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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.1一元二次方程
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、是一元一次方程，不符合题意；
B、是一元三次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程，也可能不是方程，不符合题意.
故答案为：C.
2． 若方程的一个根是，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将x=2代入，
可得：22-3×2+k=0，
解得：k=2，
故答案为：B.
3．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，， B．，，
C．1，，1 D．1，5，1
【答案】C
【解析】原方程可化为：x2-5x+1=0，
∴二次项系数为：1， 一次项系数为：-5，常数项为：1.
故答案为：C.
4．根据下表的对应值，试判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的一个解的取值范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.07
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】∵当x=3.24时， ax2＋bx＋c =-0.02，
当x=3.25时， ax2＋bx＋c =0.03，
∵-0.02<0<0.03，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的一个解的取值范围是3.24＜x＜3.25 .
故答案为：C.
5．若a，b，c满足 ，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根
【答案】C
【解析】当x＝1时，a+b+c＝0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为1或﹣1.
故答案为：C.
6．已知方程x2-4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x-5）2-4（x-5）+k＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝6，x2＝8
C．x1＝-4，x2＝-2 D．x1＝0，x2＝2
【答案】B
【解析】由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，
解得x1=6，x2=8.
故答案为：B.
7．某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的．若设这种放射性元素质量的日平均减少率为，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，某放射性元素经1天后的质量为，
某放射性元素经2天后的质量为，
∵某放射性元素经2天后的质量为原来的，
∴.
故答案为：C.
8．在某渔民画展览中，有一幅长60cm，宽40cm的画，为给它的四周镶一条纸带，制成一幅矩形挂图（如图），如果要使整个挂图的面积是，设纸带的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得(60+2x)(40+2x)=3500.
故答案为：D.
9．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C．2023 D．-2023
【答案】A
【解析】∵ 关于的一元二次方程有一根为，
∴20232a+2023b+c=0
两边同时除以20232得，
∴，
∴ 关于的一元二次方程必有一根为.
故答案为：A
10．若是方程的一个根，设，，则下列关于与的关系正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵x0是方程ax2+2x+c=0的一个根，
∴ax02+2x0=-c，
∴N=(ax0+1)2=a2x02+2ax0+1=1-ac.
∵M=2-ac，
∴M-N=(2-ac)-(1-ac)=1，
∴M=N+1.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知是方程的一个根，则 ．
【答案】4
【解析】将代入，
可得：，
解得：k=4，
故答案为：4.
12．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】-1
【解析】由关于x的方程是一元二次方程，得
|k|+1=2且k-1≠0．
解得k=-1．
故答案为：-1．
13．写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程： .
【答案】x2-3x+2=0（答案不唯一）
【解析】∵一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程，
∴x2-3x+5=4-3×2+5=3
∴这个方程可以是x2-3x+2=0.
故答案为：x2-3x+2=0.
14．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2＋x＋a2﹣1＝0的一个根0，则a值为 .
【答案】－1
【解析】根据题意知，x=0是关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的根，
∴a2-1=0，
解得，a=1或a=-1，
∵a-1≠0，∴a≠1.
∴a=-1.
故答案为：-1.
15．若x=3是一元二次方程x2+ax-3b=0的解，则代数式a-b的值是 ．
【答案】-3
【解析】∵ x=3是一元二次方程x2+ax-3b=0的解 ，
∴9+3a-3b=0
解之：a-b=-3.
故答案为：-3
16．将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可得 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法” 已知 ，可用“降次法”求得 的值是 .
【答案】2018
【解析】 ，
，
∴
=
故答案为：2018.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．填表：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2-1=2x
x2=-1
（x- ）（x+ ）+（2x-1）2=0
【答案】
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2-1=2x x2-2x-1=0 1 -2 -1
x2=-1 x2+1=0 0 1
（x- ）（x+ ）+（2x-1）2=0 5x2-4x-4=0 5 -4 -4
18．已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0
（1）当k取何值时，它是一元一次方程？
（2）当k取何值时，它是一元二次方程？
【答案】解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元一次方程，得
或，
解得k=﹣1或k=0，
当k=﹣1或k=0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元一次方程；
（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元二次方程，得
，
解得k=1，
当k=1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元二次方程．
19．已知a，b，c均为有理数，试判断关于x的方程 是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数，一次项系数及常数项.
【答案】解：将上述方程整理可化简为
因为a为有理数即可知 恒成立， ，
所以该方程为一元二次方程
且二次项系数，一次项系数以及常数项分别为 ，
20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则求代数式m2﹣2017m+ +3的值.
【答案】解：∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，
∴m2﹣2018m+1＝0，
∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，
∴m2﹣2017m+ +3＝2018m﹣1﹣2017m+ +3＝m+ +2＝ +2＝ +2
＝2018+2＝2020.
21．
（1）已知x1=-1，x2=4是方程x2+mx+n=0的根，求这个方程；
（2）已知x=-1是一元二次方程ax2+bx-10=0的一个根，且a≠-b，求 的值.
【答案】（1）解：将x1=-1，x2=4分别代入方程x2+mx+n=0，
得 ，解得
∴这个方程为x2-3x-4=0
（2）解：∵x=-1是一元二次方程ax2+bx-10=0的一个根，
∴a-b-10=0，∴a-b=10
∵a≠-b，∴a+b≠0，
∴ = = = =5
22．已知x=2是关于x的方程x2-（5+m）x+5m=0的一个根.
（1）求m的值；
（2）若这个方程的另一个根为整数x2，且2【答案】（1）解：将x=2代入方程，得4-2（5+m）+5m=0，解得m=2.
（2）解：由（1）得方程x2-7x+10=0.
∵x2为整数，且2∴可找出x2=5是方程x2-7x+10=0的另一个根
∴这两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
∴三边长只能为2，5，5，
∴△ABC的周长=2+5+5=12.
23．已知a是方程x2﹣5x﹣1=0的一个根，则
（1）a2﹣5a﹣1
（2）a+ ．
【答案】（1）解：把x=a代入方程x2﹣5x﹣1=0，得
a2﹣5a﹣1=0
（2）解：a2﹣5a﹣1=0，
两边同时除以a可得a﹣5﹣ =0，
则a﹣ =5，
则a+ =± =±
24．定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
（1）【概念感知】的“友好”方程是 ；
（2）【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
（3）【拓展提升】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的解为，且也是其“友好”方程的解，求a，c之向的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：是．
证明：由题意知的“友好”方程为
∵是的一个解 ∴
将代入得
∵
∴
∴是的一个解．
（3）解：由题意知， 既是的解，又是的解
∴，
即 解得
∴a，c之向的数量关系为．
【解析】（1）由题意知的“友好”方程为
故答案为：．
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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.1一元二次方程
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2． 若方程的一个根是，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，， B．，，
C．1，，1 D．1，5，1
4．根据下表的对应值，试判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的一个解的取值范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.07
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
5．若a，b，c满足 ，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是（ ）
A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无实数根
6．已知方程x2-4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x-5）2-4（x-5）+k＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝6，x2＝8
C．x1＝-4，x2＝-2 D．x1＝0，x2＝2
7．某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的．若设这种放射性元素质量的日平均减少率为，则可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
8．在某渔民画展览中，有一幅长60cm，宽40cm的画，为给它的四周镶一条纸带，制成一幅矩形挂图（如图），如果要使整个挂图的面积是，设纸带的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C．2023 D．-2023
10．若是方程的一个根，设，，则下列关于与的关系正确的为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知是方程的一个根，则 ．
12．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
13．写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程： .
14．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2＋x＋a2﹣1＝0的一个根0，则a值为 .
15．若x=3是一元二次方程x2+ax-3b=0的解，则代数式a-b的值是 ．
16．将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可得 表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法” 已知 ，可用“降次法”求得 的值是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．填表：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2-1=2x
x2=-1
（x- ）（x+ ）+（2x-1）2=0
18．已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0
（1）当k取何值时，它是一元一次方程？
（2）当k取何值时，它是一元二次方程？
19．已知a，b，c均为有理数，试判断关于x的方程 是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数，一次项系数及常数项.
20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则求代数式m2﹣2017m+ +3的值.
21．
（1）已知x1=-1，x2=4是方程x2+mx+n=0的根，求这个方程；
（2）已知x=-1是一元二次方程ax2+bx-10=0的一个根，且a≠-b，求 的值.
22．已知x=2是关于x的方程x2-（5+m）x+5m=0的一个根.
（1）求m的值；
（2）若这个方程的另一个根为整数x2，且223．已知a是方程x2﹣5x﹣1=0的一个根，则
（1）a2﹣5a﹣1
（2）a+ ．
24．定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
（1）【概念感知】的“友好”方程是 ；
（2）【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
（3）【拓展提升】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的解为，且也是其“友好”方程的解，求a，c之向的数量关系．
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