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专题3.5 投影与三视图 章末检测
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：该直口杯的主视图为故选：D．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
2．（2023·浙江·九年级校联考阶段练习）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】俯视图是从上面看所得到的图形．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．
【详解】解：从上面看，下层是一个小正方形，上层是三个小正方形．故选：C．
3．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后求得直径即可．
【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则，
根据题意得：，解得：，
侧面积为：，底面积为：
所以圆锥的表面积为：，故选：B．
4．（2023·河北张家口·统考三模）如图，是由4个完全相同的小正方体组成的几何体，现移动1号小正方体，使其与剩下的三个小正方体至少共一个面且移动前后的几何体的左视图不变，则移动的方法有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据左视图不变，分别移动1，2，3三个小正方形中的一个得出结论即可．
【详解】解：如图，由题意可得，移动1后，使移动前后的几何体的左视图不变，则1可以放在3的后面，2的前面或后面，即1有3种移动方法，故选：C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图是从物体的左侧观察所得的图形是解题关键．
5．（2023·河北保定·统考一模）如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ）
A．左视图 B．主视图 C．俯视图 D．左视图和俯视图
【答案】A
【分析】分别根据左视图、主视图和俯视图进行判断即可．
【详解】解：在滚动过程中主视图会发生变化；
在滚动过程俯视图会发生变化；在滚动过程左视图不会发生变化；故选：A．
【点睛】本题考查三视图，解题的关进是掌握三视图的相关知识．
6．（2023·浙江嘉兴·统考一模）在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别是，，则木杆在x轴上的投影的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，分别求得直线的解析式，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，，，
设直线的解析式为：，直线的解析式为：，
∴ 解得：，
∴，
中，当时，，则,
中，当时，，则 ∴，故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
7．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（ ）
A．6cm B． C． D．4cm
【答案】A
【分析】过点E作于点Q，根据三视图的意义，得到，用勾股定理计算即可．
【详解】过点E作于点Q，
根据三视图的意义，得到，
∵，，∴．故选A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图计算，正确理解三视图的意义是解题的关键．
8．（2022·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为： 圆锥的体积为，
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴，∴，解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．故选：B．
【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
9．（2022·安徽淮北·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．125 B．100 C．75 D．30
【答案】C
【分析】由三视图可知，几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，利用体积等于底面积乘以高进行计算即可．
【详解】解：由图可知：几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，
如图：设正六边形的中心为，，
则：，∴，，
∴，∴底面面积为：，
∴该几何体的体积为：；故选C．
【点睛】本题考查由几何体的三视图，求几何体的体积．解题的关键是根据三视图，还原几何体．
10．（2022·浙江金华·校联考一模）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，连接AB，根据展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得扇形的圆心角，进而解三角形即可求解．
【详解】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，
则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．
∵点B是母线PA的中点，，∴，∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，
又∵圆锥底面半径为1，∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即，
扇形的半径=圆锥的母线=PA=4，由弧长公式可得：∴扇形的圆心角，
在Rt△APB中，由勾股定理可得：，
所以 蚂蚁爬行的最短路程为，故选：C．
【点睛】.本题考查平面展开--最短路径问题、圆的周长计算公式、弧长计算公式，勾股定理等知识，解题的关键是“化曲为直”，将立体图形转化为平面图形．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了求圆锥底面半径，根据圆锥侧面积公式即可求解，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
【详解】解：设底面半径为，依题意得：，解得：，则圆锥底面半径为，故答案为：3．
12．（2023·山东菏泽·九年级统考期末）如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ．
【答案】俯视图
【分析】画出零件的三视图，根据该三视图，结合轴对称、中心对称的意义进行判断即可．
【详解】解：该几何体的三视图如下：
三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，故答案为：俯视图．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提．
13．（2023·陕西咸阳·九年级校考期中）王英站在距离路灯5米远处时，在该路灯灯光下的影长为2米，当她逐渐靠近路灯，站在距离路灯不到5米远的位置时，她在该路灯灯光下的影长可能为 米．
（写出一个正确结果即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据投影的性质特点，王英靠近路灯时，她在路灯下的影长会逐渐变短，即可求解．本题考查了投影的性质特点，熟练掌握投影的性质是解题的关键．
【详解】解：当王英靠近路灯时，她在该路灯灯光下的影长会逐渐变短，所以，她在该路灯灯光下的影长可能为米．（答案不唯一）；故答案为：（答案不唯一）
14．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】此题考查了由三视图判断几何体，以及求圆柱体的体积， 由三视图易得此几何体为圆柱的一半，圆柱的体积底面积高，把相关数值代入即可求解，解决本题的关键是得到此几何体的形状，易错点是得到计算此几何体所需要的相关数据．
【详解】解：由三视图可知，此几何体为圆柱体的一半，
∴体积为：，故答案为：．
15．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）如图是一个三棱柱的三视图，中，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了由三视图解决实际问题，过点E作于点Q，根据三视图的对应情况可得出，，再由直角三角形的性质，进而求出即可．
【详解】解：过点E作于点Q，
由题意得： ，∵，∴，
∵，∴，∴．故答案为：
16．（2023上·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图所示是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体从正面和从上面看到的图形，则这个几何体最少是由 个小正方体搭成的
【答案】6
【分析】易得这个几何体共有3层，由从上面看到的图形可得第一层立方体的个数，由从正面看到的图形可得第二、三层立方体的可能的个数，相加即可．
【详解】结合从正面看到的图形的列与从上面看到的图形一致可得，从上面看到的图形各个格子可能重复的正方体：
因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：个，
至多需要小正方体木块的个数为：个，
即这个几何体可能是由6或7或8个正方体搭成的．故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了几何体的三视图，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
17．（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，小阳发现电线杆 的影子落在土坡的坡面 和地面 上，量得 米，米，的坡度为：；且此时测得 米杆在地面上的影长为 米，则电线杆的高度为 米．
【答案】
【分析】本题考查的是平行投影，坡度的含义，如图，延长与的延长线交于 过作于 利用坡度先求解 再利用同一时刻物高与影长成比例求解 从而可得答案.
【详解】解：如图，延长与的延长线交于 过作于
设 则
因为同一时刻测得1米杆在地面上的影长为2米，
而
同理可得： 故答案为：
18．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．
（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
【答案】
【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可；
（2）过点作于点，证明，根据平行投影证明，根据，得出即可．
【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度，
∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为；故答案为：；
（2）过点作于点，如图所示：
则，∴，根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直，
∴，∴，∴，∴，
根据平行投影可知，当12点时，点在水平方向的投影为点E，经过n小时后，的投影在上，因此，∵， ∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移投影的有关知识，解题的关键是数形结合，发挥空间想象能力，根据平行投影得出．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图是某几何体的三视图，其俯视图是边长为的菱形．
(1)该几何体的名称是______；(2)请根据图中数据，计算该几何体的所有侧面的面积之和．
【答案】(1)四棱柱(2)
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及几何体侧面积的求解，注意计算的准确性．
（1）由三视图即可判断；（2）由俯视图是菱形可知侧面是全等的矩形，据此即可求解．
【详解】（1）解：由三视图可知该几何体是四棱柱故答案为：四棱柱
（2）解：∵四棱柱的底面是边长为的菱形，∴侧面是全等的矩形，
∴四棱柱所有侧面的面积之和为．
20．（2023上·山东威海·九年级校联考期中）如图是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
(1)如图是根据，的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(2)在（）的条件下，已知，求该几何体的表面积．
【答案】(1)见解析；(2)．
【分析】（）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图；（）根据俯视图和主视图即可求的值，进而可求该几何体的表面积；
【详解】（1）如图所示，图中的左视图即为所求；
（2）解：根据俯视图和主视图可知：，∴，∴，∴，
∴表面积为()，
答：该几何体的表面积为．
21．（2023上·江苏盐城·七年级统考期末）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长为1的小正方体堆成一个几何图所示.
(1)请画出这个几何体的三视图.(2)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体.(3)如果需要给原来这个几何体表面喷上红漆，则喷漆面积是多少？
【答案】(1)画图见解析；(2)4；(3)32
【分析】（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；
（2）俯视图和左视图不变，构成图形即可解决问题； （3）求出这个几何体的表面积即可解决问题．
【详解】（1）这个几何体有10个立方体构成，三视图如图所示；
（2）（2）在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个，（个），故最多可再添加4个小正方体，故答案为：4；
（3）这个几何体的表面有38个正方形，去了地面上的6个，32个面需要喷上红色的漆，
∴表面积为32，故喷漆面积为32．
【点睛】本题考查了三视图的画法，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示，注意涂色面积指组成几何体的外表面积．
22．（2023上·江苏苏州·九年级校联考期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．
(1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h．
①求扇形的弧长；②则h的值为___________；
(2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________．
【答案】(1)①；②(2)
【分析】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案；
（2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案；
【详解】（1）解：①∵三角形是正三角形，∴，∴；
②由①得，，∴，∴；
（2）解：连接并延长交于点D，作于，
．
∵O是正三角形的中心，，∴，，，
∴，是点到三角形边上最长的线段，
∴，解得：，∴，故答案为：
23．（2023上·山西运城·九年级校考期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为．
(1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全；
(2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________；
(3)左视图中矩形的面积为________；(4)这个四棱柱的体积为________．
【答案】(1)见解析(2)(3)(4)
【分析】（1）根据所在的面在前，所在的面在后，得到主视图中应补充两条虚线，画出图形即可；（2）由俯视图为等腰梯形，可得，再根据四棱柱的侧面积为，计算即可得出答案；（3）作于，于，则四边形是矩形，证明得到，由勾股定理计算出，由此即可得出答案；（4）先由梯形的面积公式计算出底面积，再乘以高即可得到答案．
【详解】（1）解：所在的面在前，所在的面在后，
主视图中应补充两条虚线，
补充完整如图所示：
（2）解：俯视图为等腰梯形，，
该四棱柱的侧面积为，，
，故答案为：；
（3）解：如图，作于，于，
，
俯视图为等腰梯形，，，
，，，
，，四边形是矩形，
，，，，
，，
，
左视图中矩形的面积为：，故答案为：8；
（4）解：由题意得：这个四棱柱的体积为，故答案为：32．
【点睛】本题考查了几何体的三视图、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰梯形的性质、求几何体的体积等知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
24．（2023·浙江台州·统考二模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．
(1)请确定a，c的值．(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值．
(3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）求得时，，再利用正切函数即可求解；
（3）先求得时，函数的最大值和最小值，再相似比即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，代入函数解析式得，
把，代入函数解析式得，
即，解得．
（2）解：由（1）得函数解析式为，
把代入得，则．
（3）解：∵，
∴当时，y取得最小值，，
当时，y取得最大值，，
∵旗杆与直杆的长度比为，∴，
∴m的取值范围为，即．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正切函数的定义，相似比的意义，用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
25．（2023·浙江九年级期中）如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3)
(1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位．
【答案】（1）详见解析；（2）A票区约有1 406个座位．
【分析】（1）可以M、N为圆心，30为半径交于O点如图以线段MN、EF与弧FM、弧EN所围成的区域就是所作的A票区．
（2）求座位就是求三角形EOF，MON和扇形FOM和EON的面积和．那么先求出扇形的半径即可．
【详解】解(1)如图，以线段MN、EF与、所围成的区域就是所作的A票区．
(2)连接OM、ON、OE、OF，设MN的中垂线与MN、EF分别相交于点G和H.
由题意，得∠MON＝90°.∵OG⊥MN，OH⊥EF，OG＝OH＝15，
∴∠EOF＝∠MON＝90°.∴r＝＝15.
∴SA＝(S扇形FOM＋S扇形EON)＋(S△OMN＋S△EOF)＝πr2＋r2≈1125(米2)．
∴1125÷0.8≈1406.∴A票区约有1406个座位．
【点睛】本题考查了尺规作图，盲区的定义，勾股定理及扇形的面积公式等知识点，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
26．（2023·浙江温州·统考一模）根据信息，完成活动任务．
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系．
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30
【任务1】如图2，作于点，设，，求关于的函数表达式．
活动二 设计该地房子的数量与层数．
在长方形土地上按图3所示设计幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示．现要求每幢楼层数不超过，每层楼高度为3米．
【任务2】当1号楼层数为时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上．
【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格．（1）所有房子层数总和超过．
（2）正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上．
方案设计
每幢楼层数 的值 层数总和
_______________ _______________ _______________
【答案】任务1：；任务2：见解析；任务3：7，，
【分析】（1）设关于的函数表达式为，用待定系数法求出解析式；
（2）将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作于M当1号楼层为24时，求出的长度，根据任务1求出的长，在求出、的长，得出，，两者进行对比来判断影子是否会到2号楼；
（3）由任务2可得： ，可得，则，正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，可得，可得，则每幢房子最多7层，从而可得答案．
【详解】任务1：设关于的函数表达式为，
当时，，，，
当时，，，，
代入解析式得：，解得：，
关于的函数表达式为，经检验符合题意．
任务2：将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作于M当1号楼层为24时，的长为：，的长为：，
，，
，，
，，，，而，
正午时1号楼的影子会落在2号楼的墙上．
任务3：由任务2可得： ，，
∴，
正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，∴，解得：，
∵每层楼高3米，∴，∴每幢房子最多7层，∴，
∴，∴，层数为，
，层数为，总和为．
【点睛】本题考查了投影问题，涉及一次函数，不等式的应用，特殊角的三角函数值，结合实际情况将影子和实际楼间距进行对比是解答本题的关键．
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专题3.5 投影与三视图 章末检测
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·九年级校联考阶段练习）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河北张家口·统考三模）如图，是由4个完全相同的小正方体组成的几何体，现移动1号小正方体，使其与剩下的三个小正方体至少共一个面且移动前后的几何体的左视图不变，则移动的方法有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023·河北保定·统考一模）如图，一个球体在长方体上沿虚线从左向右滚动，在滚动过程中，球体与长方体的组合图形的视图始终不变的是（ ）
A．左视图 B．主视图 C．俯视图 D．左视图和俯视图
6．（2023·浙江嘉兴·统考一模）在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别是，，则木杆在x轴上的投影的长是（ ）
A．4 B． C． D．5
7．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（ ）
A．6cm B． C． D．4cm
8．（2022·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·安徽淮北·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A．125 B．100 C．75 D．30
10．（2022·浙江金华·校联考一模）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）若圆锥的母线长为，其侧面积为，则圆锥底面半径为 ．
12．（2023·山东菏泽·九年级统考期末）如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ．
13．（2023·陕西咸阳·九年级校考期中）王英站在距离路灯5米远处时，在该路灯灯光下的影长为2米，当她逐渐靠近路灯，站在距离路灯不到5米远的位置时，她在该路灯灯光下的影长可能为 米．
（写出一个正确结果即可）
14．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （结果保留）．
15．（2023上·河南驻马店·九年级校考阶段练习）如图是一个三棱柱的三视图，中，，，则的长为 ．
16．（2023上·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图所示是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体从正面和从上面看到的图形，则这个几何体最少是由 个小正方体搭成的
17．（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，小阳发现电线杆 的影子落在土坡的坡面 和地面 上，量得 米，米，的坡度为：；且此时测得 米杆在地面上的影长为 米，则电线杆的高度为 米．
18．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．
（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图是某几何体的三视图，其俯视图是边长为的菱形．(1)该几何体的名称是______；(2)请根据图中数据，计算该几何体的所有侧面的面积之和．
20．（2023上·山东威海·九年级校联考期中）如图是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．(1)如图是根据，的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；(2)在（）的条件下，已知，求该几何体的表面积．
21．（2023上·江苏盐城·七年级统考期末）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长为1的小正方体堆成一个几何图所示.(1)请画出这个几何体的三视图.(2)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体.(3)如果需要给原来这个几何体表面喷上红漆，则喷漆面积是多少？
22．（2023上·江苏苏州·九年级校联考期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．(1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h．①求扇形的弧长；②则h的值为___________；(2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________．
23．（2023上·山西运城·九年级校考期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为．
(1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全；
(2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________；
(3)左视图中矩形的面积为________；(4)这个四棱柱的体积为________．
24．（2023·浙江台州·统考二模）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关．小明在某天的8点至16点之间，测量了一根米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1．31米，12点时影子长度为1．08米．
(1)请确定a，c的值．(2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值．
(3)若另有一垂直于地面的旗杆长度为米，请确定该天9点至14点间这根旗杆影子长度m的范围．
25．（2023·浙江九年级期中）如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3)
(1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位．
26．（2023·浙江温州·统考一模）根据信息，完成活动任务．
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系．
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30
【任务1】如图2，作于点，设，，求关于的函数表达式．
活动二 设计该地房子的数量与层数．
在长方形土地上按图3所示设计幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示．现要求每幢楼层数不超过，每层楼高度为3米．
【任务2】当1号楼层数为时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上．
【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格．（1）所有房子层数总和超过．
（2）正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上．
方案设计
每幢楼层数 的值 层数总和
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