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专题3.4 简单几何体的表面展开图
模块1：学习目标
1. 知道什么是直棱柱的表面展开图；
2. 能画出立方体的各种表面展开图；
3. 会利用直棱柱表面展开图进行相关计算。
模块2：知识梳理
1.常见立方体的展开图
立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。
1.正方体的展开图有如下几种情况：
中间四个面，上下各一面:
中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线:
2.长方体的展开图
3.圆柱的展开图
（1）圆柱侧面展开图
=；圆柱的体积：
4.圆锥侧面展开图
（1）=；（2）圆锥的体积：；（3）圆心角：。
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）
模块3：核心考点与典例
考点1、几何体的展开图
例1．（2023·浙江九年级专题练习）下列图形不是一个几何体的表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用常见几何体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：A．图形是三棱锥的表面展开图，本选项不符合题意；
B．图形是三棱柱的表面展开图，本选项不符合题意；
C．不是一个几何体的表面展开图，本选项不符合题意；
D．图形是四棱柱的表面展开图，本选项不符合题意．故选：C
【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是掌握常见几何体的展开图的特征．
变式1．（2023·广东广州市·九年级期末）如图，下列图形中，①能折叠成_____，②能折叠成_____，③能折叠成_____．
【答案】圆柱 五棱柱 圆锥
【分析】根据圆柱、棱柱、圆锥的展开图形状特点判断即可．
【详解】解：①圆柱体侧面展开图是一个长方形，两个圆，故①能折叠成圆柱；
②五棱柱的侧面展开图是上、下两个相同的五边形，侧面展开图是一个长方形，故②能折叠成棱柱；
③圆锥侧面展开图是一个圆（底面）+侧面（扇形），故③能折叠成圆锥，故答案为：圆柱，五棱柱，圆锥．
【点睛】本题考查立体图形的侧面展开图，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
变式2．（2023·江苏九年级二模）下面不是正方体展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】正方体展开图共分四种模型，依次为“1—4—1型”、“2—3—1型”、“2—2—2型”、“3—3型”，据此进一步判断即可．
【详解】A选项属于正方体展开图的1—4—1型；B选项属于正方体展开图的2—3—1型；
D选项属于正方体展开图的2—2—2型；以上三者皆可折叠成一个正方体，
C选项不能，因为在折叠过程之中会有正方形重叠，故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方体展开图的识别，熟练掌握相关概念是解题关键．
考点2、圆锥展开图之求侧面积（全面积）
例1．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后求得直径即可．
【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则，
根据题意得：，解得：，
侧面积为：，底面积为：
所以圆锥的表面积为：，故选：B．
变式1．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）若一个圆锥的底面半径长是，母线长是，则这个圆锥的侧面积= ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥侧面积，熟练掌握扇形弧长与扇形半径乘积的一半的面积公式是解题关键．由已知可求得圆锥的底面圆的周长，且圆锥的侧面展开图是扇形，则根据公式：扇形弧长扇形半径，即可求出圆锥的侧面积．
【详解】解：∵圆锥的底面半径长为，∴圆锥底面圆的周长为：，
∴圆锥侧面积．故答案为：．
变式2．（2023上·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质．
（1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算．
【详解】（1）解：根据题意得，
，∴；
（2）解：，，，而，，
．
考点3、圆锥展开图之求半径
例1．（2023上·福建莆田·九年级校考阶段练习）已知圆锥的母线长是，侧面展开图的面积是，则此圆锥的底面半径是 ．
【答案】3
【分析】此题考查了圆锥的侧面展开图的面积，设底面半径为，则底面周长，根据圆锥的侧面展开图的面积列方程求解即可．解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面展开图的面积公式．
【详解】解：设底面半径为，则底面周长，
圆锥的侧面展开图的面积，，故答案为：3．
变式1．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）若一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径长是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设这个圆锥的底面半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解方程求出即可．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径为，
根据题意得，解得，
所以这个圆锥的底面半径长为．故答案为4．
变式2．（2022上·湖北武汉·九年级统考阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的底面半径是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了圆锥的相关计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的形状是解题关键．根据“圆锥的底面圆的周长等于其展开图的扇形的弧长”即可得答案．
【详解】解：设该圆锥的底面半径是，
由题意得：，解得，故答案为：1．
考点4、圆锥展开图之求高
例1．（2023上·新疆省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断。关键是由折叠的性质得出含的直角三角形；
过点作，垂足为，交于点，由折叠的性质可知为半径的一半，而为半径，可求，同理可得，在中，由内角和定理求，然后求得弧的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．
【详解】解：过点作，垂足为，交于点，
由折叠的性质可知，，
由此可得，在中，，则同理可得，
在中，由内角和定理，得，
∴弧的长为，设围成的圆锥的底面半径为，
则，∴，∴圆锥的高为．故选：A．
变式1.．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）用圆心角为，弧长为的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的高为 ．
【答案】
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径为1，设利用弧长公式求出母线长，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，则，解得；
设圆锥的母线长为，则，解得，
所以圆锥的高．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
变式2.（2023上·甘肃定西·九年级统考阶段练习）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高．
【答案】圆锥的高为．
【分析】本题考查了圆锥的计算，重点考查了扇形的弧长公式．求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】解：扇形的弧长，圆锥的底面半径为，
故圆锥的高为：．
考点5、圆锥展开图之求圆心角
例1．（2023上·河南驻马店·九年级统考阶段练习）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设扇形的圆心角为，
∵圆锥的底面圆周长为，母线长为，
∴，解得，即扇形的圆心角为．故选：C．
变式1.（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数．
【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为，∴侧面展开图弧长，
∵侧面积为，，∴，解得：，
∵，∴，解得：，∴这个扇形的圆心角的度数是，故选：D．
变式2．（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 ．
【答案】/120度
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，
根据题意得，解得，
所以侧面展开图的圆心角为．故答案为：．
考点6、圆锥展开图之求母线
例1．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等圆锥的母线长是解题的关键，设该圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面积公式得到方程，然后解方程即可得到答案．
【详解】解：设该圆锥的母线长为，根据题意得，解得，
即该圆锥的母线长是9．故选：C．
变式1．（2023上·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为的圆锥体，则该扇形的母线的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积的计算公式进行求解即可，熟练掌握圆锥侧面积公式是解此题的关键．
【详解】解：设圆锥的母线长为，由题意得：，解得：，故选：D．
变式2．（2023上·云南昭通·九年级校考期中）圆雉底面半径为，侧面积为，则圆雉的母线长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得，，解得，，故答案为：．
考点7、圆锥侧面上的最短路径问题
例1．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．
【答案】
【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得．
【详解】解：∵，，，∴
∴圆锥的底面周长是，则∴，
即圆锥侧面展开图的圆心角是，如图所示，∴，
∵为母线的中点，∴，
∴在圆锥侧面展开图中，
∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：，故答案为：．
【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算．
变式1.（2023上·山东东营·九年级校考期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】把圆锥的侧面展开得到圆心角为120°，半径为60的扇形，求出扇形中120°的圆心角所对的弦长即为最短路径．
【详解】解：圆锥的侧面展开如图：过作,∴
设∠ASB＝n°，即：，得：，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，特殊角的锐角三角函数值，将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键．
变式2.（2022上·重庆·八年级重庆八中校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．
【答案】3
【分析】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出即可解答．
【详解】解：如图，连接，作于点，∴即为蚂蚁爬行的最短距离，
∵，，∴，
在中，，，∴，
∴，在中，，，∴，
∴．∴蚂蚁爬行的最短距离为3．故答案为：3
【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
考点8、求小立方体堆砌图形的表面积
例1．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图是一些棱长为1cm 的小立方块组成的几何体．
(1)请画出这个几何体的三视图．(2)如果在其表面喷上黄色的油漆（几何体放在地上，底面无法涂漆），每平方厘米用2克，则共需 克漆．(3)如果保持从主视图和俯视图形状不变，最多可以再添加______个小立方块．
【答案】(1)见解析(2)56克(3)2
【分析】本题主要考查三视图的作图、求表面积、按条件增加方块等知识点，审清题意、正确画出三视图是解题的关键．（1）直接根据三视图的定义，画出图形即可解答；
（2）求出这个几何体的表面积，然后再乘以2即可解答；
（3）主视图和俯视图不变，构成图形即可解答；
【详解】（1）解：这个几何体的三视图如图所示：
（2）解：这个几何体的表面有34个正方形，去了地面上的6个，28个面需要喷上黄色的漆，
∴表面积为，克，∴共需56克漆．故答案为56．
（3）解：如果保持主视图和俯视图形状不变，，最多可以再添加2个．
故答案为2．
变式1.（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）用若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，在这个大正方体的个面上都涂上红色．其中只有个面涂上红色的小正方体有个，则拼成这个大正方体的小正方体个数一共有 个．
【答案】
【分析】本题主要考查立体几何图形的特征，根据正方体的形体特征进行判断、计算即可．
【详解】解：大正方体的个面上涂上红色．只有个面涂上红色的小正方体在大正方体的条棱上（除去个顶点处），
∴每一条棱上只有面涂色的正方体有（个），
∵每一条棱上有小正方体的个数是（个），
∴拼成这个大正方体的小正方体个数一共有（个），故答案为：．
变式2.（2023上·山东青岛·九年级统考阶段练习）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示：
(1)请画出这个几何体从正面、左面、上面看到的几何体的形状图；
(2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需______克漆；
(3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左边看不变，最多可以再添加______个小正方体．
【答案】(1)见解析(2)64(3)4
【分析】本题考查作图三视图，解题的关键是理解题意，学会正确作出三视图．
（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；
（2）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量；
（3）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量．
【详解】（1）解：这个几何体从正面、左面、上面看到的几何体的形状图：
（2）解：（克），故答案为：64；
（3）解：在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示：
其中红色的数字是相应位置添加的最多数量，因此最多可添加4块．故答案为：4．
变式3.（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，是由一些棱长都为1个单位长度的小正方体组合成的简单几何体．
(1)请在如图网格（每个小正方形的边长为1个单位长度）中画出该几何体的俯视图和左视图．
(2)该几何体的表面积（含下底面）是______；
(3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小立方块．
【答案】(1)见解析(2)(3)2
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，关键是掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．（1）根据俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形进行画图即可； （2）分别找到前后左右上下六个面中露在外面的小正方体的面的个数，再根据每个面的面积为1进行求解即可；（3）若使该几何体俯视图和左视图不变，可在从左数第2，3列后排小正方体上分别添加1，1块小正方体．
【详解】（1）解：
（2）解：由题意得，该几何体的表面为；
（3）解：要使俯视图不变，可以在左边一列后排添加无数个小正方体，在中间一列的前排和后排都添上无数个正方体，在右边一列后排添加无数个小正方体，要想左视图不变，则可以在中间一列的后排添上一个正方体，在右边一列前排和后排添加一个小正方体，以及可以在第四列以及后面的列的前排添加一个小正方体，后排添加一个或两个小正方体，
∴要同时保证左视图和俯视图不变，则最多可以添加2个小正方体，故答案为：2．
考点9、圆柱的相关计算
例1．（2023上·广东佛山·九年级佛山六中校考期中）已知下图为一几何体从三个方向看到的形状图．
(1)写出这个几何体的名称______；(2)画出它的侧面展开图；
(3)根据图中所给的数据，求这个几何体的侧面积．（结果保留）
【答案】(1)圆柱(2)侧面展开图见解析(3)这个几何体的侧面积为
【分析】本题主要考查了三视图、几何体的侧面展开图及几何体的侧面积计算方法，理解、看懂三视图是解题关键．（1）根据三视图的特征即可得出几何体；
（2）根据圆柱体的特征，侧面展开为一个长方形，即可获得答案；（3）根据三视图可知：底面圆的直径为，圆柱的高为，根据圆柱侧面积的计算公式即可求得答案．
【详解】（1）解：根据题目中已知的三视图符合圆柱体的三视图特征，故这个几何体为圆柱．
故答案为：圆柱；
（2）侧面展开图如图所示：
（3）
根据三视图可知：底面圆的直径为，圆柱的高为，
∴这个几何体的侧面积为：
答：这个几何体的侧面积为．
变式1. （2023·黑龙江·统考三模）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ）
A．米2 B．米2 C．米2 D．米2
【答案】A
【分析】由底面圆的半径＝5米，根据勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和．
【详解】解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米，
∴圆锥的母线长=米，∴圆锥的侧面积=，
圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高，即，
故需要的毛毡：米，故选：A．
【点睛】此题主要考查勾股定理，圆周长公式，圆锥侧面积，圆柱侧面积等，分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键．
变式2．（2023上·浙江九年级课时练习）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为，外围高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（取3.142，结果取整数）？
【答案】
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥母线l的长，再计算圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，然后计算20个蒙古包所需毛毡的面积．
【详解】解：如图是一个蒙古包的示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为，高；上部圆锥的高．
圆柱的底面圆的半径，侧面积为．
圆锥的母线长，侧面展开扇形的弧长为，
圆锥的侧面积为．
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡．
【点睛】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．注意在取近似值时需需面积应该用收尾法．
考点10、棱柱的相关计算
例1．（2023上·四川达州·九年级校考期末）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三视图，正方形的性质，长方体的表面积，根据主视图中的数据可得长方体的高和底边正方形的对角线长，进而求出正方形的边长，即可求解．
【详解】解：由图可知，俯视图中正方形的对角线长为，长方体的高为，
正方形的边长为，
这个长方体的表面积为，故选D．
变式1．（2023·四川成都市·九年级月考）一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为_____cm3．
【答案】6552
【分析】根据题意，从这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒．也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大；因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答．
【详解】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，=36×26×7，=6552cm3；故答案为：6552
【点睛】此题解答关键是理解当折成的纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的积最大；列方程求出减求的正方形的边长，再根据长方体的体积（容积）公式解答即可．
变式2．（2023上·河南平顶山·九年级统考期中）双十一购物狂欢节，天猫“某玩具旗舰店”对乐高积木系列玩具将推出买一送一活动．根据积木数量的不同，厂家会订制不同型号的外包装盒．所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积等于底面面积的2倍，如图1），并且乐高积木能恰好放入．
(1)如图2为若干包装好的同一型号玩具堆成几何体从三个方向看到的图形，则组成这个几何体的玩具有多少个（写出所有可能的值）；
(2)现要将两个同一型号的乐高积木包装在同一个大长方体的外包装盒内，已知单个乐高积木的长和高相等，且宽小于长．如图3所示，现有甲，乙两种摆放方式．
①请分别计算甲，乙两种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上）．
②计算两种摆放方式所需外包装纸板面积的差．
③请你对、、任取一个具体的数值，代入②中所得的面积差．并直接写出哪种摆放方式所需纸板面积更少．
【答案】(1)、、、个
(2)①甲种摆放方式：；乙种摆放方式：；②（答案不唯一）；③，，，；甲种摆放方式所需纸板面积更少
【分析】本题考查了整式的加减；从不同方向看几何体；
（1）根据题意从不同方向看的图形；分别得出最少个数与最多个数，即可求解；
（2）分别根据长方体的表面积公式+上盖的面积可得所需纸板面积，列出代数式，即可求解；
②根据整式的减法进行计算即可求解；
③根据题意，取，，，代入②中的代数式，即可比较大小．
【详解】（1）解：如图所示，最少个数为
最多个数为
∴组成这个几何体的玩具可能有：、、、个
（2）①甲种摆放方式：
乙种摆放方式：
②
③取，， 代入
（答案不唯一，但a的取值比b大，a、c取值相同．）甲种摆放方式所需纸板面积更少．
考点11、棱柱的相关计算
例1．（2023·浙江九年级专题练习）已知如图是一个长方体无盖盒子的展开图，．求：（1）求盒子的底面积．（2）求盒子的容积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由图分别得出底面的长和宽，求出底面面积即可；
（2）由图分别得出盒子的长、宽和高，求出盒子的体积即可．
【详解】（1）由图可知：底面为长为，宽为的长方形，
，
，
．答：盒子的底面积为．
（2）盒子的容积为：．答：盒子的容积为．
【点睛】本题考查长方体的展开图，将展开图对应边的长度转化为长方体对应边的长度是解题关键．
变式1．（2023·浙江九年级月考）某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如图所示，其中阴影部分为内部粘贴角料．（单位：毫米）
（1）此长方体包装盒的体积为 立方毫米；（用含x、y的式子表示）
（2）此长方体的表面积（不含内部粘贴角料）为 平方毫米；（用含x、y的式子表示）
（3）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，求当x＝40毫米，y＝70毫米时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米．
【答案】（1）65xy；（2）2（xy+65y+65x）；（3）23880平方毫米
【分析】（1）由长方体包装盒的平面展开图，可知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，根据长方体的体积＝长×宽×高即可求解；（2）根据长方形的面积公式即可地点结论；
（3）由于长方体的表面积＝2（长×宽+长×高+宽×高），又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，所以制作这样一个长方体共需要纸板的面积＝（1）×长方体的表面积．
【详解】解：（1）由题意，知该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，
则长方体包装盒的体积为：65xy立方毫米．故答案为65xy；
（2）长方体的表面积（不含内部粘贴角料）为：2（xy+65y+65x）立方毫米；故答案为：2（xy+65y+65x）；
（3）∵长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为65毫米，
∴长方体的表面积＝2（xy+65y+65x）平方毫米，
又∵内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，∴制作这样一个长方体共需要纸板的面积＝（1）×2（xy+65y+65x）（xy+65y+65x）xy+156y+156x（平方毫米），
∵x＝40，y＝70，∴制作这样一个长方体共需要纸板40×70+156×70+156×40＝23880平方毫米．
【点评】本题考查了长方体的平面展开图，长方体的体积与表面积公式，解题关键是掌握立体图形与平面展开图之间的关系，从图中得到长方体的长、宽、高．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·陕西西安·九年级统考期末）如图是一个几何体的平面展开图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查几何体的展开图，观察所给平面展开图即可选择．
【详解】解：由题图知，该平面展开图是由一个扇形和一个圆组成，
由圆锥的侧面展开图是扇形，地面是一个圆，可知该几何体是圆锥．故选：A．
2．（2023上·河南信阳·九年级校考阶段练习）一个圆锥的底面半径是，侧面积是，则圆锥的母线长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆锥侧面积公式的灵活运用，圆锥的侧面积底面半径母线长，根据此公式计算即可，熟练掌握公式是解此题的关键．
【详解】解：设圆锥的母线长为，由题意得：，解得：，
圆锥的母线长是，故选：C．
3．（2023上·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆锥表面积的计算：根据圆锥侧面积加上圆锥的底面面积计算即可．
【详解】解：根据题意得：．故选：B
4．（2023下·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图为国产歼15“飞鲨”战斗机的三视图，若想通过测量了解该战斗机的翼展长度（指机翼左右翼尖之间的长度），可以选择以下哪些视图进行测量（ ）
A．主视图或左视图 B．主视图或俯视图 C．左视图或俯视图 D．主视图或左视图或俯视图
【答案】B
【分析】根据题意，能测量该战斗机的翼展长度的是主视图或俯视图，据此即可求解．
【详解】解：能测量该战斗机的翼展长度的是主视图或俯视图，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
5．（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查圆锥的扇形弧长等于底面圆周长及两点间线段最短，根据扇形弧长等于底面圆周长求出圆心角，从而得到展开图中的的度数，结合两点间线段距离最短及勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵底面半径是，母线长为，∴，
∴侧面扇形圆心角为：，∴，
∵为母线中点，∴，由两点间线段距离最短得，，故选：B．
6．（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆锥展开图扇形弧长等于底面圆的周长，根据圆锥展开图扇形弧长等于底面圆的周长列式求解即可得到答案；
【详解】解：设，由题意可得，
，解得：，故选：B．
7．（2023上·吉林·九年级统考期末）如图，在扇形中，半径，的夹角为，点与点的距离，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键．利用弧长圆锥的底面周长这一等量关系可求解．
【详解】解：连接，过作于，
，，，，
，，故选：A
8．（2023·浙江·九年级专题练习）已知圆锥的侧面积为，底面半径为，则圆锥的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是旋转体，需熟练掌握圆锥的侧面积公式及圆锥的几何特征，由圆锥的侧面积公式，先求出圆锥的母线长，进而可得圆锥的高．
【详解】解：解：∵圆锥的侧面积为，底面半径为,
∴圆锥的母线长满足：，解得：,∴圆锥的高h＝,故选：B．
9．（2022·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为：圆锥的体积为，
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴，∴，解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
10．（2024上·湖北·九年级校考周测）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）
A．32 B． C．48 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三视图的表面积，勾股定理．根据题意可得几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，再根据勾股定理求出四棱锥的斜高，即可求解．
【详解】解：由三视图知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，如图所示，
∴四棱锥的斜高为，
故该四棱锥的表面积为．故选B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是 ，这个圆锥的全面积是 ．
【答案】
【分析】本题考出来圆锥关于圆锥的计算．根据圆锥的底面直径是，母线长，可以求出圆锥的底面半径是，周长是，底面积是，进而求出侧面展开图面积为，圆锥的全面积为．设圆锥的侧面展开图的圆心角是，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列出方程，即可求出，问题得解．
【详解】解：∵圆锥的底面直径是，∴圆锥的底面半径是，
∴圆锥的底面周长是，底面积是，侧面展开图面积为，∴圆锥的全面积为．
设圆锥的侧面展开图的圆心角是，由题意得，解得．
∴圆锥的侧面展开图的圆心角是，这个圆锥的全面积是．故答案为：，
12．（2023上·江苏南通·九年级如皋市实验初中校考阶段练习）已知圆锥的底面圆的半径为2cm，侧面积为，则该圆锥的母线长为 cm．
【答案】4
【分析】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．据圆锥侧面积公式求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，则，解得．故答案为：4．
13．（2023上·江苏宿迁·九年级校考期中）母线长为5的圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为 ．
【答案】/180度
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角，设圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r．根据数量关系得，进而得，即可求解，熟练掌握圆周侧面展开图的面积公式是解题的关键．
【详解】解：设圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r．
∴底面周长为：，底面面积为：，侧面积为：，
，，，故答案为：．
14．（2023上·湖北武汉·九年级统考阶段练习）沿一条母线将圆锥的侧面展开，若展开图扇形的圆心角为，则圆锥的高与底面圆的半径的比值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长与圆锥底面周长的关系，可以求出底面半径，再根据圆锥母线长等于展开后扇形半径，再利用勾股定理即可求解．
【详解】如下图所示，由于圆锥侧面展开图是扇形，并且扇形的圆心角为；
故设展开后扇形半径为，圆锥底面圆半径为；
扇形弧长=；∴；∴；
在直角三角形中，根据勾股定理；圆锥的高：；∴；答案：．
15．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，半径是．
（1）这个扇形的弧长是 ；
（2）若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式、圆锥的计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键．（1）根据弧长公式进行计算即可；
（2）设圆锥的底面半径为，由题意得：，求出，再由勾股定理进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意可得：这个扇形的弧长是，故答案为：；
（2）设圆锥的底面半径为，由题意得：，解得：，
这个圆锥的高是，故答案为：．
16．（2023·安徽·校联考二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．
【答案】22
【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数．
【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：，∴，
∴米堆的体积为：，∴米堆的斛数为：；故答案为：22．
【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大．
17．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
【答案】/
【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得．
【详解】画出圆锥侧面展开图如下：
如图，连接、，
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，
因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长，
所以，解得，则，
又，是等边三角形，点为的中点，，，
在中，，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．
18．（2023下·山东威海·九年级统考阶段练习）在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习：
如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，．
依据上述条件，小明得到如下结论：①；②；③若，则．正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】②③
【分析】由可得即可判断①；由化简可得；由和化简可得结果．
【详解】解：，，，，，
①错误，不符合题意；，②正确，符合题意；
，，，，③正确，符合题意；
综上所述，故答案为：②③．
【点睛】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图；解题的关键是熟练掌握圆锥和和展开图的关系．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·陕西延安·九年级校联考阶段练习）如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为8cm，当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，此时其母线长为9cm，求此时冰激凌外壳的侧面积（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查的是求解圆锥的侧面积，展开图的圆心角的大小，熟记公式是解本题的关键；本题先求解展开图的圆心角，再求解扇形的面积即可．
【详解】解：设该圆锥展开后所得扇形的圆心的度数为，
由题意得，冰激凌的底面圆的周长为：．
∵母线长为12cm，∴， 解得，即展开后所得扇形的圆心角的度数是．
∵吃掉一部分后母线长为9cm，∴此时冰激凌外壳的侧面积为：．
20．（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)若和关于原点成中心对称，则的坐标为________；
(2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的．
(3)在（2）的条件下用扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是________．
【答案】(1)；(2)见详解；(3)；
【分析】本题考查根据中心对称求关于原点对称的点的坐标，作旋转图形，圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆周长，（1）根据关于原点对称点的横纵坐标互为相反数；（2）本题考查作旋转图形，根据对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角直接作图即可得到答案；（3）本题考查圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆周长，勾股定理列式计算，根据此性质列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵和关于原点成中心对称，，
∴，故答案为：；
（2）解：根据对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角得，如图所示，
；
（3）解：由题意可得，，，
∴，解得：，故答案为：．
21．（2023上·江苏苏州·九年级校联考期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．
(1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h．
①求扇形的弧长；②则h的值为___________；
(2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________．
【答案】(1)①；②(2)
【分析】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案；
（2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案；
【详解】（1）解：①∵三角形是正三角形，∴，∴；
②由①得，，∴，∴；
（2）解：连接并延长交于点D，作于，
∵O是正三角形的中心，，
∴，，，
∴，是点到三角形边上最长的线段，
∴，解得：，∴，故答案为：
．
22．（2022上·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为．
(1)求它的侧面展开图的圆心角；(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可；
（2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为，
根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：，
又∵．，解得：．
∴它的侧面展开图的圆心角是90°；
（2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下：
根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径，
，B为的中点，由（1）知
∴∴它所走的最短路线长是．
【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．
23．（2023上·山东威海·九年级校联考期中）如图是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
(1)如图是根据，的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(2)在（）的条件下，已知，求该几何体的表面积．
【答案】(1)见解析；(2)．
【分析】（）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图；
（）根据俯视图和主视图即可求的值，进而可求该几何体的表面积；
本题考查了作图 三视图、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，解题的关键是理解立体图形和平面图形之间的关系．
【详解】（1）如图所示，图中的左视图即为所求；
（2）解：根据俯视图和主视图可知：，
∴，∴，∴，
∴表面积为()，
答：该几何体的表面积为．
24．（2023上·四川成都·九年级校考期中）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．
(1)请在图的方格中画出该几何体的主视图和左视图；(2)若每个小立方块的棱长为，涂该几何体的油漆价格为元/，求该几何体表面涂满油漆所需费用．
【答案】(1)见解析；(2)元．
【分析】本题考查了从不同方向看，几何体表面积，正确理解确定小正方体的个数是解题的关键．
（1）根据从正面看，从左面看的定义，画出即可；
（2）表面积等于上下面的个数即从上面看的图形正方形个数的倍；左右看的正方形面数，前后看的正方形面数，其和乘以一个正方形的面积即可，进而利用表面积乘以单价即可．
【详解】（1）解：
（2）解：∵小正方体的棱长为，∴每个小正方形的面积为，
∵ ，
∴几何体的上下面的个数为个，前后面的个数为个，左右面的个数为个，
∴几何体表面涂满油漆所需费用为：（元）．
25．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）某品牌饮水机可以近似地看成一个长方体减去半个圆柱体的几何体，它从正面看和从上面看的图形如图所示，长方体的长为5，宽为6，高为8，圆柱体的高为4， 底面直径为2．
(1)求该几何体的体积；（结果保留）
(2)现对该饮水机的正面区域进行涂色，求涂色面积．（结果保留）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意可得知该几何体的体积等于长方体体积减去半个圆柱体的体积，而该几何体底部圆柱的底面直径为2，高为4，由此即可解题；（2）正面区域面积等于一个矩形框面积+一个半圆柱体表面积，根据柱体的侧面面积=底面周长×高可得答案；．
【详解】（1）解：几何体的体积
（2）涂色面积
【点睛】本题考查了立体图形的三视图以及常见几何体的体积计算，结合图形得出圆柱底面直径和高以及长方体的长宽高是解题的关键．
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专题3.4 简单几何体的表面展开图
模块1：学习目标
1. 知道什么是直棱柱的表面展开图；
2. 能画出立方体的各种表面展开图；
3. 会利用直棱柱表面展开图进行相关计算。
模块2：知识梳理
1.常见立方体的展开图
立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。
1.正方体的展开图有如下几种情况：
中间四个面，上下各一面:
中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线:
2.长方体的展开图
3.圆柱的展开图
（1）圆柱侧面展开图
=；圆柱的体积：
4.圆锥侧面展开图
（1）=；（2）圆锥的体积：；（3）圆心角：。
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）
模块3：核心考点与典例
考点1、几何体的展开图
例1．（2023·浙江九年级专题练习）下列图形不是一个几何体的表面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·广东广州市·九年级期末）如图，下列图形中，①能折叠成_____，②能折叠成_____，③能折叠成_____．
变式2．（2023·江苏九年级二模）下面不是正方体展开图的是（ ）
A． B． C． D．
考点2、圆锥展开图之求侧面积（全面积）
例1．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023上·江苏淮安·九年级校考期中）若一个圆锥的底面半径长是，母线长是，则这个圆锥的侧面积= ．
变式2．（2023上·安徽阜阳·九年级统考阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为．
(1)求图2中圆锥的母线的长．(2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
考点3、圆锥展开图之求半径
例1．（2023上·福建莆田·九年级校考阶段练习）已知圆锥的母线长是，侧面展开图的面积是，则此圆锥的底面半径是 ．
变式1．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）若一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径长是 ．
变式2．（2022上·湖北武汉·九年级统考阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的底面半径是 ．
考点4、圆锥展开图之求高
例1．（2023上·新疆省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）
A． B． C． D．
变式1.．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）用圆心角为，弧长为的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的高为 ．
变式2.（2023上·甘肃定西·九年级统考阶段练习）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高．
考点5、圆锥展开图之求圆心角
例1．（2023上·河南驻马店·九年级统考阶段练习）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 ．
考点6、圆锥展开图之求母线
例1．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
变式1．（2023上·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为的圆锥体，则该扇形的母线的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2023上·云南昭通·九年级校考期中）圆雉底面半径为，侧面积为，则圆雉的母线长为 ．
考点7、圆锥侧面上的最短路径问题
例1．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是 ．
变式1.（2023上·山东东营·九年级校考期末）如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）
变式2.（2022上·重庆·八年级重庆八中校考期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ．
考点8、求小立方体堆砌图形的表面积
例1．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图是一些棱长为1cm 的小立方块组成的几何体．
(1)请画出这个几何体的三视图．(2)如果在其表面喷上黄色的油漆（几何体放在地上，底面无法涂漆），每平方厘米用2克，则共需 克漆．(3)如果保持从主视图和俯视图形状不变，最多可以再添加______个小立方块．
变式1.（2023上·江苏无锡·九年级统考期中）用若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，在这个大正方体的个面上都涂上红色．其中只有个面涂上红色的小正方体有个，则拼成这个大正方体的小正方体个数一共有 个．
变式2.（2023上·山东青岛·九年级统考阶段练习）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示：
(1)请画出这个几何体从正面、左面、上面看到的几何体的形状图；
(2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需______克漆；
(3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左边看不变，最多可以再添加______个小正方体．
变式3.（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，是由一些棱长都为1个单位长度的小正方体组合成的简单几何体．(1)请在如图网格（每个小正方形的边长为1个单位长度）中画出该几何体的俯视图和左视图．(2)该几何体的表面积（含下底面）是______；(3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小立方块．
考点9、圆柱的相关计算
例1．（2023上·广东佛山·九年级佛山六中校考期中）已知下图为一几何体从三个方向看到的形状图．
(1)写出这个几何体的名称______；(2)画出它的侧面展开图；(3)根据图中所给的数据，求这个几何体的侧面积．（结果保留）
变式1. （2023·黑龙江·统考三模）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ）
A．米2 B．米2 C．米2 D．米2
变式2．（2023上·浙江九年级课时练习）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为，外围高的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（取3.142，结果取整数）？
考点10、棱柱的相关计算
例1．（2023上·四川达州·九年级校考期末）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·四川成都市·九年级月考）一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为_____cm3．
变式2．（2023上·河南平顶山·九年级统考期中）双十一购物狂欢节，天猫“某玩具旗舰店”对乐高积木系列玩具将推出买一送一活动．根据积木数量的不同，厂家会订制不同型号的外包装盒．所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸箱（上盖纸板面积等于底面面积的2倍，如图1），并且乐高积木能恰好放入．
(1)如图2为若干包装好的同一型号玩具堆成几何体从三个方向看到的图形，则组成这个几何体的玩具有多少个（写出所有可能的值）；
(2)现要将两个同一型号的乐高积木包装在同一个大长方体的外包装盒内，已知单个乐高积木的长和高相等，且宽小于长．如图3所示，现有甲，乙两种摆放方式．
①请分别计算甲，乙两种摆放方式所需外包装盒的纸板面积（包装盒上盖朝上）．
②计算两种摆放方式所需外包装纸板面积的差．③请你对、、任取一个具体的数值，代入②中所得的面积差．并直接写出哪种摆放方式所需纸板面积更少．
考点11、棱柱的相关计算
例1．（2023·浙江九年级专题练习）已知如图是一个长方体无盖盒子的展开图，．求：（1）求盒子的底面积．（2）求盒子的容积．
变式1．（2023·浙江九年级月考）某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如图所示，其中阴影部分为内部粘贴角料．（单位：毫米）
（1）此长方体包装盒的体积为 立方毫米；（用含x、y的式子表示）
（2）此长方体的表面积（不含内部粘贴角料）为 平方毫米；（用含x、y的式子表示）
（3）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，求当x＝40毫米，y＝70毫米时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·陕西西安·九年级统考期末）如图是一个几何体的平面展开图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南信阳·九年级校考阶段练习）一个圆锥的底面半径是，侧面积是，则圆锥的母线长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图为国产歼15“飞鲨”战斗机的三视图，若想通过测量了解该战斗机的翼展长度（指机翼左右翼尖之间的长度），可以选择以下哪些视图进行测量（ ）
A．主视图或左视图 B．主视图或俯视图 C．左视图或俯视图 D．主视图或左视图或俯视图
5．（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）已知底面半径是，母线长为，为母线中点，现在有一只蚂蚁从底边一点出发．在侧面爬行到点，则蚂蚁在圆锥侧面爬行最短距离（ ）
A． B． C． D．6
6．（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·吉林·九年级统考期末）如图，在扇形中，半径，的夹角为，点与点的距离，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2023·浙江·九年级月考）已知圆锥的侧面积为，底面半径为，则圆锥的高是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024上·湖北·九年级校考周测）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）
A．32 B． C．48 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角是 ，这个圆锥的全面积是 ．
12．（2023上·江苏南通·九年级如皋市实验初中校考阶段练习）已知圆锥的底面圆的半径为2cm，侧面积为，则该圆锥的母线长为 cm．
13．（2023上·江苏宿迁·九年级校考期中）母线长为5的圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为 ．
14．（2023上·湖北武汉·九年级统考阶段练习）沿一条母线将圆锥的侧面展开，若展开图扇形的圆心角为，则圆锥的高与底面圆的半径的比值为 ．
15．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）已知一个扇形的圆心角是，半径是．
（1）这个扇形的弧长是 ；
（2）若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ．
16．（2023·安徽·校联考二模）《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．
17．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
18．（2023下·山东威海·九年级统考阶段练习）在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习：
如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，．
依据上述条件，小明得到如下结论：①；②；③若，则．正确的结论是 ．（填写序号）
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·陕西延安·九年级校联考阶段练习）如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为8cm，当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，此时其母线长为9cm，求此时冰激凌外壳的侧面积（结果保留）
20．（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)若和关于原点成中心对称，则的坐标为________；
(2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的．
(3)在（2）的条件下用扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是________．
21．（2023上·江苏苏州·九年级校联考期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．
(1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h．
①求扇形的弧长；②则h的值为___________；
(2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________．
22．（2022上·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为．(1)求它的侧面展开图的圆心角；(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？
23．（2023上·山东威海·九年级校联考期中）如图是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．(1)如图是根据，的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；(2)在（）的条件下，已知，求该几何体的表面积．
24．（2023上·四川成都·九年级校考期中）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．(1)请在图的方格中画出该几何体的主视图和左视图；(2)若每个小立方块的棱长为，涂该几何体的油漆价格为元/，求该几何体表面涂满油漆所需费用．
25．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期中）某品牌饮水机可以近似地看成一个长方体减去半个圆柱体的几何体，它从正面看和从上面看的图形如图所示，长方体的长为5，宽为6，高为8，圆柱体的高为4， 底面直径为2．
(1)求该几何体的体积；（结果保留）
(2)现对该饮水机的正面区域进行涂色，求涂色面积．（结果保留）
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