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《一元二次方程的解法》教学设计
第四课时《一元二次方程的解法》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 一元二次方程的解法——公式法是“浙教版八年级数学（下）”第二章第二节第四课时的内容。本节课的主要内容是探究用配方法解一元二次方程,让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，要求学生理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程.一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化，是今后继续学习方程的重要基础，在日常生活和生产实践中有着许多应用，而一元二次方程的解法是本章的主要内容之一，有利于学生后续学习一元二次方程的应用，能够提升学生的核心素养.因此在教材中有着非常重要的地位和作用.
学习者分析 学生已经学习了因式分解法、开平方法和配方法，且学生具备一定的独立思考、合作探究、归纳概括的能力，这些都有利于学生理解一元二次方程求根公式的推导过程.而学生在之前的学习中已经熟悉了配方法的基本步骤，再用配方法推导一元二次方程的求根公式就比较容易了。教师教学时要注意引导学生认识求根公式的来龙去脉，让学生自己推导，教师再进行讲授.教师在教学过程中要注意面向全体学生，发挥学生的主体作用，让学生积极参与进来.
教学目标 1.经历并理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.会用公式法解一元二次方程. 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 5.提高分析问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.
教学重点 用公式法解一元二次方程
教学难点 一元二次方程的求根公式的推导过程
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾，巩固旧知教师活动1： 教师提问：用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？教师讲授： 配方法解方程的基本步骤： 1. 移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2.二次项系数化为1 ：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数 3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4.写成的形式 5.用开平方法求解学生活动1： 学生回顾旧知，举手回答问题 学生跟随教师回顾旧知 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机.环节二：探究新知，推导计算教师活动2： 思考：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0①,你能否用配方法得出①的解？ 填空: 方程的两边同除以____,得=0. 移项,得=_____________. 方程的两边同加上_____________，得 +_______= _______. 即(x+_______)2= 若≥0, 可得=，或= ∴,或 我们也可以简单地表示为 答案： a，， 教师讲授： 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 如果≥0,那么方程的两个根为. 这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式,我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值,直接求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 思考：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由什么决定？ 从一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出,方程的根的情况由代数式的值来决定.因此叫做一元二次方程的根的判别式,通常用希腊字母“”表示，即= 它的值与一元二次方程的根的关系是: ＞0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根; 0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根; ＜0方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 学生活动2： 学生认真思考，进行推导计算 学生认真思考，进行推导计算，经历一元二次方程求根公式的推导过程 学生举手回答问题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真听讲，理解公式法 学生认真思考，举手回答问题，教师进行评价和讲析 学生认真听讲，学习如何用判别式判断一元二次方程的根的情况活动意图说明：让学生自主推导计算，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力.使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度.环节三：例题精讲，巩固新知教师活动3： 例8 用公式法解下列一 元二次方程: (1) 2x2x=0. (2) 4x2=x. (3) x2=0. 解： (1)对方程2x2x=0, a=2,b=,c=3, =3=1， ∴ = , ∴ x1 = =, x2 = . (2)移项，得方程4x2x =0, 则a=4,b=,c=1, ==0， ∴ =, ∴ x1 =x2 =. (3) 方程的两边同乘4，得3x2x=0, 则a=3,b=,c=, ==88， ∴ = , ∴ x1 = , x2 =. 公式法解方程的基本步骤： 1.将方程化为一般形式 2.确定a,b,c的值 3.计算 4. >0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根; 0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根; ＜0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 例9 解方程：. 解：去括号，得x2x= x2x+4, 化简，得x2x+4= 0, 方程的两边同乘2，得x2x=0, 则a=1,b=,c=8, ==4， ∴ = , ∴ x1 ==4, x2 = 思考：你能用因式分解法解该方程吗？ 解：由原方程，得, 移项，得, ∴ =0, =0 ， ∴ ，或, 解得x1 =4, x2 .学生活动3： 学生认真思考，完成习题，举手回答问题教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真听讲 学生认真听讲 学生认真听讲，了解公式法解方程的基本步骤 学生认真思考，完成习题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 学生认真思考，完成习题，教师进行评价和讲解 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂小结，梳理归纳
教师活动4： 教师提问：用公式法解一元二次方程的基本步骤是什么？ 教师讲授： 公式法解方程的基本步骤： 1.将方程化为一般形式 2.确定a,b,c的值 3.计算 4. >0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根; 0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根; ＜0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.一元二次方程x23x=1中，的值为（ ） A. 5 B.13 C. 13 D. 5 2.一元二次方程x2-7x-2=0的实数根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 3.用公式法解方程5x2﹣6＝7x，下列代入公式正确的是（ ） A. B. C. D. 选做题： 1.下列一元二次方程没有实数根的是( ) A.－2x2＋x＋1＝0 B.x2＋2x＋3＝0 C.x2－x－1＝0 D.x2＋2x－3＝0 2.用公式法解－x2＋3x＝1时,先求出a,b,c的值,则a,b,c的值依次为( ) A. －1,3,－1 B. 1,－3,－1 C. －1,－3,－1 D. －1,3,1 3.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根,则实数m的取值范围是（ ） A.m＜1 B. m≥1 C.m≤1 D. m＞1 【综合拓展类作业】 用公式法解下列方程： (1)3x2－2x－5＝0. (2)2x2－5x＋3＝0.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k＜5 B.k＜5，且k≠1 C.k≤5，且k≠1 D.k＞5 2.一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根为 . 3.用公式法解方程(x＋1)(x﹣2)＝1，化为一般形式为 ，其中b2﹣4ac＝ ，方程的解为 . 4.关于x的方程kx2﹣(2k＋1)x＋k＋2＝0有实数根，则k的取值范围是 . 【综合拓展类作业】 已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．
教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过复习导入激发学生学习的兴趣。安排学生探索新知，观察思考，从而获得数学活动经验，直观感知知识。本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整教学方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。
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2.2.4一元二次方程的解法
浙教版 八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
一元二次方程的解法——公式法是“浙教版八年级数学（下）”第二章第二节第四课时的内容。本节课的主要内容是探究用配方法解一元二次方程,让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，要求学生理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程.一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化，是今后继续学习方程的重要基础，在日常生活和生产实践中有着许多应用，而一元二次方程的解法是本章的主要内容之一，有利于学生后续学习一元二次方程的应用，能够提升学生的核心素养.因此在教材中有着非常重要的地位和作用.
教学目标
1.经历并理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.会用公式法解一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
5.提高分析问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.
复习回顾
配方法解方程的基本步骤：
1. 移项：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边
2.二次项系数化为1 ：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数
3.配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方
4.写成的形式
5.用开平方法求解
用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？
探究新知
思考：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0①,你能否用配方法得出①的解？
填空:
方程的两边同除以____,得=0.
移项,得=_____________.
方程的两边同加上_____________，得 +_______=
_______.
a
探究新知
即(x+_______)2=
若≥0,
可得 = ，或 =
∴,或
我们也可以简单地表示为
探究新知
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 如果≥0,那么方程的两个根为.
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式,我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值,直接求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
探究新知
从一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导过程中不难看出,方程的根的情况由代数式的值来决定.因此叫做一元二次方程的根的判别式,通常用希腊字母“ ”表示，即 =
它的值与一元二次方程的根的关系是:
>0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;
＜0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
思考：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由什么决定？
例题精讲
例8 用公式法解下列一 元二次方程:
(1) 2x2x=0. (2) 4x2=x. (3) x2=0.
解：(1) 对方程2x2x=0,
a=2,b=,c=3, =3=1，
∴ =,
∴ x1 == , x2 =.
例题精讲
例8 用公式法解下列一 元二次方程:
(1) 2x2x=0. (2) 4x2=x. (3) x2=0.
解：(2) 移项，得方程4x2x =0,
则a=4,b=,c=1, ==0，
∴ =,
∴ x1 =x2 =.
例题精讲
例8 用公式法解下列一 元二次方程:
(1) 2x2x=0. (2) 4x2=x. (3) x2=0.
解：(3) 方程的两边同乘4，得3x2x=0,
则a=3,b=,c=, ==88，
∴ = ,
∴ x1 = , x2 = .
探究新知
公式法解方程的基本步骤：
1.将方程化为一般形式
2.确定a,b,c的值
3.计算
4. >0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;
＜0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
例题精讲
例9 解方程：.
解：去括号，得x2x= x2x+4,
化简，得x2x+4= 0,
方程的两边同乘2，得x2x=0,
则a=1,b=,c=8, ==4，
∴ = ,
∴ x1 = =4, x2 = .
你能用因式分解法解该方程吗？
例题精讲
例9 解方程：.
解：由原方程，得,
移项，得,
∴ =0,
=0 ，
∴ ，或,
解得x1 =4, x2 .
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.一元二次方程x23x=1中，的值为（ ）
A. 5
B.13
C. 13
D. 5
B
课堂练习
2.一元二次方程x2-7x-2=0的实数根的情况是（ ）
A． 有两个不相等的实数根
B． 有两个相等的实数根
C． 没有实数根
D． 不能确定
【知识技能类作业】
必做题
A
课堂练习
3.用公式法解方程5x2﹣6＝7x，下列代入公式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【知识技能类作业】
必做题
B
课堂练习
1.下列一元二次方程没有实数根的是( )
A.－2x2＋x＋1＝0
B.x2＋2x＋3＝0
C.x2－x－1＝0
D.x2＋2x－3＝0
【知识技能类作业】
选做题
B
课堂练习
2.用公式法解－x2＋3x＝1时,先求出a,b,c的值,则a,b,c的值依次为( )
A. －1,3,－1
B. 1,－3,－1
C. －1,－3,－1
D. －1,3,1
【知识技能类作业】
选做题
A
课堂练习
3.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根,则实数m的取值范围是（ ）
A.m＜1
B. m≥1
C. m≤1
D. m＞1
【知识技能类作业】
选做题
D
课堂练习
【综合实践类作业】
用公式法解下列方程：
(1)3x2－2x－5＝0. (2)2x2－5x＋3＝0.
解： (1)对方程3x2－2x－5＝0,
有a=3,b=,c= －5, ==64>0，
∴ = ,
∴ x1 = = , x2 =.
课堂练习
【综合实践类作业】
用公式法解下列方程：
(1)3x2－2x－5＝0. (2)2x2－5x＋3＝0.
解： (2)对方程2x2－5x＋3＝0,
有a=2,b=,c= 3, ==1>0，
∴ = ,
∴ x1 = =, x2 = .
课堂总结
公式法解方程的基本步骤：
1.将方程化为一般形式
2.确定a,b,c的值
3.计算
4. >0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;
0：方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
用公式法解一元二次方程的基本步骤是什么？
作业布置
【知识技能类作业】
1.关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k＜5
B.k＜5，且k≠1
C.k≤5，且k≠1
D.k＞5
B
作业布置
【知识技能类作业】
2.一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根为 .
3.用公式法解方程(x＋1)(x﹣2)＝1，化为一般形式为 ，其中b2﹣4ac＝ ，方程的解为 .
4.关于x的方程kx2﹣(2k＋1)x＋k＋2＝0有实数根，则k的取值范围是 .
x1 =, x2 =
x2－x－3=0
13
k≤
x1 =, x2 =
作业布置
【综合实践类作业】
已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．
解：
(1)证明：∵在关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0中,b2－4ac＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
作业布置
【综合实践类作业】
已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．
解： (2)∵x＝0是原方程的一个根,
∴把x＝0代入原方程中,得m(m＋1)＝0,
∴m1＝0,m2＝－1.
(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5.
把m＝0代入3m2＋3m＋5中,得3m2＋3m＋5＝5；
把m＝－1代入3m2＋3m＋5中,得3m2＋3m＋5＝3×1－3＋5＝5.
综上可知，所求代数式的值为5.
板书设计
公式法：
1.将方程化为一般形式
2.确定a,b,c的值
3.计算
4. 0:
0:
0:
2.2.4一元二次方程的解法
习题讲解书写部分
谢谢
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.3.了解一元二次方程的根与系数的关系.4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
内容分析 本章是浙教版八年级下册第二章《一元二次方程》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“方程与不等式”.主要内容有一元二次方程的概念、解法和应用.本单元首先以具体问题情境为导入探究一元二次方程的概念，让学生经历一元二次方程概念的发生过程，了解一元二次方程的一般形式，要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。再通过合作学习体验并掌握一元二次方程的解法。一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础.一元二次方程与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教学过程中让学生经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言、表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力，提升学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力，以及有逻辑地表达与交流的能力。
学情分析 《一元二次方程》这一章是在学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程、分式方程，知道根据具体问题中的数量关系列方程的基础上进行构建的。本章知识是在此基础上，全面研究一元二次方程的概念、解法和应用。一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。教师应该在传授知识的过程中注重联系实际，从实际问题中引出引导学生学习一元二次方程的有关知识，并最终回归到建立一元二次方程模型解决实际问题中去.同时教师需加强学生对知识之间内在联系的认识，体会相关的数学思想方法，提高学生的基本能力，在日常教学中注重培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力。
单元目标 （一）教学目标1.理解一元二次方程的概念.2.了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.3.会用因式分解法、开平方法、配方法、公式法解一元二次方程.4.能用一元二次方程的根的判别式判别方程的根的情况.5.了解一元二次方程的根与系数的关系.6.会用一元二次方程解决简单的实际问题.7.体会方程在现实生活中的具体应用.（二）教学重点、难点教学重点：一元二次方程的解法教学难点：列一元二次方程解应用题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1一元二次方程12.2一元二次方程的解法42.3一元二次方程的应用22.4一元二次方程根与系数的关系1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1一元二次方程1.经历一元二次方程概念的发生过程. 2.理解一元二次方程的概念.3.了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动一：情境导入，根据数量关系列方程.活动二：探究新知，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式.活动三：例题精讲，辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动四：针对训练，请学生回答问题.2.2.1一元二次方程的解法1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.2.会用因式分解法解一元二次方程.会用因式分解法解一元二次方程.活动一：复习导入，回顾一元二次方程的概念.活动二：合作学习，探究因式分解法解一元二次方程.活动三：例题精讲，用因式分解法解一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.2一元二次方程的解法1.理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.2.会用开平方法解一元二次方程.3.理解配方法.4.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.1.会用开平方法解一元二次方程.2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.活动一：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.活动二：探究新知，理解开平方法，配方法.活动三：例题精讲，用开平方法，配方法解一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.3一元二次方程的解法1.巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.2.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.活动一：复习导入，回顾开平方法，配方法.活动二：探究新知，能够运用二次根式的性质进行运算.活动三：例题精讲，用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题2.2.4一元二次方程的解法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会用公式法解一元二次方程.会用公式法解一元二次方程.活动一：温故知新，回顾如何用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程活动二：合作学习，一元二次方程求根公式活动三：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.2.3.1一元二次方程的应用1.经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.2.会列一元二次方程解应用题.会列一元二次方程解应用题.活动一：复习导入，回顾一元二次方程的解法.活动二：例题精讲，列一元二次方程解应用题.活动三：巩固练习，请学生回答问题2.3.2一元二次方程的应用1.继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值.2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.活动一：复习导入，回顾如何列一元二次方程解应用题.活动二：例题精讲，列一元二次方程解应用题.活动三：巩固练习，请学生回答问题2.4一元二次方程根与系数的关系1.经历一元二次方程根与系数的关系的推导过程.2.能够理解一元二次方程根与系数的关系.3.会灵活运用一元二次方程根与系数的关系解题.会用一元二次方程根与系数的关系解题.活动一：复习导入，回顾如何列一元二次方程解应用题.活动二：探究新知，经历一元二次方程根与系数的关系的推导过程.活动三：例题精讲，用一元二次方程根与系数的关系解题.活动四：巩固练习，请学生回答问题
《一元二次方程》大单元教学设计
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