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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（2）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（ ）
A．完全平方公式 B．平方根的意义
C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式
【答案】B
【解析】用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是平方根的意义．
故答案为：B．
2．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，解得x= .
故答案为：D.
3．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．±2
【答案】C
【解析】由题意可知： ，
解得：x=2，
故答案为：C.
4．关于方程式的两根，下列判断何者正确（ ）
A．一根小于，另一根大于 B．一根小于，另一根大于
C．两根都小于 D．两根都大于
【答案】A
【解析】∵，
∴，，，
∴或，
故答案为：A.
5．如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，且方程可以用直接开平方法求解，
∴，
∴．
故答案为：D．
6．一元二次方程（x＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝，则另一个一元一次方程为（ ）
A．x－1＝ B．x＋1＝2 C．x＋1＝－ D．x＋1＝－2
【答案】C
【解析】（x＋1）2＝2，
两边开方得，x＋1＝，
可转化为一元一次方程为x＋1＝，x＋1＝，
故答案为：C．
7．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】∵关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，
∴，
∴，，
∵方程，
∴，
∴，，
故答案为：B.
8．已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（ ）
A．9 B．-3 C． D．
【答案】C
【解析】，
或，
所以，，
即，，
所以.
故答案为：C.
9．关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A．有两个解 B．当，有两个解
C．当，有两个解 D．当时，方程无实数根
【答案】B
【解析】当
时，方程无解，故A不符合题意；
当
，有两个解
，故B符合题意；
当
时，方程无解，与m无关，故C不符合题意；
当
时，方程有两个相等的实数根，故D不符合题意；
故答案选B．
10．若方程式 根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ）
A．1 B．8 C．16 D．61
【答案】B
【解析】（3x﹣c）2﹣60＝0，（3x﹣c）2＝60，3x﹣c＝± ，3x＝c± ，x ．
又两根均为正数，且 ，即 ，所以整数c的最小值为8．
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．方程的根是 ．
【答案】
【解析】由原方程，得．
解得：．
故答案是：．
12．在实属范围内定义新运算“”其法则为，则的解为 ．
【答案】，
【解析】 ∵，
∴=42-32=7，
72-x2=24，
解得： ，
故答案为： ， .
13．若一元二次方程（x-3）2=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是
【答案】4
【解析】∵（x-3）2=1，
∴x-3=1或x-3=-1，
∴x1=4，x2=2，
∴Rt△ABC的两条直角边为4和2，
∴Rt△ABC的面积=×4×2=4.
故答案为：4.
14．一元二次方程（x+5）2=（1-3x）2的根是 .
【答案】x1=-1，x2=3
【解析】∵ （x+5）2=（1-3x）2，
∴x+5=±（1-3x），
∴x+5=1-3x或x+5=-1+3x，
解之：x1=-1，x2=3.
故答案为：x1=-1，x2=3.
15．方程的解是 ．
【答案】
【解析】由题意得，
∴，
∴解得，
故答案为：
16．已知实数 满足 ，则代数式 的值为 ．
【答案】2
【解析】∵4x2-4x+l=0，
∴(2x-1)2=0
∴2x-1=0，
∴ ，
∴2x+ =1+1=2
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．求下列各式中x的值．
（1）x2=5
（2）x2﹣5=
（3）（x﹣2）2=125
（4）4（x+3）2=25（x﹣2）2
【答案】解：（1）x2=5，
解得x1=，x2=﹣．
（2）x2﹣5=，
x2=，
解得x1=，x2=﹣．
（3）（x﹣2）2=125
x+1=±15，
解得x1=14，x2=﹣16．
（4）
解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，
开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），
解得：，．
18．已知： 小数部分是m， 小数部分是n，且 ，请求出满足条件的x的值．
【答案】解：∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 的整数部分是4，小数部分 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 的整数部分是13，小数部分是 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 或 ．
19．已知2是方程x2-c=0的一个根，求常数c的值及该方程的另一根．
【答案】解：将x=2代入x2-c=0，得：4-c=0，
解得c=4，
所以方程为x2-4=0，
则x2=4，
∴x1=2，x2=-2．
所以c=4，另一个根为x=-2．
20．若 为方程 的一个正根， 为方程 的一个负根，求a+b的值．
【答案】解： ，
，
，
为方程 的一个正根，
，
，
，
，
，
为方程 的一个负根，
，
．
21．在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则为：a*b=a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求5*2值；
（2）求（x-2）*6=0中x的值.
【答案】（1）5*2= ；
（2）由题意得：（x－2）2-36=0，
（x－2）2=36，
x－2=±6，
x－2=6或x－2=﹣6，
解得：x1=8，x2=﹣4.
22．如图，在中，，于点M.
（1）若，，则的长度为多少？
（2）若，，则的长度为多少？
【答案】（1）解：在中，
.
的面积
以为底
.
以为底
联立得方程
.
解得
（2）解：设
在中，
.
在中
.
在中，
.
故列得方程：
解得.（负值舍去）
故.
23．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【答案】（1）解：设捐款增长率为x，根据题意列方程得：
，
解得x1=0.1，x2=－1.9（不合题意，舍去）。
答：捐款增长率为10%。
（2）解：12100×（1+10%）=13310元。
答：第四天该单位能收到13310元捐款。
24．已知正实数x的平方根是m和 .
（1）当 时，求m的值；
（2）若 ，求x的值.
【答案】（1）解：∵正实数x的平方根是m和m+n，
∴m+m+n=0，
∵n=6，
∴2m+6=0，
∴m=-3；
（2）解：∵正实数x的平方根是m和m+n，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵x＞0，
∴x=4.
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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用直接开平方法解方程时，可以将其转化为或，其依据的数学知识是（ ）
A．完全平方公式 B．平方根的意义
C．等式的性质 D．一元二次方程的求根公式
2．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
3．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．±2
4．关于方程式的两根，下列判断何者正确（ ）
A．一根小于，另一根大于 B．一根小于，另一根大于
C．两根都小于 D．两根都大于
5．如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．一元二次方程（x＋1）2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝，则另一个一元一次方程为（ ）
A．x－1＝ B．x＋1＝2 C．x＋1＝－ D．x＋1＝－2
7．关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知一元二次方程式的两根为、，且，求之值为何？（ ）
A．9 B．-3 C． D．
9．关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A．有两个解 B．当，有两个解
C．当，有两个解 D．当时，方程无实数根
10．若方程式 根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（ ）
A．1 B．8 C．16 D．61
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．方程的根是 ．
12．在实属范围内定义新运算“”其法则为，则的解为 ．
13．若一元二次方程（x-3）2=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是
14．一元二次方程（x+5）2=（1-3x）2的根是 .
15．方程的解是 ．
16．已知实数 满足 ，则代数式 的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．求下列各式中x的值．
（1）x2=5 （2）x2﹣5= （3）（x﹣2）2=125 （4）4（x+3）2=25（x﹣2）2．
18．已知： 小数部分是m， 小数部分是n，且 ，请求出满足条件的x的值．
19．已知2是方程x2-c=0的一个根，求常数c的值及该方程的另一根．
20．若 为方程 的一个正根， 为方程 的一个负根，求a+b的值．
21．在实数范围内定义一种新运算“*”，其规则为：a*b=a2﹣b2，根据这个规则：
（1）求5*2值；
（2）求（x-2）*6=0中x的值.
22．如图，在中，，于点M.
（1）若，，则的长度为多少？
（2）若，，则的长度为多少？
23．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
24．已知正实数x的平方根是m和 .
（1）当 时，求m的值；
（2）若 ，求x的值.
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