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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（1）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．一元二次方程x（x﹣1）=0的解是（ ）
A．x=0 B．x=1
C．x=0或x=﹣1 D．x=0或x=1
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
3．方程 的解是（
A． B． ，
C． ， D． ，
4．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
5．一元二次方程的解为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．下列一元二次方程不适合用因式分解法解方程的是（ ）.
A． B． C． D．
7．方程(3x－1)(x－2)＝(4x＋1)(x－2)的根是（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．±4
8．用因式分解法解方程9x2＝（x－2）2时，因式分解结果正确的是（ ）
A．4（2x－1）（x－1）＝0 B．4（2x＋1）（x－1）＝0
C．4（2x－1）（x＋1）＝0 D．4（2x＋1）（x＋1）＝0
9．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）=0的两个根，且k＞b，则函数y=kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 ．
12．方程x2﹣1＝3（x﹣1）的根为 .
13．已知y1=2x2+7x+3，y2=x2+5x+2，当x= 时，y1=y2.
14．关于x的方程ax2+bx+c=0的解与(x-1)(x-4)＝0的解相同，则a+b+c的值为 .
15．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=﹣1，x2=2，则x2+bx+c可分解为 ．
16．若x2﹣3x+2=0，则 = ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程
（1）； （2）. （3）x2+x＝0； （4）4x2+1＝4x．
18．解下列方程：
（1） （2） （3）
（4） （5）
19．已知关于x的方程（2x﹣m）（mx+1）=（3x+1）（mx﹣1）有一个根为0，求m的值并求另一根．
20．已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为 三边的长．
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．下面是小明解一元二次方程（x-5)2=3(x-5)的过程：
解：方程两边都除以（x-5)，得x-5=3，
解得x=8．
小明的解题过程是否正确，如果正确请说明理由；如果不正确，请写出正确的解题过程．
22．定义新运算“”如下：当a≥b时，ab=ab-a；当ab=ab+b.
（1）计算：（-2）（-）
（2）若2x（x+1）=0，求x的值.
23．已知多项式乘法（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.
【示例】分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）.
（1）【尝试】分解因式：x2+6x+8=（x+ ）·（x+ ）.
（2）【应用】请用上述方法解方程.
①x2+5x+6=0；
②x2-3x-4=0
24．关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形：
变形 s t p
-1 5 0
0 4 5
1 q 8
2 2 9
回答下列问题：
（1）表格中q的值为 ．
（2）观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为 ．
（3）记的两个变形为和，求的值．
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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（1）（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．一元二次方程x（x﹣1）=0的解是（ ）
A．x=0 B．x=1
C．x=0或x=﹣1 D．x=0或x=1
【答案】D
【解析】方程x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x=0或x=1．
故选：D．
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【解析】由题意得，
解得，，
故答案为：C
3．方程 的解是（
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】【解答】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
x2=3x，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x=0，x﹣3=0，
x1=0，x2=3，
故答案为：B．
4．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝2
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
【答案】D
【解析】x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
所以x1＝2，x2＝﹣1．
故答案为：D．
5．一元二次方程的解为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】∵一元二次方程，
∴，
∴，
∴，
∴x+1=0或x-1=0，
解得： 或 ，
故答案为：D.
6．下列一元二次方程不适合用因式分解法解方程的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 可借助平方差公式化为 ，适合用因式分解法，故A不符合题意；
左边无法化为两个因式乘积的形式，故B符合题意；
可借助完全平方公式化为 ，故C不符合题意；
移项后，再提取公因式可化为 ，故D不符合题意；
故答案为：B.
7．方程(3x－1)(x－2)＝(4x＋1)(x－2)的根是（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．±4
【答案】C
【解析】由(3x－1)(x－2)＝(4x＋1)(x－2)移项可得(3x-1-4x-1)(x－2)=0 即(x+2)(x－2)=0 ，故答案为：C．
【分析】移项后再提公因式（x-2）即可求得方程的解.
8．用因式分解法解方程9x2＝（x－2）2时，因式分解结果正确的是（ ）
A．4（2x－1）（x－1）＝0 B．4（2x＋1）（x－1）＝0
C．4（2x－1）（x＋1）＝0 D．4（2x＋1）（x＋1）＝0
【答案】C
【解析】∵9x2-(x-2)2=0，
∴[3x+(x-2)][3x-(x-2)]=0，
∴(4x-2)(2x+2)=0，
∴4(2x-1)(x+1)=0.
故答案为：C.
9．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴ ，
∴原方程为
∴方程 可化为 ．
∴方程 可化为 ．
故答案为：D．
10．已知k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）=0的两个根，且k＞b，则函数y=kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】∵k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）=0的两个根，且k＞b，
∴k=，b=﹣，
∴函数y=x﹣的图象不经过第二象限，
故选B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴x（x-1）=0，
∴x1=0，x2=1，
∴方程的另一个为x=0，
故答案为：x=0.
12．方程x2﹣1＝3（x﹣1）的根为 .
【答案】x＝1或x＝2
【解析】∵（x+1）（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣2＝0，
解得x＝1或x＝2，
故答案为：x＝1或x＝2.
13．已知y1=2x2+7x+3，y2=x2+5x+2，当x= 时，y1=y2.
【答案】-1
【解析】∵ y1=y2，
∴ 2x2+7x+3=x2+5x+2
整理得：
x2+2x+1=0
∴（x+1）2=0
∴x+1=0
解之：x1=x2=-1.
故答案为：-1.
14．关于x的方程ax2+bx+c=0的解与(x-1)(x-4)＝0的解相同，则a+b+c的值为 .
【答案】0
【解析】（x-1）（x-4）=x2-4x-x+4=x2-5x+4=0
由两个方程相等可知，a=1，b=-5，c=4
∴a+b+c=0
15．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=﹣1，x2=2，则x2+bx+c可分解为 ．
【答案】（x+1）（x﹣2）
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=﹣1，x2=2，
∴（x+1）（x﹣2）=0，
∴x2+bx+c可分解为（x+1）（x﹣2）．
故答案为（x+1）（x﹣2）．
16．若x2﹣3x+2=0，则 = ．
【答案】5
【解析】解x2﹣3x+2=0得x=1或2．
当x=1时，原式=1+4=5；
当x=2时，原式=4+1=5．
故答案是：5．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程
（1）；（2）.（3）x2+x＝0；（4）4x2+1＝4x．
【答案】（1）解：，
移项得：
，
（2）解：，
提取公因式得，
解得，
（3）解：∵ x2+x＝0 ，
∴x(x+1)=0，
∴x=0或x+1=0，
解得x1=0，x2=-1；
（4）解：∵ 4x2+1＝4x ，
∴ 4x2-4x+1＝0，
∴(2x－1)2＝0，
∴2x－1＝0，
解得x1＝x2＝.
18．选择适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）解：，
移项得：，
提取公因式得：，
，，
，；
（2）解：，
移项得：，
因式分解得：，
，，
，；
（3）解：，
系数化为1得：，
=0
，，
，；
（4）解：
移项得：，
因式分解得：，
，
；
（5）解：，
移项得：，
因式分解得：，
，
，.
19．已知关于x的方程（2x﹣m）（mx+1）=（3x+1）（mx﹣1）有一个根为0，求m的值并求另一根．
【答案】解：把x=0代入方程中去，得：﹣m=﹣1解得m=1再把m=1代入原方程中，得（2x﹣1）（x+1）=（3x+1）（x﹣1）解得x1=0 x2=3所以 另一根为3
20．已知关于 的一元二次方程 ，其中 、 、 分别为 三边的长．
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由；
（2）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）解： 是等腰三角形；
理由：∵ 是方程的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形
（2）解：当 是等边三角形， ，
，
可整理为： ，
，
解得： ， ．
21．下面是小明解一元二次方程（x-5)2=3(x-5)的过程：
解：方程两边都除以（x-5)，得x-5=3，
解得x=8．
小明的解题过程是否正确，如果正确请说明理由；如果不正确，请写出正确的解题过程．
【答案】解：小明的解题过程不正确．
正确的解答：移项，得（x-5)2-3(x-5)=0，
提公因式（x-5)，得（x-5)(x-5-3)=0，
x-5=0或x-5-3=0，
∴x1=5，x2=8．
22．定义新运算“”如下：当a≥b时，ab=ab-a；当ab=ab+b.
（1）计算：（-2）（-）
（2）若2x（x+1）=0，求x的值.
【答案】（1）解：原式=（-2）×（-）-=
（2）解：当2x≥x+1，即x≥1时，2x（x+1）-2x=0，
解得x=0（不合题意，舍去）；
当2x（x+1）（2x+1）=0，
解得x1=-1，x2=-
故x的值为-1或-.
23．已知多项式乘法（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.
【示例】分解因式：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）.
（1）【尝试】分解因式：x2+6x+8=（x+ ）·（x+ ）.
（2）【应用】请用上述方法解方程.
①x2+5x+6=0；
②x2-3x-4=0
【答案】（1）2；4
（2）解：①∵x2+5x+6=0，∴（x+2）（x+3）=0，则x+2=0或x+3=0，解得x1=-2，x2=-3
②∵x2-3x-4=0，∴（x+1）（x-4）=0，
则x+1=0或x-4=0，解得x1=-1，x2=4
【解析】（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x+2×4=（x+2）（x+4），
故答案为：2，4.
24．关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形：
变形 s t p
-1 5 0
0 4 5
1 q 8
2 2 9
回答下列问题：
（1）表格中q的值为 ．
（2）观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为 ．
（3）记的两个变形为和，求的值．
【答案】（1）3
（2）s+t=4
（3）解：由（2）的结论得到 ， ，
所以 ，即 ，
∴ ．
【解析】【解答】（1）解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∴q=3；
故答案为：3
（2）解：观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为 ；
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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