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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.4一元二次方程根与系数的关系
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．
【答案】B
【解析】 ∵是一元二次方程的两根，
∴=3，=-2，
∴=3+（-2）=1
故答案为：B.
2．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】D
【解析】∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=-3，
∴原式=（x1+x2）2-x1x2=4+3=7.
故答案为：D.
3．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【解析】
∵m和n是一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=-1，
∴
∴
4．已知是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ）
A．-3或1 B．-1或3 C．-1 D．3
【答案】D
【解析】根据题意得： ，且 ，
∴ ，
解得： ，
∵，
∴，即 ，
解得： 或 ，
∴m的值为3．
故答案为：D
5．若a，b为方程 的两个实数根，则2 的值为（ ）
A．-41 B．-35 C．39 D．45
【答案】C
【解析】∵a，b为方程 的两个实数根，
∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，
∴2
=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2
=2×0+3×（-1）+8×5+2
=39．
故答案为：C．
6．已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】A
【解析】∵α，β是方程x2+2017x+1=0的两个根，
∴α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，α+β=-2017，αβ=1，
∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）=（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）=9αβ=9，
故答案为：A．
7．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣5 D．﹣9
【答案】C
【解析】∵m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，
∴m+n=﹣3，mn=﹣2，m2+3m=2，
∴m2+4m+n+2mn=m2+3m+m+n+2mn=2﹣3﹣2×2=﹣5．
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程的根可得m+n=﹣3，mn=﹣2，m2+3m=2，再将其代入 m2+4m+n+2mn计算即可。
8．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：或，
∴k=2，
故答案为：D.
9．已知xy≠1，且3x2+2021x+6＝0，6y2+2021y+3＝0，则 ＝（ ）
A． B．2 C．3 D．9
【答案】A
【解析】当x=0时，0≠6
∴x≠0；
∵xy≠1
∴
∵ 3x2+2021x+6＝0
∴
∴，y为一元二次方程6x2+2021x+3=0的两个不相等的实数根，
∴×y=.
故答案为：A.
10．已知实数，且满足，，则的值为（ ）
A．23 B．-23 C．-2 D．-13
【答案】B
【解析】∵，，
∴（a+1）2+3（a+1）-3=0，（b+1）2+3（b+1）-3=0，
∴a+1和b+1是方程x2+3x-3=0的两个根，
∴a+1+b+1=-3，（a+1）（b+1）=-3，
∴a+b=-5，ab=1，
∴a、b同号，a＜0，b＜0；
原式=.
故答案为：B
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．设x1、x2是方程2x2+nx+m=0的两个根，且x1+x2=4，x1x2=3．则m+n= ．
【答案】-2
【解析】∵ 是方程 的两个根，
∴
∵
∴
解得：
∴
故答案为：
12．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 ．
【答案】
【解析】设三角形的两条直角边分别为a、b，斜边长为c，
∵两条直角边的长是方程的两个根，
∴，
∴，
∴.
故答案为：3.
13．一元二次方程的两根为和，则 .
【答案】2025
【解析】由题意-3+1=0，
则=3-1.
原式=3-1+3+2017=3（+）-1+2017=-1+2017=2025
14．如果实数a，b满足，，且，则ab的值 .
【答案】2
【解析】
∵实数a，b满足，且 ，
即，，a≠-b，
∴a和-b可以看作是一元二次方程的两个根，
∴a(-b)=-2，∴ab=2
故答案为：2.
15．设α，β是一元二次方程的两实数根，则的值为 .
【答案】
【解析】∵α，β是一元二次方程的两实数根，
∴α+β=5，αβ=-1，，
∴，
∴，
故答案为：-4.
16．若方程的两个实数根都是整数，则整数p值为 ．
【答案】8或 4
【解析】设方程的两个实数根分别为，（假设），
则，．
∴，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴，或，，
解得，或，，
∴p＝ （ 2 6）＝8或p＝ （4＋0）＝ 4．
故整数p值为8或 4．
故答案为：8或 4．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．若，是一元二次方程的两个根，求下列式子的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，是一元二次方程的两个根，
，，
==；
（2）解：==．
18． 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意得，解得；
（2）解：根据题意得，而，
所以，解得，
而，所以的范围为．
19．已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【答案】（1）证明：∵a＝1，b＝-2，c＝-3m2，
∴Δ＝（-2）2-4×1 （-3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得： ，
∵αβ＝-3m2，
∴-3m2＝-3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是原方程的两根，且，求的值．
【答案】（1）证明：原方程总有两个不相等的实数根，中，，，
∴，
∴，
∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零，
∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：中，，，且是原方程的两根，，
∴，，
∴，则，
∵，即，
∴，
∴，
整理得，，
解方程得，，，
∴的值或．
21．设，为关于的方程的两根，为实数．
（1）求证：．
（2）当时，求的最大值．
【答案】（1）证明：∵为的两根，
∴，，，，
∴；
（2）解：，
解得：，
又当时满足题意，
故p的最大值是．
22．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根.
（1）试推导x1+x2=- ，x1·x2= ；
（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值.
【答案】（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
∴x1= ，x2=
∴x1+x2= =- ，
x1·x2= · =
（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
=0
23． 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且．
（1）求的取值范围；
（2）若取负整数，求的值；
（3）若该方程的两个实数根的平方和为，求的值．
【答案】（1）解：由题意得：
关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：；
（2）解：且取负整数，
或，
当时，原方程可化为：且，
解得：，，
，
当时，原方程可化为：且，
解得：，
，
综上所述：的值为或；
（3）解：由根与系数的关系得：
，，
该方程的两个实数根的平方和为，
，
，，
由可知：，
．
24．若我们规定：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，和的差构成一个新函数，即．称是的“数天数函数”，为“天数点”，为“天数点”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，．点，在“数天数函数”图像上，求的解析式；
（2）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，，是“数天数函数，求的最小值．
（3）关于的方程的两个实数根、，“数天数函数”．若，，且，求的值．
【答案】（1）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴，，
∴，
∵点，在“数天数函数”图像上，
∴，解得，
∴；
（2）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，，
∴数天数函数，
∴，
∵，
∴，即的最小值为；
（3）解：∵关于的方程的两个实数根、，
∴，，
∵，，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
化简得，
解得或．
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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.4一元二次方程根与系数的关系
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．
2．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．7
3．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
4．已知是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（ ）
A．-3或1 B．-1或3 C．-1 D．3
5．若a，b为方程 的两个实数根，则2 的值为（ ）
A．-41 B．-35 C．39 D．45
6．已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
7．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣5 D．﹣9
8．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值（ ）
A．或 B．或 C． D．
9．已知xy≠1，且3x2+2021x+6＝0，6y2+2021y+3＝0，则 ＝（ ）
A． B．2 C．3 D．9
10．已知实数，且满足，，则的值为（ ）
A．23 B．-23 C．-2 D．-13
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．设x1、x2是方程2x2+nx+m=0的两个根，且x1+x2=4，x1x2=3．则m+n= ．
12．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 ．
13．一元二次方程的两根为和，则 .
14．如果实数a，b满足，，且，则ab的值 .
15．设α，β是一元二次方程的两实数根，则的值为 .
16．若方程的两个实数根都是整数，则整数p值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．若，是一元二次方程的两个根，求下列式子的值．
（1）；（2）．
18． 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的取值范围．
19．已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是原方程的两根，且，求的值．
21．设，为关于的方程的两根，为实数．
（1）求证：．
（2）当时，求的最大值．
22．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根.
（1）试推导x1+x2=- ，x1·x2= ；
（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值.
23． 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且．
（1）求的取值范围；
（2）若取负整数，求的值；
（3）若该方程的两个实数根的平方和为，求的值．
24．若我们规定：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，和的差构成一个新函数，即．称是的“数天数函数”，为“天数点”，为“天数点”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，．点，在“数天数函数”图像上，求的解析式；
（2）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，，是“数天数函数，求的最小值．
（3）关于的方程的两个实数根、，“数天数函数”．若，，且，求的值．
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