中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.3 由三视图描述几何体
模块1：学习目标
1.会根据简单几何体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原图；
2.通过讨论简单立体图形与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；
模块2：知识梳理
1.由三视图想象几何体的形状
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
注意：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：（1）根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；（2）根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；（3）熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；（4）利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.
模块3：核心考点与典例
考点1、由三视图还原几何体
例1．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图是一个几何体的俯视图，这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三视图，解题的关键是掌握从上面看到的图形是俯视图．
【详解】解：根据题意可得：这个几何体可能是“”，故选：A．
变式1.（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．三棱柱 D．圆柱
【答案】D
【分析】此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选：D．
变式2.（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
【答案】A
【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
【详解】根据三视图 得该几何体是长方体，故选A．
考点2、由三视图判断小立方体的个数
例1．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的左视图和俯视图，这些相同的小正方体的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】本题考查几何体的三视图．做这类题时要借助从不同方向看到的图形表示物体的特点，从正面看的图形上弄清物体的上下和左右形状；从上面看到的图形上弄清物体的左右和前后形状；从左面看到的图形上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
【详解】解：俯视图中有5个正方形，那么最底层有5个正方体，
由左视图可得第二层有1个正方体，∴共有个正方体．故选：B．
变式1. （2023·山东济南·九年级统考期中）如图是由一些相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则组成这个立体图形的小正方体的个数是 ．
【答案】5
【分析】利用三视图的观察角度不同得出行数与列数,结合主视图得出答案
【详解】由三视图确定小正方体个数的关键是从俯视图入手，由俯视图可以确定这个立体图形的最底层有4个小正方体，再由主视图和左视图确定有两层，上层有1个小正方体，所以共有5个小正方体．
【点睛】此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于得出图象行数与列数
变式2. （2023·江苏九年级期中）小颖同学到学校领来盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，其三视图如图，则的值是 .
【答案】
【分析】根据俯视图有个格子，得底层有盒；根据主视图和左视图可知，第二层有盒，第三层有盒，即可求出．
【详解】如图所示：底层有盒，第二层有盒，第三层有盒∴．故答案为：．
【点睛】本题考查三视图的知识，解题的关键是根据三视图判断出几何体．
考点3、由三视图求最多（最少）的小立方体的个数
例1．（2023上·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要个小立方块，最少要个小立方块，则等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了三视图；根据从左面看和从上面看的视图，分析得出最多和最少的情况，然后可得答案．
【详解】解：由题意得，最多和最少的情况如图所示（最少时第2行3个空可相互交换）：
所以，，所以，故选：A．
变式1. （2022上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面和左面看到的形状图，则搭成该几何体需要的小正方体个数最多是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查了三视图，分别根据从正面看，从左面看得到的图形分析，即可求解．
【详解】解：从正面看得：几何体共两列，左边一列高两层，右边一列高一层；
从左面看得：前后共两行，后面一行是一层，
所以可确定左边一列后面可能有一个，右边一列后面可能有一个，左列前面一行一定是两个，右边一列可能前面一个或后面一个或前后都有一个，
所以这个几何体的小正方形的个数最多5个．故选：C
变式2. （2023上·重庆南岸·九年级校考期中）一个几何体的从正面看和从上面看如图所示，若这个几何体最多由个小正方体组成，最少由个正方体组成，则等于 ．
【答案】
【分析】根据正视图，俯视图可到三视图的结构，正确猜测数量并进行有理数的加减即可求解．
【详解】解：正视图：分为左右两列，上下三层，最多个；俯视图：分为左右两列，上下两层，第一层最多个，第二层最多个，最少个；
∴最多有个，最少有个，即，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查立体几何的三视图，有理数的加减混合运算的运用，掌握以上知识是解题的关键．
考点4、已知三视图求几何体的体积（1）
例1．（2023·安徽淮北·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．125 B．100 C．75 D．30
【答案】C
【分析】由三视图可知，几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，利用体积等于底面积乘以高进行计算即可．
【详解】解：由图可知：几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，
如图：设正六边形的中心为，，
则：，∴，，
∴，∴底面面积为：，
∴该几何体的体积为：；故选C．
【点睛】本题考查由几何体的三视图，求几何体的体积．解题的关键是根据三视图，还原几何体．
变式1．（2023·山东临沂·统考二模）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为和，俯视图是直径等于的圆，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三视图可得该几何体为圆柱体，圆柱体的体积为，根据题中所给三视图中对应边长和直径即可分别求得圆柱体的底面积和高，从而可求几何体的体积．
【详解】∵由三视图可分析得到该几何体为圆柱体，∴其几何体的体积为，
∵由题意得主视图的相邻两边长分别为和，俯视图是直径等于的圆，
∴该圆柱体的底面圆的半径为，底面积为，圆柱体的高为，
∴该圆柱体的体积为．故选：C．
【点睛】本题考查由三视图推导几何体，并利用三视图所给的数据求解该几何体的体积，熟练地掌握常见几何体的三视图和对应几何体的体积计算公式是解题的关键．
变式2．（2023下·浙江·九年级专题练习）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三视图确定圆锥的底面半径和高，然后利用圆锥的体积计算公式求得答案即可．
【详解】解：观察三视图得：圆锥的底面半径为，高为，
所以圆锥的体积为．故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆锥的三视图，圆的面积公式，根据主视图与左视图得到圆锥的底面直径是解题的关键．
考点5、已知三视图求几何体的体积（2）
例1．（2022上·广东茂名·九年级校考期中）某几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它从正面和上面看到的图形如图所示的，求该几何体的体积．（取3.14，单位：）
【答案】
【分析】结合图形可知上部分是一个圆柱，底面直径是，高是；下部分是一个长方体，长、宽、高分别是，，，根据圆柱和长方体的体积计算公式进行计算即可．
【详解】解：该几何体上部分是一个圆柱，底面直径是，高是；下部分是一个长方体，长、宽、高分别是，，，所以该几何体的体积为
答：该几何体的体积为．
【点睛】本题考查了立体图形的三视图以及常见几何体的体积计算，结合图形得出圆柱底面直径和高以及长方体的长宽高是解题的关键．
变式1．（2022上·重庆南岸·九年级统考期末）如图，是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，铸灌这个几何体需要的铁的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用三视图得出几何体的形状，再利用圆柱体积求法得出答案．
【详解】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2，
则大圆面积为：，小圆面积为：，
故这个几何体的体积为：．故选：B．
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确判断出几何体的形状是解题关键．
变式2．（2023上·江西抚州·九年级校考期中）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积 ．
【答案】60
【分析】本题考查几何体的三视图，根据视图得出几何体的形状是计算体积的关键．根据三视图，得出这个几何体的性质，再利用体积计算方法进行计算即可．
【详解】解：由三视图知，原几何体是正方体截掉一个底面边长为1，高为4的长方体．
，几何体的体积是60．故答案为：60．
考点6、已知三视图求长度
例1．（2023·江苏南京·校考三模）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】由主视图和左视图可得：，，，连接，则有，可求，即可求解．
【详解】解：如图，
由主视图和左视图可得：，，，
，，，，
连接，则有，为等边三角形，
，
，，．故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，正六边形的性质，特殊角的三角函数值，掌握三视图长宽高与原几何体之间的关系及正六边形的性质是解题的关键．
变式1．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（ ）
A．6cm B． C． D．4cm
【答案】A
【分析】过点E作于点Q，根据三视图的意义，得到，用勾股定理计算即可．
【详解】过点E作于点Q，
根据三视图的意义，得到，
∵，，∴．故选A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图计算，正确理解三视图的意义是解题的关键．
变式2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（ ）
A．320cm B．395.2cm C．297.8cm D．480cm
【答案】C
【分析】由主视图知道，高是，两顶点之间的最大距离为，再利用正六边形的性质求得底面对边之间的距离，然后所有棱长相加即可解答．
【详解】解：根据题意，如图：作出实际图形的上底，连接,由主视图可知：,
∵正六边形∴,
∴四边形是菱形∴∴
∴，则，
∴胶带的长至少．故选C．
【点睛】本题考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力，知道正六边形两个顶点间的最大距离求对边之间的距离需构造直角三角形是解答本题的关键．
变式3.（2023上·江苏无锡·九年级校联考期末）一透明的敞口正方体容器装有液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（注：图中α，图中）．
(1)探究如图，液面刚好过棱，并与棱交于点，其三视图及尺寸如图所示，那么：图中，液体形状为（填几何体的名称）；
(2)利用图中数据，可以算出图中液体的体积为 ．（公式：体积底面积高）
(3)拓展在图的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，液面与棱交于点、（始终在棱上），设，请你在下图中把此容器主视图补充完整，并用含的代数式表示的长度．
【答案】(1)三棱柱(2)24(3)容器向左旋转：；容器向右旋转：，图见解析
【分析】（1）根据图象得出液体形状，（2）根据底面积高求出答案；
（3）根据液体体积不变，据此即可列方程求解．
【详解】（1）解∶由三视图可知，液体形状为三棱柱，故答案为：三棱柱；
（2）解：利用图中数据可得
∴液体的体积为，故答案为；
（3）解：主视图如下图，
当容器向左旋转时，解得，
当容器向右旋转时，解得.
【点睛】本题考查了棱柱体的体积计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积是关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）如图，是某几何体的俯视图，该几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义．根据俯视图是从上面看到的图形判断即可．
【详解】解：A．三棱柱的俯视图是三角形；B．圆锥的俯视图是带圆心的圆；
C．正方体的俯视图是正方形；D．圆柱的俯视图是不带圆心的圆．故选：B．
2．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．五棱柱 B．圆柱 C．长方体 D．五棱锥
【答案】A
【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案．
【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱，
故选A．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图．
3．（2023上·广东·九年级专题练习）如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形从三个不同方向看得到的图形，这些相同的小正方体的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查简单几何的三视图，解题的关键是由图各行各列的小正方体的个数．由俯视图得到有有三列，第一行第一列只能有1个正方体，第二列共有3个正方体，第一行第三列有1个正方体即可得到答案．
【详解】解：第一行第一列只能有1个正方体，第二列共有3个正方体，
第一行第三列有1个正方体，共需正方体（个），故选：B．
4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答．
【详解】解：根据俯视图上层为圆，下层为矩形，
主视图上层为矩形，下层也为矩形，
左视图都是矩形，可得这个几何体上层为一个圆柱，下层为柱体，两者的高差不多相等，故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5．（2023·河南周口·校联考三模）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，若其左视图的面积为2，则其俯视图的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据俯视图的定义，画出俯视图，即可求解；
【详解】解：如图，俯视图为： 面积为．故选：C．
【点睛】本题考查了俯视图的定义，会根据定义画出相应的视图是解题的关键．
6．（2023下·陕西榆林·九年级校考开学考试）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三视图的定义逐个判断即可．
【详解】解：根据主视图可排除选项A、B，
根据左视图可排除选项D，再根据俯视图可判断选项C符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，解答的关键是理解三视图的定义：从正面看到的视图是主视图；从左面看到的视图是左视图；从上面看到的视图是俯视图．注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
7．（2023上·广东佛山·九年级西樵中学校联考期中）由若干个相同小正方体搭成的几何体从正面和上面看到的图形如图所示，则构成这个几何体至少需要（ ）个小正方体．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了立体几何中的三视图，灵活运用空间想象能力，掌握对三视图即从上面、左面、正面观察图形的特点是解答本题的关键．
由从正面看的图形得到：这个几何体共有层，由从上面看的图形得到：第一层小正方体个数为，再由从正面看的图形得到：第二层至少有个小正方体，得到答案．
【详解】解：由从上面看的图形得到：最底层有个小正方体，再由从正面看的图形得到：第二层至少有个小正方体，那么构成这个几何体小正方体至少需要个．故选：．
8．（2023·河北唐山·统考二模）如图，是一个长方体的三视图，则该长方体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三视图确定长方体的尺寸，从而求得体积即可．
【详解】观察三视图发现该长方体的长、宽、高分别为、、
依题意可求出该几何体的体积为故选：C．
【点睛】考查了由三视图判断几何体，本题要先判断出几何体的形状，然后根据其体积公式进行计算即可．
9．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由大小两个圆柱组成，从而根据三视图的特点得知高和底面直径，代入体积公式计算即可．
【详解】解：由三视图可知，几何体是由大小两个圆柱组成，
故该几何体的体积为：．故选：D．
【点睛】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，由该三视图中的数据确定圆柱的底面直径和高是解本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想．
10．（2023·浙江·九年级专题练习）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多由a个小正方体组成，最少由b个小正方体组成，则等于（ ）
A．10 B．11 C．12
【答案】C
【分析】根据主视图和俯视图可得左边后排最多有3个，左边前排最多有3个，右边只有1个，图中的小正方体最多7块，左边后排最少有1个，左边前排最多有3个，右边只有1个，图中的小正方体最少5块，即得
本题主要考查了由三视图判定小正方体的个数，解决问题的关键是熟练掌握由主视图和俯视图判定左边前、后排小正方体最多或最少个数，右边小正方体个数．
【详解】结合主视图和俯视图可知，左边后排最多有3个，左边前排最多有3个，右边只有一层，且只有1个，∴图中的小正方体最多7块．
结合主视图和俯视图可知，左边后排最少有1个，左边前排最多有3个，右边只有一层，且只有1个，
∴图中的小正方体最少5块．．故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·安徽宿州·九年级校考阶段练习）一个几何体由13个大小相同的小立方块搭成.这个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的搭法共有 种（三视图中没有空白部分）.
【答案】3
【分析】本题考查了三视图的应用，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【详解】解：由俯视图得，最底层有9个小立方块，还有个，
从主视图可知，此立方体共有3层，结合左视图可知第二层有3个小立方块，
第三层有1个小立方块，位置固定，搭法如下图：
结合图形可知共有3种搭法，故答案为：3．
12．（2023上·广东梅州·九年级校考期中）三视图都是等大圆形的几何体是 ；三视图都是等大正方形的几何体是 ．
【答案】 球体 正方体
【分析】本题主要考查几何体的认识，解题的关键是理解题意；根据题意及结合三视图可进行求解．
【详解】解：三视图都是等大圆形的几何体是球体；三视图都是等大正方形的几何体是正方体；
故答案为球体，正方体．
13．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】此题考查了由三视图判断几何体，以及求圆柱体的体积， 由三视图易得此几何体为圆柱的一半，圆柱的体积底面积高，把相关数值代入即可求解，解决本题的关键是得到此几何体的形状，易错点是得到计算此几何体所需要的相关数据．
【详解】解：由三视图可知，此几何体为圆柱体的一半，
∴体积为：，故答案为：．
14．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，要保持从上面和左面看到的形状图不变，最多可以同时拿走 个小正方体．
【答案】1
【分析】本题考查了三视图的画法，根据左视图和俯视图求解即可，综合分析两种视图是解题的关键．
【详解】解：要保持从上面和左面看到的形状图不变，
从左面看：，从上面看：
则从正面看，第二列第二层最多可以拿走1个，故答案为：1．
15．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）如图是一个三棱柱的三视图，中，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了由三视图解决实际问题，过点E作于点Q，根据三视图的对应情况可得出，，再由直角三角形的性质，进而求出即可．
【详解】解：过点E作于点Q，
由题意得： ，∵，∴，
∵，∴，∴．故答案为：
16．（2023上·内蒙古包头·九年级校考期中）如图是一个几何体的三视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可求得它的体积是 ．
【答案】240
【分析】本题主要考查了根据三视图求体积，解题的关键是把三视图还原为立体图形．由三视图可知该几何体是四棱柱，其中棱柱的高是10，底面是菱形，且菱形的两条对角线的长为8，6，然后结合菱形面积公式求出底面的面积，再乘以高便可得出该几何体的体积．
【详解】解：该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形形，可确定这个几何体是一个四棱柱，依题意可求出该几何体的体积为．故答案为：240．
17．（2023上·广东清远·九年级统考期末）如图所示是某工件的三视图，此工件是 形，它的体积是 ．（结果保留）
【答案】 圆锥 /立方厘米
【分析】由三视图可知，该几何体为圆锥，根据，计算求解即可．
【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥，圆锥地面的直径为，圆锥的高为，
∴，故答案为：圆锥，．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，圆锥的体积．解题的关键在于识别几何体的形状．
18．（2023·河北唐山·九年级统考期末）如图，是一个长方体的三视图，已知长方体的高为x，其俯视图和左视图的面积分别为，．
(1)用表示此长方体的长为______、宽为______；
(2)当时，此时长方体的体积为______．
【答案】(1)、(2)48
【分析】考查了由三视图判断几何体，本题要先判断出几何体的形状，然后根据其体积公式进行计算即可（1）根据三视图可知几何体为长方体，然后由俯视图和左视图的面积可得长方体的长、宽、高，即可求出答案（2）由（1）得出长方体的长、宽、高．根据长方体的体积长宽高，把代入即可求出答案．
【详解】（1）根据三视图可知几何体为长方体，如图
其俯视图和左视图的面积分别为， ，
长方体的长为、宽为；
（2）由（1）得长方体的长为、宽为，高为x，
长方体的体积长宽高，长方体的体积，
当时时，，
即当时，此时长方体的体积为48．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·江西萍乡·九年级校考期中）从正面和上面看由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体得到的形状图如图所示．
(1)请你画出一种这个几何体的从左面看到的形状图；
(2)若组成这个几何体的小正方体的个数为，请你写出n的所有可能值．
【答案】(1)图形见详解；(2),,,,
【分析】（1）根据主视图结合俯视图还原所有可能的摆放方式，任选一种画出左视图即可．
（2）将小正方体最少的情况和最多的情况依次找出，并用俯视图表示出来即可，本题考查空间想象能力，能够根据三视图中的任意两图还原出立方体可能的情况是解决本题的关键．
【详解】（1）解：如图所示意，从左面看到的形状可能为：
（任选其中一种即可）；
（2）解：小正方体数量数量有以下几种情况（由俯视图表示）：
则的所有可能值为：,,,,．
20．（2023上·江西吉安·九年级校考期中）（1）解方程：．
（2）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，求该几何体的体积．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三视图，熟练掌握一元二次方程的解法及三视图是解题的关键；（1）根据因式分解法可求解方程；
（2）根据三视图可知该几何体是三棱柱，然后根据三棱柱的体积公式可进行求解．
【详解】解：（1）
解得：；
（2）由三视图可知该几何体是三棱柱，且三棱柱的高为，底面为边长为的等边三角形，如图，
∴，∴，∴该几何体的体积为．
21．（2023上·福建泉州·九年级校联考阶段练习）如图是一个立体图形从三个不同方向看所得到的形状图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积（结果保留）．
【答案】圆柱，立方厘米
【分析】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．从三视图可得，正视图以及左视图为矩形，而俯视图为圆形，故可以得出该立体图形为圆柱．由三视图可以得到圆柱的半径，长和高，进而得出体积．
【详解】解：由三视图可得，该立体图形为圆柱．
圆柱的底面半径，高，
圆柱的体积（立方厘米）．
答：这个圆柱的体积为立方厘米．
22．（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）如图①，是两个长方体组合的几何体．
(1)图②和图③是它的两种视图，图②是 视图，图③是 视图；（填“主”“左”或“俯”）
(2)根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的体积．
【答案】(1)主，俯 (2)21
【分析】本题考查了三视图，求长方体体积．
（1）根据三视图是定义“从正面看到的是主视图，从上面看到的是俯视图，从左边看到的是左视图”，即可解答；
（2）根据这个组合图形的体积等于两个长方体的体积之和，即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得：图②是主视图，图③是俯视图；故答案为：主，俯．
（2）解：由题意：这个几何体的体积是：，
这个几何体的体积是21．
23．（2023·浙江·九年级专题练习）某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图（如图）的尺寸计算其体积．（球的体积公式：其中r为球的半径）
【答案】不倒翁的体积为：
【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状为：下部是底面半径为的半球，上部为底面半径为，母线长13cm的圆锥组成的组成体，代入圆锥体积公式和球的体积公式，即可得到答案．
【详解】解：此几何体是圆锥和半球的组合体，
如图所示：
∵，，∴，∴，
∴上面圆锥的体积为：，
下面半球体积为：
∴该几何体的容积为：．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体、几何体体积的计算，正确得出几何体的组成是解题关键．
24．（2023上·山西运城·九年级校考期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为．
(1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全；
(2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________；
(3)左视图中矩形的面积为________；(4)这个四棱柱的体积为________．
【答案】(1)见解析(2)(3)(4)
【分析】（1）根据所在的面在前，所在的面在后，得到主视图中应补充两条虚线，画出图形即可；（2）由俯视图为等腰梯形，可得，再根据四棱柱的侧面积为，计算即可得出答案；（3）作于，于，则四边形是矩形，证明得到，由勾股定理计算出，由此即可得出答案；（4）先由梯形的面积公式计算出底面积，再乘以高即可得到答案．
【详解】（1）解：所在的面在前，所在的面在后，
主视图中应补充两条虚线，
补充完整如图所示：
（2）解：俯视图为等腰梯形，，
该四棱柱的侧面积为，，
，故答案为：；
（3）解：如图，作于，于，
，
俯视图为等腰梯形，，，
，，，
，，四边形是矩形，
，，，，
，，
，
左视图中矩形的面积为：，故答案为：8；
（4）解：由题意得：这个四棱柱的体积为，故答案为：32．
【点睛】本题考查了几何体的三视图、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰梯形的性质、求几何体的体积等知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
25．（2023上·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）．
探究：如图，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图所示．
解决问题：
（1）与的位置关系是_____，的长是______；
（2）求液体的体积（直三棱柱的体积底面三角形的面积高）；
（3）求的度数．（注：，）
【答案】（1）平行；3；（2）；（3）；
【分析】（1）如图可直接得到与的位置关系，再由勾股定理求的长；
（2）根据三视图得到直三棱柱的边长，再由直棱柱体积＝底面积×高，即可求得；
（3）根据两直线平行内错角相等和三角函数值，即可求得．
【详解】解：（1）由题意可得：，
由主视图可得：，由左视图可得：，而，∴；
（2）液面的体积为：；
（3）∵，∴，
在中，，∴，∴．
【点睛】本题考查直线的位置关系、勾股定理、根据三视图计算几何体的体积，以及根据三角函数求角度问题，属于综合基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.3 由三视图描述几何体
模块1：学习目标
1.会根据简单几何体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原图；
2.通过讨论简单立体图形与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；
模块2：知识梳理
1.由三视图想象几何体的形状
由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
注意：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：（1）根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；（2）根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；（3）熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；（4）利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.
模块3：核心考点与典例
考点1、由三视图还原几何体
例1．（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图是一个几何体的俯视图，这个几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥 B．长方体 C．三棱柱 D．圆柱
变式2.（2023上·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
考点2、由三视图判断小立方体的个数
例1．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的左视图和俯视图，这些相同的小正方体的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
变式1. （2023·山东济南·九年级统考期中）如图是由一些相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则组成这个立体图形的小正方体的个数是 ．
变式2. （2023·江苏九年级期中）小颖同学到学校领来盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，其三视图如图，则的值是 .
考点3、由三视图求最多（最少）的小立方体的个数
例1．（2023上·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）用小立方块搭成的几何体，从左面看和从上面看如下，这样的几何体最多要个小立方块，最少要个小立方块，则等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．1
变式1. （2022上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从正面和左面看到的形状图，则搭成该几何体需要的小正方体个数最多是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
变式2. （2023上·重庆南岸·九年级校考期中）一个几何体的从正面看和从上面看如图所示，若这个几何体最多由个小正方体组成，最少由个正方体组成，则等于 ．
考点4、已知三视图求几何体的体积（1）
例1．（2023·安徽淮北·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．125 B．100 C．75 D．30
变式1．（2023·山东临沂·统考二模）如图图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为和，俯视图是直径等于的圆，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023下·浙江·九年级专题练习）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点5、已知三视图求几何体的体积（2）
例1．（2022上·广东茂名·九年级校考期中）某几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它从正面和上面看到的图形如图所示的，求该几何体的体积．（取3.14，单位：）
变式1．（2022上·重庆南岸·九年级统考期末）如图，是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，铸灌这个几何体需要的铁的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023上·江西抚州·九年级校考期中）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积 ．
考点6、已知三视图求长度
例1．（2023·江苏南京·校考三模）如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
变式1．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（ ）
A．6cm B． C． D．4cm
变式2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（ ）
A．320cm B．395.2cm C．297.8cm D．480cm
变式3.（2023上·江苏无锡·九年级校联考期末）一透明的敞口正方体容器装有液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（注：图中α，图中）．
(1)探究如图，液面刚好过棱，并与棱交于点，其三视图及尺寸如图所示，那么：图中，液体形状为（填几何体的名称）；
(2)利用图中数据，可以算出图中液体的体积为 ．（公式：体积底面积高）
(3)拓展在图的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，液面与棱交于点、（始终在棱上），设，请你在下图中把此容器主视图补充完整，并用含的代数式表示的长度．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·陕西渭南·九年级校考期末）如图，是某几何体的俯视图，该几何体是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．五棱柱 B．圆柱 C．长方体 D．五棱锥
3．（2023上·广东·九年级专题练习）如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形从三个不同方向看得到的图形，这些相同的小正方体的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河南周口·校联考三模）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，若其左视图的面积为2，则其俯视图的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023下·陕西榆林·九年级校考开学考试）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·广东佛山·九年级西樵中学校联考期中）由若干个相同小正方体搭成的几何体从正面和上面看到的图形如图所示，则构成这个几何体至少需要（ ）个小正方体．
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2023·河北唐山·统考二模）如图，是一个长方体的三视图，则该长方体的体积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·山东烟台·九年级统考期中）如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023·浙江·九年级专题练习）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多由a个小正方体组成，最少由b个小正方体组成，则等于（ ）
A．10 B．11 C．12
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·安徽宿州·九年级校考阶段练习）一个几何体由13个大小相同的小立方块搭成.这个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的搭法共有 种（三视图中没有空白部分）.
12．（2023上·广东梅州·九年级校考期中）三视图都是等大圆形的几何体是 ；三视图都是等大正方形的几何体是 ．
13．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （结果保留）．
14．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，要保持从上面和左面看到的形状图不变，最多可以同时拿走 个小正方体．
15．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）如图是一个三棱柱的三视图，中，，，则的长为 ．
16．（2023上·内蒙古包头·九年级校考期中）如图是一个几何体的三视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可求得它的体积是 ．
17．（2023上·广东清远·九年级统考期末）如图所示是某工件的三视图，此工件是 形，它的体积是 ．（结果保留）
18．（2023·河北唐山·九年级统考期末）如图，是一个长方体的三视图，已知长方体的高为x，其俯视图和左视图的面积分别为，．
(1)用表示此长方体的长为______、宽为______；(2)当时，此时长方体的体积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·江西萍乡·九年级校考期中）从正面和上面看由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体得到的形状图如图所示．(1)请你画出一种这个几何体的从左面看到的形状图；
(2)若组成这个几何体的小正方体的个数为，请你写出n的所有可能值．
20．（2023上·江西吉安·九年级校考期中）（1）解方程：．
（2）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，求该几何体的体积．
21．（2023上·福建泉州·九年级校联考阶段练习）如图是一个立体图形从三个不同方向看所得到的形状图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积（结果保留）．
22．（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）如图①，是两个长方体组合的几何体．
(1)图②和图③是它的两种视图，图②是 视图，图③是 视图；（填“主”“左”或“俯”）
(2)根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的体积．
23．（2023·浙江·九年级专题练习）某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图（如图）的尺寸计算其体积．（球的体积公式：其中r为球的半径）
24．（2023上·山西运城·九年级校考期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为．
(1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全；
(2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________；
(3)左视图中矩形的面积为________；(4)这个四棱柱的体积为________．
25．（2023上·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）．探究：如图，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图所示．解决问题：（1）与的位置关系是_____，的长是______；
（2）求液体的体积（直三棱柱的体积底面三角形的面积高）；
（3）求的度数．（注：，）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
