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《一元二次方程的解法》教学设计
第三课时《一元二次方程的解法》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 一元二次方程的解法——用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程是“浙教版八年级数学（下）”第二章第二节第三课时的内容。本节课的主要内容是用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化，是今后继续学习方程的重要基础，与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教材中有着非常重要的地位和作用.而一元二次方程的解法是本章的主要内容之一，有利于学生后续学习一元二次方程的应用，能够提升学生的核心素养.
学习者分析 学生在上节课学习了一元二次方程的解法——开平方法和配方法，探究了用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，且学生具备一定的独立思考、合作探究、归纳概括的能力，这些都有利于学生继续学习用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.教师可以通过问题引导学生进行合作交流，探究用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤.教师在教学过程中要注意面向全体学生，发挥学生的主体作用，让学生积极参与进来.
教学目标 1.巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤. 2.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程. 3.提高分析问题、解决问题的能力及运算能力.
教学重点 用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程
教学难点 当二次项系数为小数或分数时,用配方法解一元二次方程
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾，巩固旧知教师活动1： 教师提问：开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？教师讲授： 开平方法解方程的基本步骤： 1.将方程转化为x2 =p或(mx+n)2 =p (p≥0) 的形式（即平方项的系数化为1） 2.分情况求解： 当p>0时，x1 =, x2 =或mx1+n=， mx2+n=（再进一步求出 x1和x2的值） 当p=0时，x1 =x2 =或mx1,2+n=,（再进一步求出 x的值） 当p<0时，方程无实数根 教师提问:用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么？ 教师讲授： 配方法解方程（二次项系数为1）的基本步骤： 1.移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 3.写成的形式 4.用开平方法求解 小试牛刀：解下列方程:x=. 答案： 解：移项，得x2x=4， 将方程的两边同时加上16,得x2x+16=12, 即(x)2=12, 则x=,或x=, 解得x1 =4+, x2 = .学生活动1： 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机.环节二：探究新知，合作交流教师活动2： 用配方法解下列方程:5x2= 10x+1. 思考：当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时，怎样用配方法来解？ 答案： 当一元二次方程的二次项系数不是1时,只要在方程的两边同时除以二次项系数,就化归为我们已能求解的一元二次方程类型. 解：方程的两边同时除以5，得x2=2x+， 移项，得x2x= 将方程的两边同时加上1,得x2x+1= ,即(x)2=, 则x=,或x=, 解得x1 =1+, x2 =1. 教师讲授： 配方法解方程的基本步骤： 1. 移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2.二次项系数化为1 ：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4.写成的形式 5.用开平方法求解学生活动2： 学生认真思考，合作交流，举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真听讲 学生认真听讲，探究用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程的基本步骤活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精讲，巩固新知教师活动3： 例6 用配方法解下列一元二次方程: (1) 2x2x3=0. (2) 3x28x=0. 解： (1) 方程的两边同时除以2，得x22x = 0, 移项，得解得x22x = , 方程的两边同时加上1,得x22x = +1，即= 则x=,或x=, 解得x1 =1+, x2 =1. (2)方程的两边同时除以3，得x2x = 0, 移项，得解得x2x= , 方程的两边同时加上,得x2 x + = 1+ ， 即= , 则x = ,或x =, 解得x1 =, x2 =. 例7 已知 4x2+8(n+1)x+16n是一个关于x的完全平方式,求常数n的值. 解： 4x2+8(n+1)x+16n =4 = 4. 已知 4x2+8(n+1)x+16n是一个完全平方式,则=0. 化简，得2n+1=0,即=0， 解得1 = 2 =1. 所以常数n的值为1. 学生活动3： 学生认真思考，完成习题，举手回答问题教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真听讲 学生认真思考，完成习题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂小结，梳理归纳
教师活动4： 教师提问：用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？ 教师讲授： 配方法解方程的基本步骤： 1. 移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2.二次项系数化为1 ：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4.写成的形式 5.用开平方法求解学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.用配方法解方程2x2＋6x－7＝0时，配方正确的是( ) A.＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 2.方程3x2-6x+2=0的解是( ) A.x=2 B.x=3 C.x1= +1,x2= - +1 D.x1= -1, x2= --1 3.用配方法解方程5x2-20x+4=0时,将方程变为(x-m)2=的形式,则m的值为( ) A.-2 B.2 C.-25 D.25 选做题： 1.用配方法解一元二次方程2x2-3x-2=0时,下列变形正确的是( ) A.= B.= C.= D.= 2.无论x,y取何实数,式子x2＋y2－2x＋4y＋9的值( ) A.都小于9 B.都不小于4 C.可为任何实数 D.可能为负实数 3.对于二次三项式2x2+4x+5的值，下列叙述正确的是( ) A.一定为正数 B.可能为正数，也可能为负数 C.一定为负数 D.其值的符号与x值有关 【综合拓展类作业】 解方程: (1)3x2-21x=0; (2)2x2-2x-3=0.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若9x2－(k＋2)x＋4是一个关于x的完全平方式，则k的值为( ) A. 10 B. 10或14 C. －10或14 D. 10或－14 2.用配方法解下列方程时，配方错误的是( ) A．x2＋2x－99＝0化为(x＋1)2＝100 B．2x2－7x－4＝0化为＝ C．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25 D．3x2－4x－2＝0化为＝ 3.一个一元二次方程能配方成(x-2)2=5,且它的二次项系数为,这个方程的一般形式为 ,它的根为 . 4.若一元二次方程4x2＋12x－1147＝0的两根分别为a,b,且a>b,则3a＋b＝____． 3.方程7x2-x-4m=0的一个根是x=-1,则另一个根是 . 【综合拓展类作业】 用配方法解下列方程: (1)-0.2x2+x-0.6=0; (2)-x2+3x-=0.
教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过复习导入激发学生学习的兴趣。安排学生探索新知，观察思考，从而获得数学活动经验，直观感知知识。本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整教学方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。
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2.2.3一元二次方程的解法
浙教版 八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
一元二次方程的解法——用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程是“浙教版八年级数学（下）”第二章第二节第三课时的内容。本节课的主要内容是用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化，是今后继续学习方程的重要基础，与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教材中有着非常重要的地位和作用.而一元二次方程的解法是本章的主要内容之一，有利于学生后续学习一元二次方程的应用，能够提升学生的核心素养.
教学目标
1.巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.
2.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.
3.提高分析问题、解决问题的能力及运算能力.
复习回顾
开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
开平方法解方程的基本步骤：
1.将方程转化为x2 =p或(mx+n)2 =p (p≥0) 的形式（即平方项的系数化为1）
2.分情况求解：
当p>0时，x1 =, x2 =或mx1+n=， mx2+n=（再进一步求出 x1和x2的值）
当p=0时，x1 =x2 =或mx1,2+n=,（再进一步求出 x的值）
当p<0时，方程无实数根
复习回顾
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么？
配方法解方程（二次项系数为1）的基本步骤：
1.移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边
2.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方
3.写成的形式
4.用开平方法求解
回顾旧知
小试牛刀：解下列方程:x=.
解：移项，得x2x=4，
将方程的两边同时加上16,得x2x+16=12,
即(x)2=12,
则x=,或x=,
解得x1 =4+, x2 = .
探究新知
用配方法解下列方程:5x2= 10x+1.
思考：当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时，怎样用配方法来解？
当一元二次方程的二次项系数不是1时,只要在方程的两边同时除以二次项系数,就化归为我们已能求解的一元二次方程类型.
探究新知
用配方法解下列方程:5x2= 10x+1.
解：方程的两边同时除以5，得x2=2x+，
移项，得x2x=
将方程的两边同时加上1,得x2x+1= ,即(x)2=,
则x=,或x=,
解得x1 =1+, x2 =1.
探究新知
配方法解方程的基本步骤：
1. 移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边
2.二次项系数化为1 ：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数
3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方
4.写成的形式
5.用开平方法求解
例题精讲
例6 用配方法解下列一元二次方程:
(1) 2x2x3=0. (2) 3x28x=0.
解：(1) 方程的两边同时除以2，得x22x = 0,
移项，得解得x22x = ,
方程的两边同时加上1,得x22x = +1，即=
则x=,或x=,
解得x1 =1+, x2 =1.
例题精讲
例6 用配方法解下列一元二次方程: (2) 3x28x=0.
解：(2)方程的两边同时除以3，得x2x = 0,
移项，得解得x2x= ,
方程的两边同时加上,得x2 x + = 1+ ，
即= ,
则x=,或x=,
解得x1 =, x2 =.
例题精讲
例7 已知 4x2+8(n+1)x+16n是一个关于x的完全平方式,求常数n的值.
解： 4x2+8(n+1)x+16n
=4
= 4.
已知 4x2+8(n+1)x+16n是一个完全平方式,则=0.
化简，得2n+1=0,即=0，
解得1 = 2 =1.
所以常数n的值为1.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.用配方法解方程2x2＋6x－7＝0时，配方正确的是( )
A.＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝
B
课堂练习
2.方程3x2-6x+2=0的解是( )
A.x=2
B.x=3
C.x1=+1,x2=-+1
D.x1=-1,x2=--1
【知识技能类作业】
必做题
C
课堂练习
3.用配方法解方程5x2-20x+4=0时,将方程变为(x-m)2=的形式,则m的值为( )
A.-2
B.2
C.-25
D.25
【知识技能类作业】
必做题
B
课堂练习
1.用配方法解一元二次方程2x2-3x-2=0时,下列变形正确的是( )
A.=
B.=
C.=
D.=
【知识技能类作业】
选做题
D
课堂练习
2.无论x,y取何实数,式子x2＋y2－2x＋4y＋9的值( )
A.都小于9
B.都不小于4
C.可为任何实数
D.可能为负实数
【知识技能类作业】
选做题
B
课堂练习
3.对于二次三项式2x2+4x+5的值，下列叙述正确的是( )
A. 一定为正数
B.可能为正数，也可能为负数
C.一定为负数
D.其值的符号与x值有关
【知识技能类作业】
选做题
A
课堂练习
【综合实践类作业】
解方程:
(1)3x2-21x=0; (2)2x2-2x-3=0.
解： (1)解法一:【因式分解法】方程两边同除以3,得x2-7x=0,
方程左边分解因式,得x(x-7)=0,
所以x=0或x-7=0,解得x1=0,x2=7.
解法二:【配方法】方程两边同除以3,得x2-7x=0,
方程两边同加上,得=,
开平方,得x-=或x-=-.
解得x1=7,x2=0.
课堂练习
【综合实践类作业】
解方程:(2)2x2-2x-3=0.
解： (2)方程两边同除以2,得x2-x-=0,
移项,得x2-x=,
方程两边同加上,得x2-x+=+,即=,
开平方,得x-=或x-=-,
解得x1=,x2=.
课堂总结
配方法解方程的基本步骤：
1. 移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边
2.二次项系数化为1 ：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数
3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方
4.写成的形式
5.用开平方法求解
用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？
作业布置
【知识技能类作业】
1.若9x2－(k＋2)x＋4是一个关于x的完全平方式，则k的值为( )
A. 10
B. 10或14
C. －10或14
D. 10或－14
D
作业布置
【知识技能类作业】
2.用配方法解下列方程时，配方错误的是( )
A．x2＋2x－99＝0化为(x＋1)2＝100
B．2x2－7x－4＝0化为＝
C．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
D．3x2－4x－2＝0化为＝
C
作业布置
【知识技能类作业】
3.一个一元二次方程能配方成(x-2)2=5,且它的二次项系数为,这个方程的一般形式为 ,它的根为 .
4.若一元二次方程4x2＋12x－1147＝0的两根分别为a,b,且a>b,则3a＋b＝____．
5.方程7x2-x-4m=0的一个根是x=-1,则另一个根是 .
x2-2x- =0
x1 =+2, x2 =
28
作业布置
【综合实践类作业】
用配方法解下列方程:
(1)-0.2x2+x-0.6=0; (2)-x2+3x-=0.
解： (1)方程两边同乘-10,得2x2-10x+6=0,
方程两边同除以2,得x2-5x+3=0,
移项,得x2-5x=-3,
方程两边同加上,得x2-5x+=-3+,即=,
开平方,得x-=±,
解得x1=+,x2=-.
作业布置
【综合实践类作业】
用配方法解下列方程:
(1)-0.2x2+x-0.6=0; (2)-x2+3x-=0.
解: (2)方程两边同除以-,得x2-x+1=0,
移项,得x2-x=-1,
方程两边同加上,得x2-x+=-1+,
所以=-<0,所以原方程无实数根.
板书设计
配方法：
1.移项：
2.二次项系数化为1 ：
3.配方：
4.写成( + )2= ( ≥0)的形式
5.用开平方法求解
2.2.3一元二次方程的解法
习题讲解书写部分
谢谢
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.3.了解一元二次方程的根与系数的关系.4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
内容分析 本章是浙教版八年级下册第二章《一元二次方程》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“方程与不等式”.主要内容有一元二次方程的概念、解法和应用.本单元首先以具体问题情境为导入探究一元二次方程的概念，让学生经历一元二次方程概念的发生过程，了解一元二次方程的一般形式，要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。再通过合作学习体验并掌握一元二次方程的解法。一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础.一元二次方程与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教学过程中让学生经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言、表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力，提升学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，以及有逻辑地表达与交流的能力。
学情分析 《一元二次方程》这一章是在学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程、分式方程，知道根据具体问题中的数量关系列方程的基础上进行构建的。本章知识是在此基础上，全面研究一元二次方程的概念、解法和应用。一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。教师应该在传授知识的过程中注重联系实际，从实际问题中引出引导学生学习一元二次方程的有关知识，并最终回归到建立一元二次方程模型解决实际问题中去.同时教师需加强学生对知识之间内在联系的认识，体会相关的数学思想方法，提高学生的基本能力，在日常教学中注重培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力。
单元目标 （一）教学目标1.理解一元二次方程的概念.2.了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.3.会用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程.4.能用一元二次方程的根的判别式判别方程的根的情况.5.了解一元二次方程的根与系数的关系.6.会用一元二次方程解决简单的实际问题.7.体会方程在现实生活中的具体应用.（二）教学重点、难点教学重点：一元二次方程的解法教学难点：列一元二次方程解应用题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1一元二次方程12.2一元二次方程的解法42.3一元二次方程的应用22.4一元二次方程根与系数的关系1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1一元二次方程1.经历一元二次方程概念的发生过程. 2.理解一元二次方程的概念.3.了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动一：情境导入，根据数量关系列方程.活动二：探究新知，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式.活动三：例题精讲，辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动四：针对训练，请学生回答问题.2.2.1一元二次方程的解法1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.2.会用因式分解法解一元二次方程.会用因式分解法解一元二次方程.活动一：复习导入，回顾一元二次方程的概念.活动二：合作学习，探究因式分解法解一元二次方程.活动三：例题精讲，用因式分解法解一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.2一元二次方程的解法1.理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.2.会用开平方法解一元二次方程.3.理解配方法.4.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.1.会用开平方法解一元二次方程.2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.活动一：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.活动二：探究新知，理解开平方法，配方法.活动三：例题精讲，用开平方法，配方法解一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.3一元二次方程的解法1.巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.2.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.活动一：复习导入，回顾开平方法，配方法.活动二：探究新知，能够运用二次根式的性质进行运算.活动三：例题精讲，用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.4一元二次方程的解法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会用公式法解一元二次方程.会用公式法解一元二次方程.活动一：温故知新，回顾如何用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程活动二：合作学习，一元二次方程求根公式活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.2.3.1一元二次方程的应用1.经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.2.会列一元二次方程解应用题.会列一元二次方程解应用题.活动一：复习导入，回顾一元二次方程的解法.活动二：例题精讲，列一元二次方程解应用题.活动三：巩固练习，请学生回答问题2.3.2一元二次方程的应用1.继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值.2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.活动一：复习导入，回顾如何列一元二次方程解应用题.活动二：例题精讲，列一元二次方程解应用题.活动三：巩固练习，请学生回答问题2.4一元二次方程根与系数的关系1.经历一元二次方程根与系数的关系的推导过程.2.能够理解一元二次方程根与系数的关系.3.会灵活运用一元二次方程根与系数的关系解题.会用一元二次方程根与系数的关系解题.活动一：复习导入，回顾如何列一元二次方程解应用题.活动二：探究新知，经历一元二次方程根与系数的关系的推导过程.活动三：例题精讲，用一元二次方程根与系数的关系解题.活动四：巩固练习，请学生回答问题
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