新浙教版八上第五单元一次函数教学讲义

一次函数
知识点1、一次函数的意义
知识点：一次函数：若两个变量、间的关系式可以表示成（、为常数，）的形式，称是的一次函数。
正比例函数：形如（）的函数，称是的正比例函数，此时也可说与成正比例，正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数
习题练习
1、下列函数（1）y=3πx；（2）y=8x-6；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（　　）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
2、当k_____________时，是一次函数；
3、当m_____________时，是一次函数；
4、当m_____________时，是一次函数；
知识点2、求一次函数的解析式
知识点：确定正比例函数的解析式：只须一个条件，求出待定系数即可．
确定一次函数的解析式：只须二个条件，求出待定系数、即可．
A、设——设出一次函数解析式，即；
B、代——把已知条件代入中，得到关于、的方程（组）；
C、求——解方程（组），求、； D、写——写出一次函数解析式．
常见题型归类
第一种情况：不已知函数类型（不可用待定系 ( http: / / www.21cnjy.com )数法），通过寻找题目中隐含的自变量和函数变量之间的数量关系，建立函数解析式。（见前面函数解析式的确定）
第二种情况：已知函数是一次函数（直接或间接），采用待定系数法。（已知是一次函数或已知解析式形式或已知函数图象是直线都是直接或间接已知了一次函数）
一、定义型 一次函数的定义：形如，k、b为常数，且k≠0。
二. 平移型 两条直线：；：。当，时，∥，解决问题时要抓住平行的直线k值相同这一特征。
三. 两点型 从几何的角度来看，“两点确定一条直线”，所以两个点的坐标确定直线的解析式；从代数的角度来说，一次函数的解析式中含两个待定系数k和b，所以两个方程确定两个待定系数，因此想方设法找到两个点的坐标是解决问题的关键。
解题策略：想方设法通过各种途径找到两个点的坐标，代入函数解析式中用待定系数法求出待定系数从而求出函数解析式。这类问题是见得最多的问题。
四、探索型 不直接已知函数类型，但可通过探索知其类型，再用待定系数法求解析式
习题练习
1、已知A（0，0），B（3，2）两点，经过A、B两点的图象的解析式为（　　）
A、y=3x B、y= x C、y= x D、y= x+1
2、如上图，直线AB对应的函数表达式是（　　）
A、 B、 C、 D、 ( http: / / www.21cnjy.com )
3、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________；
4、如图，已知直线经过点，求此直线与轴，轴的交点坐标．
5、 一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是
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6、设min｛x,y｝表示x,y两个数中的 ( http: / / www.21cnjy.com )最小值，例如min｛0,2｝=0，min｛12,8｝=8，则关于x的函数y=min{2x，x+2}，y可以表示为（ ）
A. B.
C. y =2x D. y=x＋2
7、.已知一次函数的图象经过A（）,B()两点，则 0
8、已知：一次函数的图象经过M(0，2)，(1，3)两点．
(l) 求k、b的值；
(2) 若一次函数的图象与x轴的交点为A(a，0)，求a的值．
9、求与直线平行，并且经过点P(1，2)的一次函数解析式．
10、已知直线经过点A（1,0）且与直线垂直，则直线的解析式为 （ ）
A. B. C. D.
11、如图,在平面直角坐标系中,、均在边长为1的正方形网格格点上.
(1)求线段所在直线的函数解析式,并写出当时,自变量的取值范围；
(2)将线段绕点逆时针旋转,得到线段,请画出线段.若直线的函数解析式为,则随的增大而 (填“增大”或“减小”).
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12、
根据要求，解答下列问题：
(1)已知直线l1的函数解析式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；
(2)如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．
①求直线l3的函数表达式；
②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到直线l4，求直线l4的函数表达式．
(3)分别观察(1)、(2)中的两个函数表达式，请猜想：当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=－x垂直的直线l5的函数表达式．
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知识点3、一次函数的图象
一次函数的图象是一条直线，与轴的交点为，与轴的交点为
正比例函数的图象也是一条直线，它过点，
习题练习
1、一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（　　）
A、x＞0 B、x＜0 C、x＞2 D、x＜2
2、正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（　　）
A、 B、 ( http: / / www.21cnjy.com ) C、 ( http: / / www.21cnjy.com ) D、 ( http: / / www.21cnjy.com )
3、如图，直线与轴交于点，关于的不等式的
解集是（ ）
A． B． C． D．
4、直线l1：y＝k1x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )b与直线l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为（ ）
A、x＞1 B、x＜1 C、x＞－2 D、x＜－2
已知关于x的一次函数的图象如图，则可化简为： ( http: / / www.21cnjy.com )
6、如图所示，函数和的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当时，x的取值范围是（ ）
x＜－1 B．—1＜x＜2 C．x＞2 　　D． x＜－1或x＞2
7、已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 。
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
8、如图，一次函数的图象经过点Ａ．当时，的取值范围是 ．
9、如图，直线y＝kx＋b经过A(－1，1)和B(－，0)两点，则不等式0＜kx＋b＜－x的解集为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
10、 如图所示的坐标平面上，有一条通 ( http: / / www.21cnjy.com )过点(－3,－2)的直线L。若四点(－2 , a)、(0 , b)、(c , 0)、(d ,－1)在L上，则下列数值的判断，何者正确？
A．a＝3 　　　B。b＞－2 　 C。c＜－3 　　　D 。d＝2
11、如图，把Rt△ABC放在直角 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．
12、某天小明骑自行车上学，途中因 ( http: / / www.21cnjy.com )自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 下图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（ ）
A．修车时间为15分钟 B．学校离家的距离为2000米
C．到达学校时共用时间20分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米
13、如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（ ）
A．处 B．处 C．处 D．处
知识点4、一次函数的性质
名称 函数解析式 系数符号 图象 所在象限 性质
正比例函数 () K>0 ( http: / / www.21cnjy.com ) 图象经过一、三象限 值随的增大而增大
K<0 ( http: / / www.21cnjy.com ) 图象经过二、四象限 值随的增大而减小
一次函数 K>0 b>0 ( http: / / www.21cnjy.com ) 图象经过一、二、三象限 值随的增大而增大
b<0 ( http: / / www.21cnjy.com ) 图象经过一、三、四象限
K>0 b>0 ( http: / / www.21cnjy.com ) 图象经过一、二、四象限 值随的增大而减小
b<0 ( http: / / www.21cnjy.com ) 图象经过二、三、四象限
练习训练
1、如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ）
A．， B．， C．， D．，
2、P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y= -x图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）
A．y1>y2 B．y1C．当x1y2 D．当x13、请写出符合以下三个条件的一个函数的关系式 ．
①过点；
②在第一象限内y随x的增大而减小；
③当自变量的值为2时，函数值小于2．
4、 若一次函数的图像经过 一 、 二、四象限，则m的取值范围是
5、已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于的不等式的解集为
A. B. C. D.
6、已知一次函数y=mx+n-2的图像如图所示，则m、n的取值范围是（ ）
A.m＞0,n＜2 B. m＞0, ( http: / / www.21cnjy.com )n＞2 C. m＜0,n＜2 D. m＜0,n＞2
7、若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是
A. B. C. D.
8、 已知点A（－5，a） ( http: / / www.21cnjy.com )，B(4，b)在直线y=-3x+2上，则a______b。（填“＞”、“＜”或“=”号）
9、当实数x的取值使得有意义时，函数y=4x+1中y的取值范围是（ ）．
A．y≥－7 B．y≥9 C．y＞9 D．y≤9
知识点5、平移
知识点：直线与直线的位置关系：两直线平行；
一次函数图象平移
(1)一次函数y=kx+b的图象可以看做是y=kx平移|b|个单位长度而得到（b>0时，向上平移，b<0时。向下平移）
(2)图象上下平移与k无关，与b有关，图象向上移动b的值增加，图象向下移动b的值减小
(3)图象的左右平移与k，b无关，与自变量x有关系，向左移动增加，向右移动减小
习题练习
1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。
2. 直线y=x向右平移2个单位得到直线
3. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线
4. 直线向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。
5. 直线向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________。
6. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.
7．直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=____________；
8. （2011湖南怀化，7，3分）在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为（ ）
A．y=x+1 B.y=x-1 C.y=x D. y=x-2
9.（2010乌鲁木齐，5，4分)将直线向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为
A. B. C. D.
知识点6、交点问题及直线围成的面积问题
方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；
复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；
习题练习
直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。
已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4），且OA=OB
求两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；
已知直线m经过两点（1,6）、（-3， ( http: / / www.21cnjy.com )-2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2）计算四边形ABCD的面积；
（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积。
如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两 ( http: / / www.21cnjy.com )侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6；
（1）求△COP的面积；
（2）求点A的坐标及p的值；
（3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。
5、已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D
（1）求直线的解析式；
（2）若直线与交于点P，求的值。
6. 如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。

知识点7、实际应用
1、暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升.
(1)已知油箱内余油量y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数，求y与x的函数关系式；
(2)当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家 请说明理由.
2、某公司装修需用A型板材240块 ( http: / / www.21cnjy.com )、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图1是裁法一的裁剪示意图）
裁法一 裁法二 裁法三
A型板材块数 1 2 0
B型板材块数 2 m n
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y
张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．
（1）上表中，m = ，n = ；
（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；
（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，
并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材
多少张？
3、 甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工数量ｙ（件）与时间（时）之间的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量ｙ与时间之间的函数关系式．
（2）求乙组加工零件总量的值．
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱 ( http: / / www.21cnjy.com )，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
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4、甲、乙两地之间有一条笔直的公路L ( http: / / www.21cnjy.com )，小明从甲地出发沿公路ι步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟．y1、y2与x之间的函数图象如图1，s与x之间的函数图象（部分）如图2．
（1）求小亮从乙地到甲地过程中y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（3）在图2中，补全整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数图象，并确定a的值．
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5、某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点后原路返校，如图为师生离校路程s与时间t之间的图象.请回答下列问题：
（1）求师生何时回到学校？
（2）如果运送树苗的三轮车比师生迟半小 ( http: / / www.21cnjy.com )时出发，与师生同路匀速前进，早半个小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程s与时间t之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程；
（3）如果师生骑自行车上午8时 ( http: / / www.21cnjy.com )出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回学校，往返平均速度分别为每小时10km、8km.现有A、B、C、D四个植树点与学校的路程分别是13km，15km、17km、19km，试通过计算说明哪几个植树点符合要求.
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6、（2011湖北襄阳，24，10分）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客.门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票.设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元）.，与x之间的函数图象如图8所示.
（1）观察图象可知：a＝ ；b＝ ；m＝ ；
（2）直接写出，与x之间的函数关系式；
（3）某旅行社导游王娜于5月1日带A团 ( http: / / www.21cnjy.com )，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人？
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7、如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
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（1）图2中折线表示______槽中水的深度与注水时间的关系，线段表示______槽中水的深度与注水时间之间的关系，点的纵坐标表示的实际意义是___________；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）
8、小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距 ( http: / / www.21cnjy.com )2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为 S1 m ,小明爸爸与家之间的距离为S2 m,,图中折线OABD，线段EF分别是表示S1、S2与t之间函数关系的图像．
求S2与t之间的函数关系式：
小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
9、甲、乙两地相距300千米 ( http: / / www.21cnjy.com )，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
（2）求线段CD对应的函数解析式．
（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）．
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10、四川省第十二届运动会将于2014 ( http: / / www.21cnjy.com )年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．
（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；
（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．
11、某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕.他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示.
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）分别求出第10天和第15天的销售金额；
（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？
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12、甲乙两车从A市去往B市，甲比乙早 ( http: / / www.21cnjy.com )出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A市的路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题：
（1）A、B两市的距离是　 千米，甲到B市后， 　小时乙到达B市；
（2）求甲车返回时的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）请直接写出甲车从B市往回返后再经过几小时两车相距15千米．
( http: / / www.21cnjy.com )
y
x
O
M
1
1
x
y
0
3
O
1
x
y
－2
y＝k2x＋c
y＝k1x＋bbb
（－1，1）
（2，2）
x
y
O
x
y
B
A
O
x
离家时间(分钟)
离家的距离(米)
10 15 20
2000
1000
O
A
B
C
O
y
x
Q
P
R
M
N
图1
图2
4
9
y
x
O
图1
60
40
40
150
30
单位：cm
A
B
B
8.5
9.5
O
t(时)
s (千米)
4
8
3
6
2
8
10
9
11
12
13
14
甲槽
乙槽
图1
y（厘米）
19
14
12
2
O
4
6
B
C
D
A
E
x（分钟）
图2
s(m)
A
O
D
C
B
t(min)
2400
10
12
F