y=(m﹣2)是反比例函数,且当x<0时,y随x的增大而减小,则m的值是 .
14.如图,在反比例函数y1=和y2=,B的图象上取A、B两点,已知AB∥x轴,△AOB的面积为7,则k= .
15.如图,A、B是函数y=的图象上的点,且A、B关于原点O对称,AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,则四边形ACBD的面积为S= .
16.如图,点A是反比例函数y=图象上一点,过点A作AB⊥y轴于点B,点C、D在x轴上,且BC∥AD,四边形ABCD的面积为4,则k= .
三.解答题
17.已知y是x的反比例函数,且当x=4时,y=﹣1,
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)求当﹣3≤x≤﹣时,y的取值范围;
(3)求当x>1时,y的取值范围.
18.如图,点A在某反比例函数的图象上,点A的横坐标为a(a>0),AC⊥y轴于点C,且△AOC的面积为2.
(1)求该反比例函数的表达式.
(2)若P(﹣a,y1),Q(﹣2a,y2)两点都在该反比例函数的图象上,试比较y1与y2的大小.
19.如图是反比例函数y=的图象,当﹣4≤x≤﹣1时,﹣4≤y≤﹣1.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若M、N分别在反比例函数图象的两个分支上,请直接写出线段MN长度的最小值.
20.已知反比例函数y=.
(1)若点(﹣t+,﹣2)在此反比例函数图象上,求t的值.
(2)若点(x1,y1)和(x2,y2)是此反比例函数图象上的任意两点,
①当x1>0,x2>0,且x1=x2+2时,求的值;
②当x1>x2时,试比较y1,y2的大小.
21.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y=(k≠0)图象上的两点.
(1)若点A,B关于原点中心对称,求5x1y2﹣7x2y1的值;(用含k的代数式表示)
(2)设x1=a﹣1,x2=a+1,若y1<y2,求a的取值范围.
22.已知反比例函数y=(m为常数,且m≠3)
(1)若在其图象的每一个分支上,y随x增大而减小,求m的取值范围;
(2)若点A(2,)在该反比例函数的图象上;
①求m的值;
②当x<﹣1时,请写出y的取值范围.
23.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,2)在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在OA的延长线上,BC⊥x轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若S△ACD=,设点C的坐标为(a,0),
①求点D的坐标;
②求线段BD的长.
答案
一.选择题
D.A.B.A.D.A.B.C.B.B.
二.填空题
11.y=﹣.
12.4.
13.3.
14.20.
15.2.
16.﹣4.
三.解答题
17.解:(1)设反比例函数的解析式为y=,
∵当x=4,y=﹣1,
∴k=﹣1×4=﹣4,
∴反比例函数的解析式为y=﹣;
(2)当x=﹣3时,y=,当x=﹣时,y=8,
∴当﹣3≤x≤﹣时,y的取值范围是≤y≤8;
(3)当x=1时,y=﹣4,
∵k=﹣4,在每一象限内y随着x的增大而增大,
∴当x>1时,y的取值范围是﹣4<y<0.
18.解:(1)设该反比例函数的表达式 y=,
∵该反比例函数的图象落在第一、三象限内,
∴k>0,
∵AC⊥y轴于点C,且△AOC的面积为2,
∴S△AOC=|k|=2
∴k=4,
则反比例函数的表达式为y=;
(2)∵k=4>0,
∴函数y在各自象限内随x的增大而减小;
∵a>0,
∴﹣2a<﹣a;
∴y1<y2.
19.解:(1)∵在反比例函数的图象中,当﹣4≤x≤﹣1时,﹣4≤y≤﹣1,
∴反比例函数经过坐标(﹣4,﹣1),
∴﹣4=,
∴k=4,
∴反比例函数的解析式为y=;
(2)当M,N为一,三象限角平分线与反比例函数图象的交点时,线段MN最短.
将y=x代入y=,
解得或,
即M(2,2),N(﹣2,﹣2).
∴OM=2.
则MN=4.
∴线段MN的最小值为4.
20.解:(1)把点(﹣t+,﹣2)代入y=﹣得(﹣t+)×(﹣2)=﹣4,
解得t=;
(2)∵点(x1,y1)和(x2,y2)是反比例函数y=﹣图象上的两点,
∴y1=﹣,y2=﹣,
∴=﹣=﹣+=﹣(x1﹣x2)
∵x1=x2+2,
∴=﹣×2=﹣;
(3)当x1>x2>0或0>x1>x2,则y1>y2;
当x1>0>x2时,y1<y2.
21.解:(1)∵点A,B关于原点中心对称,
∴x1=﹣x2,y1=﹣y2,
∴5x1y2﹣7x2y1=5(﹣x2) y2﹣7x2(﹣y2)
=2x2y2,
∵B(x2,y2)在反比例函数y=(k≠0)图象上,
∴x2y2=k,
∴5x1y2﹣7x2y1=2k;
(2)当k>0时,
∵x1=a﹣1,x2=a+1,y1<y2,
∴a﹣1<0<a+1,解得﹣1<a<1;
当k<0时,
∵x1=a﹣1,x2=a+1,y1<y2,
∴a+1<0或a﹣1>0,解得a<﹣1或a>1,
综上所述,k>0时,﹣1<a<1;k<0时,a<﹣1或a>1.
22.解:(1)由题意可得m﹣3>0,解得m>3;
(2)①把A(2,)代入y=中,得到m﹣3=3,解得m=6;
②由①可得y=,当x<﹣1时,<﹣1,解得﹣3<y<0.
23.解:(1)∵点A(3,2)在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴k=3×2=6,
∴反比例函数y=;
答:反比例函数的关系式为:y=;
(2)①过点A作AE⊥OC,垂足为E,连接AC,
设直线OA的关系式为y=kx,将A(3,2)代入得,k=,
∴直线OA的关系式为y=x,
∵点C(a,0),把x=a代入y=x,得:y=a,把x=a代入y=,得:y=,
∴B(a,),即BC═a,
∴D(a,),即CD=,
∵S△ACD=,
∴CD EC=,即××(a﹣3)=,解得:a=6,
∴D(6,1);
②BD=BC﹣CD=a﹣=3;
答:线段BD的长为3.