中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.1 投影
模块1：学习目标
1．以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；
2. 懂得运用投影知识解决有关的实际问题。
模块2：知识梳理
1 平行投影
1）一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面或墙壁等）上得到的影子，叫做物体的投影。
2）太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影。
3）平行投影的两个结论（性质）：
（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长。
（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度。
4）物高与影长的关系：（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，从早晨到傍晚，物体影长也是由长变短再变长。（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长。
2.中心投影
1）若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影。
这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地。
2）中心投影的两个结论（性质）：（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
3. 平行投影与中心投影的区别与联系
1）联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线。（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化。
2）区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例。（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向。
4. 正投影
1）正投影的定义：像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
2）立体图形的正投影：物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等。
注意：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.
(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.
模块3：核心考点与典例
考点1、投影及其相关概念
例1．（2023上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．正投影可能是平行投影也可能是中心投影
B．物体在灯光下产生的投影可能是物体的正投影
C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影
D．电灯的光源距离投影面较远的投影就是平行投影
【答案】C
【分析】本题考查平行投影中正投影的相关知识，平行投射线垂直于投影面的称为正投影，解题需掌握正投影的特点．
【详解】解：A．正投影一定是平行投影，原说法错误，不合题意；
B．物体在灯光下产生的投影不是物体的正投影，原说法错误，不合题意；
C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影，原说法正确，符合题意；
D．电灯的光源距离投影面较远的投影不是平行投影，原说法错误，不合题意．故选：C．
变式1．（2023上·陕西汉中·九年级校联考阶段练习）下列投影，属于平行投影的是（ ）
A．晚上路灯下小孩的影子 B．阳光下沙滩上人的影子
C．汽车灯光照射下行人的影子 D．皮影戏中的影子
【答案】B
【分析】本题主要考查投影，熟练掌握平行投影是解题的关键；根据平行投影可进行求解．
【详解】解：A、属于中心投影，不符合题意；B、属于平行投影，符合题意；
C、属于中心投影，不符合题意；D、属于中心投影，不符合题意；故选B．
变式2．（2023下·山东泰安·九年级校考阶段练习）下列各种现象属于中心投影现象的是（ ）
A．早上升旗时地面上旗杆的影子 B．上午人走在路上的影子
C．中午用来乘凉的树影 D．晚上人走在路灯下的影子
【答案】D
【分析】根据中心投影的性质，找到灯光的灯源即可．
【详解】解：中心投影的灯源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，故选：D．
【点睛】本题考查中心投影的性质，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
变式3．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影 B．正投影一定是平行投影
C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影 D．正投影可能是中心投影
【答案】B
【分析】首先明确：平行投射线垂直于投影面的称为正投影；接下来根据正投影的定义进行分析即可得答案．
【详解】解：A．物体在太阳光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；
B．正投影一定是平行投影，正确，符合题意；
C．物体在灯光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；
D．正投影是平行投影，错误，不合题意．故选：B．
【点睛】本题考查平行投影中正投影的相关知识，解题需掌握正投影的特点．
考点2、平行投影及性质
例1．（2023上·河南平顶山·九年级统考期末）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【详解】解：A.影子的方向不相同，故本选项错误；
B. 影子的方向不相同，故本选项错误；
C.相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误;
D. 影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； 故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．
变式1．（2023上·浙江·九年级专题练习）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行平行投影，根据三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行，据此判断即可．
【详解】解：A、在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误，不符合题意；B．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误，不符合题意；
C．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确，符合题意；
D、在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
变式2．（2023·河南周口·九年级专题练习）在同一时刻的阳光下，甲的影子比乙的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．甲的影子比乙的长 B．甲的影子比乙的影子短
C．甲的影子和乙的影子一样长 D．无法判断
【答案】D
【分析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
【详解】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
变式3．（2023·河南周口·校联考三模）“光沿直线传播”产生了影子，下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，直接判断即可．
【详解】解：根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，只有D选项符合题意，故选：D．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据投影的概念进行解答即可．
考点3、平行投影的相关计算（相似）
例1．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度．如图所示，旗杆直立于旗台上的点处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端处，此时，量得小华的影长，小华身高；然后，在旗杆影子上的点处，安装测倾器，测得旗杆顶端的仰角为，量得，，旗台高．已知在测量过程中，点在同一水平直线上，点在同一条直线上，均垂直于．求旗杆的高度．（参考数据：）
【答案】旗杆的高度为
【分析】本题考查测高，涉及三角函数测高、利用太阳光测高、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，设，在中，解直角三角形得到，从而求出相关线段长，再根据，由相似列式求解即可得到答案，掌握测高题型及解法是解决问题的关键．
【详解】解：过作，如图所示：
设，则，，，
在中，，解得，
，即，
在太阳光下，，则，，解得，
答：旗杆的高度为．
变式1.（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，甲楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是， 已知两楼相距为 12 米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高 ＝ 米．
【答案】8
【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影的知识；
过作，利用平行投影的知识物高与影长的比是，求出的长度，进而求得即可得出答案．
解题的关键是利用平行投影的知识，求出的长度．
【详解】如图，过点作，垂足为点，
在中，，
∵物高与影长的比是∴，∴
∵，∴故答案为：8米
变式2.（2023上·江西抚州·九年级校考期中）如图，某一广告墙旁有两根直立的木杆和，某一时刻在太阳光下，木杆顶端的影子刚好落Q处．
(1)请在图中画出此时的太阳光线及木杆的影子；
(2)若米，米，到的距离的长为2米，求此时木杆的影长．
【答案】(1)见解析(2)米
【分析】本题考查的是平行投影，掌握平行投影的性质是解题的关键．
（1）根据木杆的影子刚好不落在广告墙上，连接点与点即可画出此时的太阳光线，根据太阳光线是平行的，可以画出木杆的影子；（2）设木杆的影长为米，根据在同一时刻，物高与影子成比例即可得到，从而可求出影长．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）解：设的影长为x米 ，根据题意可得
，即，．答：木杆的影长是米．
考点4、中心投影及性质
例1．（2023·河北沧州·模拟预测）下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据中心投影的特点及小亮和小美的身高差判断即可.
【详解】解：小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况应如图所示：
故选D.
【点睛】本题考查了中心投影的特点．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
变式1.（2023·浙江九年级期中）当你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是如何变化（ ）
A．变长 B．变短 C．不变 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据中心投影的性质，灯光下影子与物体离灯源距离有关，从而得出答案．
【详解】解：灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，
你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是变短．故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短．
变式2．（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）一个人在灯光下向远离光源的方向行走的过程中人的影长越来越 （填“长”或“短”）．
【答案】长
【分析】人在灯光的照射下形成的影子就是中心投影，则利用中心投影，人在灯光下的影子最短，当人离开时，人的影子越来越长．
【详解】一个人在灯光下离开的过程中人的影长越来越长．故答案为：长．
【点睛】本题考查了中心投影：由同一点 (点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影；如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影，理解题意是解题关键．
考点5、中心投影的相关计算（相似）
例1．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，电线杆上有盏路灯，小明从点出发，沿直线运动，当他运动2m到达点处时（即），测得影长，再前进2m到达点处时（即），测得影长．（图中线段、、表示小明的身高，且、、均与垂直）。(1)请画出路灯的位置和小明位于处时，在路灯灯光下的影子；(2)求小明位于处的影长．
【答案】(1)见解析(2)0.4m
【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，将实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的判定与性质列方程求解是解答本题的关键．
（1）根据中心投影的定义，连接，并延长，交点即为点O，连接并延长，交直线于点G，即为所求；（2）过点O作于点H，先证明和，得出，，从而得到，设，列方程求解得出的长，同理可得，进一步列方程求解即可得出答案．
【详解】（1）如图1，作射线，，两线相交于点O，则点O就是路灯的位置；
作射线交直线于点G，则就是小明位于处时，在路灯灯光下的影子．
（2）如图2，过点O作于点H，
设，则，，
，，，同理，
，，即，解得，
，，设，则，
同理可知，即，解得，
所以小明位于F处的影长为．
变式1.（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图是圆桌正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡距离地面（桌面的厚度忽略不计），则地面上阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的应用．证明，根据相似三角形的性质求出，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，
由题意得，，，，
∴，∴，即，解得，，
则地面上阴影部分的面积，故选：C．
变式2.（2023·河北邯郸·校考三模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为．
（1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是 （填写“平行投影”或“中心投影”）；
（2）聚光灯距离地面的高度为 m．
【答案】 中心投影
【分析】（1）根据中心投影的定义直接写出答案即可；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【详解】解：（1）∵聚光灯光线是点光源发出的光线，
∴在聚光灯下金博洋落在地面的影子是中心投影，故答案为：中心投影；
（2）解：由题意得：，∴，∴，
∵金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为，
∴，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的定义的知识，解题的关键是从实际图形中抽象出相似三角形，难度不大．
变式3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，小华在晚上由路灯走向路灯． 当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯的底部． 已知小华的身高是，两个路灯的高度都是，且．
(1)标出小华站在P处时，在路灯下的影子．(2)求两个路灯之间的距离．
(3)当小华走到路灯的底部时，他在路灯下的影长是多少？
【答案】(1)画图见解析(2)两路灯的距离为；(3)当他走到路灯时，他在路灯下的影长是．
【分析】（1）连接并延长与交于点K，从而可得答案；
（2）如图，先证明，利用相似比可得，即得，则，从而可得答案；（3）如图，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可．
【详解】（1）解：如图，连接并延长与交于点K，线段即为小华站在P处时，在路灯下的影子
（2）如图，
∵，∴，∴，即，∴，
∵，∴，而，
∴，∴．答：两路灯的距离为；
（3）如图，他在路灯下的影子为，
∵，∴，∴，即，解得．
答：当他走到路灯时，他在路灯下的影长是．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，投影的含义，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．
考点6、正投影及相关计算
例1．（2023·北京海淀·统考二模）一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．
【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是故选：B．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．
变式1.（2023下·山东九年级统考课时练习）如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（ ）
A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环
【答案】C
【分析】根据正投影的定义“是指平行投射线垂直于投影面”分析即可．
【详解】根据题意，圆台的上下底面与投影线平行，则圆台的正投影是该圆台的轴截面，即等腰梯形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正投影的定义，正确理解正投影的定义是解题关键．
变式2.（2023下·浙江·九年级专题练习）把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正投影的特点及图中正六棱柱的摆放位置即可直接得出答案．
【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是矩形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正投影的性质，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形．
考点7、视点、视角和盲区
例1．（2023·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度
【答案】B
【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可．
【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误；
选项B，减少盲区，正确；选项C，不可能改变光点，错误；
选项D，不是增加亮度，选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区．
变式1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（ ）
A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以
【答案】C
【分析】根据视点，视角和盲区的定义，观察图形，选出答案．
【详解】由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选C.
【点睛】本题考查的是视点，视角和盲区在实际中的应用，比较基础，难度不大．
变式2（2023·福建·统考三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解
【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；
（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，
∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3，∴站在监控盲区的概率=3÷20=；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2．
【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）下列哪种影子不是中心投影（ ）
A．月光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子
【答案】A
【分析】本题考查中心投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，由此即可判断．关键是掌握中心投影定义．
【详解】解：晚上在房间内墙上的手影，都市冤虹灯形成的影子，皮影戏中的影子，是中心投影，
月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影．故选：A．
2．（2023上·浙江·九年级专题练习）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（ ）
A．不能够确定谁的影子长 B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长 D．小刚的影子比小红的影子长
【答案】A
【分析】根据太阳光是平行投影，路灯是中心投影，即可得出结论．
【详解】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．故选：A．
【点睛】本题综合考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
3．（2023下·河北保定·九年级校考开学考试）下列光线所形成的投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线
【答案】A
【分析】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
【详解】四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行投影，解题关键是看光线是否是平行的.
4．（2023·安徽淮北·统考三模）一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】根据投影的特点进行判断即可．
【详解】解：一个矩形木框在地面上形成的投影可能是一条线段、一个矩形、一个平行四边形，而不可能是一个梯形，故A符合题意．故选：A．
【点睛】本题主要考查了投影与视图，解题的关键是熟练掌握投影的特点．
5．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）下列关于投影的说法正确的是（ ）
A．平行投影中的光线是聚成一点的 B．线段的正投影还是线段
C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同
【答案】C
【分析】根据平行投影和视图的关系进行判断即可．
【详解】解：A、平行投影中的光线是平行的，故此选项不符合题意；
B、线段的正投影可能是线段，有可能是点，故此选项不符合题意；
C、圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆，故此选项符合题意；
D、若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高不一定相同，故此选项不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查了投影，解题的关键是掌握平行投影的性质和投影的意义．
6．（2023下·浙江·九年级专题练习）如图，若正三棱柱看不见的一个侧面与投影面平行，则这个正三棱柱的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意知三棱柱后侧面平行于投影面，再从前向后对几何体正投影可得答案．
【详解】解：根据题意，三棱柱后侧面与投影面平行，
则该三棱柱的正投影即主视图是：，故选：A．
【点睛】本题主要考查正投影，判断正投影的投影面和几何体的摆放位置是关键．
7．（2023·河北保定·九年级统考期末）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（ ）
A． B． C． D．四边形
【答案】C
【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可．
【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域，
故选：C．
【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断．
8．（2023上·河北唐山·九年级统考期末）如图，从点观测建筑物的视角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断．
【详解】如图所示，据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为，选：A．
【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义．
9．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形是解题关键．利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：，，
，，，，
，故选：D．
10．（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长为2米，，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（ ）米．
A．8 B．12 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的应用．由题意可知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．经过旗杆在教学楼上的影子的顶端作旗杆的垂线和经过旗杆顶的太阳光线以及旗杆所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到旗杆的顶端的高度，再加上墙上的影高就是旗杆高．
【详解】解：设从墙上的影子的顶端到旗杆的顶端的垂直高度是x米．
则有，解得．旗杆高是（米）．故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，晷针在晷面上所形成的投影属于 投影．（填写“平行”或“中心”）
【答案】平行
【分析】本题考查的是平行投影的概念，根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
【详解】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．故答案为：平行．
12．（2023上·甘肃白银·九年级统考期末）如图，这是三个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，属于同一种投影是 ．
【答案】
【分析】根据平行投影和中心投影的特点和规律，进行判断即可．
【详解】由图可知“L”是中心投影，“K”是中心投影，“C”是平行投影，
属于同意投影的是，故答案为：．
【点睛】本题考查投影的定义，能正确区分平行投影和中心投影的特点是解题的关键．
13．（2023·山东九年级期中）电影院的座位排列时，后一排总比前一排高，并且每一横排呈圆弧形，这是为了 ．
【答案】增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等
【分析】从减小盲区角度可理解后一排总比前一排高，从满足有相同的视角可理解每一横排呈圆弧形．
【详解】电影院的座位排列时，后一排总比前一排高是为了增加视野，后面的观众看清屏幕，每一横排呈圆弧形是利用圆周角相等，保证同一排上的人看屏幕的视角相等．
故答案为增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等．
【点睛】本题考查了视点、视角和盲区：把观察者所处的位置定为一点，叫视点；人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．视线到达不了的区域为盲区．
14．（2023上·陕西汉中·九年级校联考阶段练习）人在灯光下走动，当人远离灯光时，其影子的长度将 ．（填“变长”或“变短”）
【答案】变长
【分析】本题考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．据此即可解答．
【详解】人在灯光下走动时，其自身的影子通常会发生变化，当人走近灯光时，其影子的长度就会变短；当人远离灯光时，其影子的长度就会变长．故答案为：变长
15．（2023上·浙江九年级期中）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）.
【答案】17
【分析】如图题目所求的实际是△OFE和梯形BCDH的面积，Rt△ABH中，AB=BH=2，∠BAH=45°，利用三角函数即可求出．
【详解】在Rt△ACD中，CD=AC=6，S梯形BCDH=（2+6）×4÷2=16，
在Rt△ABO中，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2，因此，FE=OF÷2=1；S△OFE=2×1÷2=1，
因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米．故答案为17.
【点睛】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶的影子处直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆长米．它的影长是米，同一时刻测得是米，则金字塔的高度是 米．
【答案】
【分析】本题考查同一时刻物高和影长成正比．解题的关键是理解：如果光源是太阳，光线是平行照射的，此时物体的高度和影子的长度成正比例．据此列式解答即可．
【详解】解：根据题意知：相同时刻的物高与影长成正比，设金字塔的高度为米，则：
∴，解得：，∴金字塔的高度是米．故答案为：．
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光下，测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米：测量树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图），落在地面上的影长为4.8米，一级台阶高为0.25米，落在第一级台阶上的影子长为0.2米，则树高度为 米．
【答案】
【分析】求出台阶同等高度的大树的影子的长度，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出树的高度一部分，再加上台阶的高度计算即可得出答案．
【详解】解：根据同一时刻物高与影长成正比例，如图所示：
则其中为树高，为树影在第一级台阶上的影长，为树影在地上部分的长，的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知即为树影在地上的全长，延长交于，则，∴，∴，
又∵，，∴，∴，
∴，即树高为米，故答案为:．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，加上的长即可，解题关键是找到各部分以及与其对应的影长.
18．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．
（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
【答案】
【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可；
（2）过点作于点，证明，根据平行投影证明，根据，得出即可．
【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度，
∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为；故答案为：；
（2）过点作于点，如图所示：
则，∴，根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直，∴，
∴，∴，∴，
根据平行投影可知，当12点时，点在水平方向的投影为点E，经过n小时后，的投影在上，因此，∵， ∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移投影的有关知识，解题的关键是数形结合，发挥空间想象能力，根据平行投影得出．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，灯杆上挂有一盏灯，小颖和爸爸站在灯下，线段表示小颖的影子．
(1)请通过画图，确定灯杆上灯泡O所在的位置；(2)请你在图中画出表示爸爸影子的线段．
【答案】(1)图形见解析(2)图形见解析
【分析】（1）过小颖影子的顶端A和头部顶端作直线，交于O，则点O即为灯泡所在的位置；
（2）过灯泡O和爸爸头部顶端作直线交直线于F，设爸爸所在点为E，则线段即为爸爸影子的线段．本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握中心投影的性质．
【详解】（1）过小颖影子的顶端A和头部顶端作直线，交于O，则点O即为灯泡所在的位置，如图：
（2）如上图，过灯泡O和爸爸头部顶端作直线交直线于F，设爸爸所在点为E，则线段即为爸爸影子的线段．
20．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，同一路灯下站着小明、小芳、小刚三人，请根据小芳和小刚的影长（粗实线为影子），标出图中路灯灯泡的位置，并画出小明在灯光下的影子．
【答案】见解析
【分析】根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．所以分别把小芳和小刚的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，再根据点光源的位置和小明的位置可得小明的影子．
【详解】解：路灯灯泡S的位置如图所示．小明在灯光下的影子如图所示．
．
【点睛】此题考查的是影子形成原理的应用，中心投影的含义，确定路灯位置是解题的关键．
21．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图，和是直立在地面上的两根立柱（即均与地面垂直），已知，某一时刻在太阳光下的影子长．
(1)在图中画出此时在太阳光下的影子；
(2)在测量的影子长时，同时测量出的影长，计算的长．
【答案】(1)图见解析(2)
【分析】此题主要考查了平行投影，利用同一时刻物高与影长的比值相等列出比例式求解是解题关键．
（1）利用平行投影的性质得出即可；（2）利用同一时刻物体影子与实际高度的比值相等进而得出答案．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）由题意可得：，∴ 解得：，
答：的长为．
22．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高1.5米的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯灯泡的高度，具体做法如下：先从路灯底部沿方向走20步到处，发现自己的影子端点落在点处，作好记号后，从点沿方向走4步恰好到达点处，此时他影子的端点在点处，已知在同一水平线上，路灯的灯泡在上，，小王的步间距保持一致．
(1)请在图中画出灯泡和影子端点的位置；(2)估计灯泡的高，并求出影长的步数．
【答案】(1)答案见详解；(2)路灯的高为9米，影长为步．
【分析】此题考查了中心投影作图、相似三角形的判定与性质，
（1）如图所示，延长交路灯灯柱于点O，再连接并延长交延长线于点Q即可；（2）先证明，利用相似三角形对应边成比例可求出，同理证，利用相似三角形对应边成比例求出．熟练掌握投影的特点与相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，路灯O和影子端点Q为所求；
（2）解：根据题意知：，步，步，，
，，，即，解得；
，，即，解得；
答：估计路灯的高为9米，影长为步．
23．（2023·浙江九年级期中）如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3)
(1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位．
【答案】（1）详见解析；（2）A票区约有1 406个座位．
【分析】（1）可以M、N为圆心，30为半径交于O点如图以线段MN、EF与弧FM、弧EN所围成的区域就是所作的A票区．
（2）求座位就是求三角形EOF，MON和扇形FOM和EON的面积和．那么先求出扇形的半径即可．
【详解】解(1)如图，以线段MN、EF与、所围成的区域就是所作的A票区．
(2)连接OM、ON、OE、OF，设MN的中垂线与MN、EF分别相交于点G和H.
由题意，得∠MON＝90°.∵OG⊥MN，OH⊥EF，OG＝OH＝15，
∴∠EOF＝∠MON＝90°.∴r＝＝15.
∴SA＝(S扇形FOM＋S扇形EON)＋(S△OMN＋S△EOF)＝πr2＋r2≈1125(米2)．
∴1125÷0.8≈1406.∴A票区约有1406个座位．
【点睛】本题考查了尺规作图，盲区的定义，勾股定理及扇形的面积公式等知识点，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
24．（2023上·河北张家口·九年级校考阶段练习）如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米．(1)求窗户的高度（的长）；(2)如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长．
【答案】(1)窗户的高度为米；(2)米．
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用．（1）由题意得，利用平行线分线段成比例定理即可求解；（2）由题意得，利用平行线分线段成比例定理求得，再根据，求解即可．
【详解】（1）解：∵阳光是平行线，即，∴，
∵，，，∴，∴，解得(米)，
答：窗户的高度为米；
（2）解：由题意得，∴，
∵，，，∴，
∴，∴(米)， 答：米．
25．（2023上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）我国宋代就发明了立式风车，它是一种由风力驱动使轮轴旋转的机械，风力发电不但减污节能，而且可再生永不枯竭．如图是风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直于叶片，照射，各叶片形成的影子为线段，且测得，，若此时垂直于地面的木棒与影子的比为。(1)求叶片的长；(2)为了安全，风车转动时，要求风车叶片外端离地面的最低高度要高于12米，此风车是否符合要求？
【答案】(1) (2)符合要求
【分析】（1）过点O作，交于P，过P作于N，则，根据平行线分线段成比例定理可知，由与影子的比为，可得，由等角的正弦可得的长，从而得结论．
（2）由（1）知，与影子的比为，可得的长，即可判断是否符合要求．
【详解】（1）解：如图，过点O作，交于P，过P作于N，则，
，，， ，，，
，，，
，设，，则，
，，，；
（2）解：由（1）知，，，
，，
，则，，
当风车转动时，风车叶片转动到于重合时，此时风车叶片外端离地面的高度为：，
，此风车符合要求
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.1 投影
模块1：学习目标
1．以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；
2. 懂得运用投影知识解决有关的实际问题。
模块2：知识梳理
1 平行投影
1）一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面或墙壁等）上得到的影子，叫做物体的投影。
2）太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影。
3）平行投影的两个结论（性质）：
（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长。
（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度。
4）物高与影长的关系：（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，从早晨到傍晚，物体影长也是由长变短再变长。（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例。
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长。
2.中心投影
1）若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影。
这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地。
2）中心投影的两个结论（性质）：（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
（2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.
3. 平行投影与中心投影的区别与联系
1）联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线。（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化。
2）区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例。（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向。
4. 正投影
1）正投影的定义：像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
2）立体图形的正投影：物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等。
注意：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.
(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.
(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.
模块3：核心考点与典例
考点1、投影及其相关概念
例1．（2023上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．正投影可能是平行投影也可能是中心投影
B．物体在灯光下产生的投影可能是物体的正投影
C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影
D．电灯的光源距离投影面较远的投影就是平行投影
变式1．（2023上·陕西汉中·九年级校联考阶段练习）下列投影，属于平行投影的是（ ）
A．晚上路灯下小孩的影子 B．阳光下沙滩上人的影子
C．汽车灯光照射下行人的影子 D．皮影戏中的影子
变式2．（2023下·山东泰安·九年级校考阶段练习）下列各种现象属于中心投影现象的是（ ）
A．早上升旗时地面上旗杆的影子 B．上午人走在路上的影子
C．中午用来乘凉的树影 D．晚上人走在路灯下的影子
变式3．（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影 B．正投影一定是平行投影
C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影 D．正投影可能是中心投影
考点2、平行投影及性质
例1．（2023上·河南平顶山·九年级统考期末）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B． C．D．
变式1．（2023上·浙江·九年级专题练习）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ）
A．B． C．D．
变式2．（2023·河南周口·九年级专题练习）在同一时刻的阳光下，甲的影子比乙的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．甲的影子比乙的长 B．甲的影子比乙的影子短
C．甲的影子和乙的影子一样长 D．无法判断
变式3．（2023·河南周口·校联考三模）“光沿直线传播”产生了影子，下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点3、平行投影的相关计算（相似）
例1．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度．如图所示，旗杆直立于旗台上的点处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端处，此时，量得小华的影长，小华身高；然后，在旗杆影子上的点处，安装测倾器，测得旗杆顶端的仰角为，量得，，旗台高．已知在测量过程中，点在同一水平直线上，点在同一条直线上，均垂直于．求旗杆的高度．（参考数据：）
变式1.（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，甲楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是， 已知两楼相距为 12 米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高 ＝ 米．
变式2.（2023上·江西抚州·九年级期中）如图，某一广告墙旁有两根直立的木杆和，某一时刻在太阳光下，木杆顶端的影子刚好落Q处．(1)请在图中画出此时的太阳光线及木杆的影子；(2)若米，米，到的距离的长为2米，求此时木杆的影长．
考点4、中心投影及性质
例1．（2023·河北沧州·模拟预测）下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023·浙江九年级期中）当你走在路灯下，越来越接近路灯时，你的影子的长是如何变化（ ）
A．变长 B．变短 C．不变 D．无法确定
变式2．（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）一个人在灯光下向远离光源的方向行走的过程中人的影长越来越 （填“长”或“短”）．
考点5、中心投影的相关计算（相似）
例1．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，电线杆上有盏路灯，小明从点出发，沿直线运动，当他运动2m到达点处时（即），测得影长，再前进2m到达点处时（即），测得影长．（图中线段、、表示小明的身高，且、、均与垂直）。(1)请画出路灯的位置和小明位于处时，在路灯灯光下的影子；(2)求小明位于处的影长．
变式1.（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图是圆桌正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为，桌面距离地面，若灯泡距离地面（桌面的厚度忽略不计），则地面上阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·河北邯郸·校考三模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为．
（1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是 （填写“平行投影”或“中心投影”）；
（2）聚光灯距离地面的高度为 m．
变式3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，小华在晚上由路灯走向路灯． 当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯的底部． 已知小华的身高是，两个路灯的高度都是，且．(1)标出小华站在P处时，在路灯下的影子．(2)求两个路灯之间的距离．
(3)当小华走到路灯的底部时，他在路灯下的影长是多少？
考点6、正投影及相关计算
例1．（2023·北京海淀·统考二模）一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023下·山东九年级统考课时练习）如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台的正投影是（ ）
A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环
变式2.（2023下·浙江·九年级专题练习）把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
考点7、视点、视角和盲区
例1．（2023·宁夏中卫·九年级校考期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（ ）
A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度
变式1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（ ）
A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以
变式2（2023·福建·统考三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）下列哪种影子不是中心投影（ ）
A．月光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子
2．（2023上·浙江·九年级专题练习）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（ ）
A．不能够确定谁的影子长 B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长 D．小刚的影子比小红的影子长
3．（2023下·河北保定·九年级校考开学考试）下列光线所形成的投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线
4．（2023·安徽淮北·统考三模）一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C．D．
5．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）下列关于投影的说法正确的是（ ）
A．平行投影中的光线是聚成一点的 B．线段的正投影还是线段
C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同
6．（2023下·浙江·九年级专题练习）如图，若正三棱柱看不见的一个侧面与投影面平行，则这个正三棱柱的正投影是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河北保定·九年级统考期末）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（ ）
A． B． C． D．四边形
8．（2023上·河北唐山·九年级统考期末）如图，从点观测建筑物的视角是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）如图，小树在路灯O的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离．则路灯的高度为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长为2米，，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（ ）米．
A．8 B．12 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，晷针在晷面上所形成的投影属于 投影．（填写“平行”或“中心”）
12．（2023上·甘肃白银·九年级统考期末）如图，这是三个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，属于同一种投影是 ．
13．（2023·山东九年级期中）电影院的座位排列时，后一排总比前一排高，并且每一横排呈圆弧形，这是为了 ．
14．（2023上·陕西汉中·九年级校联考阶段练习）人在灯光下走动，当人远离灯光时，其影子的长度将 ．（填“变长”或“变短”）
15．（2023上·浙江九年级期中）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）.
16．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶的影子处直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆长米．它的影长是米，同一时刻测得是米，则金字塔的高度是 米．
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光下，测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米：测量树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图），落在地面上的影长为4.8米，一级台阶高为0.25米，落在第一级台阶上的影子长为0.2米，则树高度为 米．
18．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．
（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，灯杆上挂有一盏灯，小颖和爸爸站在灯下，线段表示小颖的影子．
(1)请通过画图，确定灯杆上灯泡O所在的位置；(2)请你在图中画出表示爸爸影子的线段．
20．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，同一路灯下站着小明、小芳、小刚三人，请根据小芳和小刚的影长（粗实线为影子），标出图中路灯灯泡的位置，并画出小明在灯光下的影子．
21．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图，和是直立在地面上的两根立柱（即均与地面垂直），已知，某一时刻在太阳光下的影子长．
(1)在图中画出此时在太阳光下的影子；
(2)在测量的影子长时，同时测量出的影长，计算的长．
22．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图，身高1.5米的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯灯泡的高度，具体做法如下：先从路灯底部沿方向走20步到处，发现自己的影子端点落在点处，作好记号后，从点沿方向走4步恰好到达点处，此时他影子的端点在点处，已知在同一水平线上，路灯的灯泡在上，，小王的步间距保持一致．(1)请在图中画出灯泡和影子端点的位置；(2)估计灯泡的高，并求出影长的步数．
23．（2023·浙江九年级期中）如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3)
(1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位．
24．（2023上·河北张家口·九年级校考阶段练习）如图，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框在地面上留下2米长的影子，窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米．(1)求窗户的高度（的长）；(2)如下图，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长．
25．（2023上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）我国宋代就发明了立式风车，它是一种由风力驱动使轮轴旋转的机械，风力发电不但减污节能，而且可再生永不枯竭．如图是风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直于叶片，照射，各叶片形成的影子为线段，且测得，，若此时垂直于地面的木棒与影子的比为。(1)求叶片的长；(2)为了安全，风车转动时，要求风车叶片外端离地面的最低高度要高于12米，此风车是否符合要求？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
