八年级数学下册试题 5.3正方形同步练习-浙教版（含答案）

5.3正方形
一、单选题
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
2．如图，将5个大小相同的正方形置于直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为（3，9），（12，9），则顶点P的坐标为（　　）
A．（13，7） B．（14，6） C．（15，5） D．（15，3）
3．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（　　）
A．4 B．8 C． D．
4．下列说法不正确的是（　　）
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．四条边都相等的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
5．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（6，4）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）
A．（2，12） B．（﹣2，0）
C．（2，12）或（﹣2，0） D．（12，2）或（﹣2，0）
6．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③仅有当∠DAP＝45°或67.5°时，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤PD＝EC．其中有正确有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，EH与CF交于点O．则HE的长为（　　）
A．2 B． C．2 D．或2
8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCD
C．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
9．如图，E为正方形ABCD边CD上一点，连接BE，AC．若EC＝1，2∠ABE＝3∠ACB，则AB＝（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD（四边相等、四内角相等）中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝4，BE＝DF＝3，则EF的平方为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
二、填空题
11．在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，EF⊥BD于点F，则EF的长度　 　．
12．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点，过E作EF⊥BC于F，作EG⊥CD于G，若正方形ABCD的周长为24cm，FG＝5cm，则四边形EFCG的面积为　 　．
13．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，BE和DG相交于点H，连接HC，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2，其中正确结论是　 　．
14．如图，已知正方形ABOC的顶点B（2，1），则顶点C的坐标为　 　．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E、F分别在CD、AD上，CE＝DF，BE，CF相交于G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　．
16．如图，正方形的边长为4，点E，F分别在AB和AD上，CE＝CF＝5，则△CEF的面积为　 　，点E到CF的距离为　 　．
17．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF分别交AB，BC于E，F两点，AE＝4，CF＝2，则EF的长为　 　．
18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是CD、BC的中点，AE与DF交于点P，连接CP，则CP＝　 　．
19．如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP＝30°时，则EF的长度为2．其中结论正确的有　 　．
20．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，点F在边DE上，EF＝DF，CE＝7，△CEF的周长为32，则OF的长度为　 　．
21．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为6，则正方形ABCD的边长为　 　．
三、解答题
22．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）直接写出GF与GC的数量关系：　 　；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
23．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．
24．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形．
注：（2）、（3）小题直接填写条件，不需要写出理由．
25．如图，长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（2a+2，0）、（0，2a﹣2）（a＞2），正方形ADEF的顶点D在边AB上，且点F的坐标为（2a+4，0）．
（1）长方形OABC的面积为　 　；（用含a的式子表示）
（2）正方形ADEF的边长为　 　；
（3）求阴影部分的面积．（用含a的式子表示）
26．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC中点，CE，DF交于M，CE与DA的延长线相交于点P，求证：
（1）△EBC≌△FCD；
（2）CP⊥DF；
（3）AM＝AD，
27．已知：正方形ABCD的两条对角线相交于点O，E是线段OC上的一动点，过点A作AG⊥BE交G，交BD于F．
（1）若动点E在线段OC上（不含端点），如图（1），求证：OF＝OE；
（2）若动点E在线段OC的延长线上，如图（2），试判断△OEF的形状，并说明理由．
答案
一、单选题
C．D．C．C．C．D．C．D．B．A．
二、填空题
11．．
12．5.5cm2．
13．①②③．
14．（﹣1，2）．
15．6+2．
16．；．
17．2；
18．．
19．①②③．
20．．
21．3．
三、解答题
22．证明：（1）如图1，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠DFG＝90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴GF＝GC；
（2）BH＝AE，理由是：
证法一：如图，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，
∵AD＝AB，
∴DM＝BE，
由（1）知：∠ADE＝∠EDF，∠FDG＝∠GDC，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠EDF+∠FDG+∠GDC＝90°，
∴2∠EDF+2∠FDG＝90°，
∴∠EDF+∠FDG＝45°，
即∠EDG＝45°，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH＝90°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠ADE＝90°，DE＝EH，
∴∠ADE＝∠BEH，
在△DME和△EBH中，
，
∴△DME≌△EBH（SAS），
∴EM＝BH，
Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，
∴EM＝AE，
∴BH＝AE；
证法二：如图，过点H作HN⊥AB于N，
∴∠ENH＝90°，
由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，
在△DAE和△ENH中，
，
∴△DAE≌△ENH（AAS），
∴AE＝HN，AD＝EN，
∵AD＝AB，
∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，
∴AE＝BN＝HN，
∴△BNH是等腰直角三角形，
∴BH＝HN＝AE．
23．证明：如图，作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
24．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
又∵AF∥DC，
∴四边形ADCF为平行四边形；
（2）当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵∠BAC＝90°，AD是BC边的中线，
∴AD＝BC＝DC，
由（1）知四边形ADCF为平行四边形，
∴当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，四边形ADCF是菱形；
（3）当△ABC满足AB＝AC且∠BAC＝90°条件时，四边形ADCF是正方形，
理由：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
由（2）知当△ABC满足∠BAC＝90°条件时，四边形ADCF是菱形，
∴当△ABC满足AB＝AC且∠BAC＝90°条件时，四边形ADCF是正方形．
25．解：（1）∵长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（2a+2，0）、（0，2a﹣2）（a＞2），
∴OA＝2a+2，OC＝2a﹣2，
长方形OABC的面积＝OA OC＝（2a+2）（2a﹣2）＝4a2﹣4，
故答案为：4a2﹣4；
（2）∵A的坐标为（2a+2），点F的坐标为（2a+4，0），
∴AF＝OF﹣OA＝2a+4﹣（2a+2）＝2，
故答案为：2；
（3）解：S＝S长方形OABC+S正方形ADEF﹣S△COF
＝（2a+2）（2a﹣2）+22﹣（2a﹣2）（2a+4）＝4a2﹣4+4﹣（2a2+2a﹣4）
＝2a2﹣2a+4．
26．解：（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别为AB，BC中点，
∴AE＝BE＝CF＝BF，
在△EBC和△FCD中，
，
∴△EBC≌△FCD（SAS）；
（2）∵△EBC≌△FCD，
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠CMF＝90°，
∴CP⊥DF；
（3）∵AD∥BC，
∴∠P＝∠BCE，
在△APE和△BCE中，
，
∴△APE≌△BCE（AAS），
∴AP＝BC，
∴AP＝AD＝PD，
∵DM⊥PM，
∴AM＝PD，
∴AM＝AD．
27．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，
∵AG⊥BE于点G，
∴∠AGE＝90°，
∴∠GAE+∠AEG＝∠OBE+∠BEO＝90°，
∴∠GAE＝∠OBE，
在△AOF和△BOE中，，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OF＝OE；
（2）△OEF是等腰直角三角形，理由如下：
如图，连接EF，
与（1）同理可证明△AOF≌△BOE（ASA）
∴OF＝OE；
又∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形