中小学教育资源及组卷应用平台
【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（4）（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】4x2-2x-1=0，
x2- x= ，
x2- x+（ ）2= +（ ）2，
（x- ）2= ．
故答案为：D．
2．用配方法解方程3x2+4x+1＝0时，可以将方程化为（ ）
A． B．（x+2）2＝3 C． D．
【答案】A
【解析】3x2+4x+1=0
移项，得3x2+4x=-1，
系数化1，得x2+x=-，
配方得：x2+x+=-，
(x+)2=，
故答案为：A.
3．在解方程 时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
小思： 小博
A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确
【答案】A
【解析】由图知，小思和小博除了第一步x2的系数化1不一致，其他都一样．两人的做法都正确，
故答案为：A．
4．将一元二次方程化成的形式，则（ ）
A．-1 B．-2023 C．1 D．2023
【答案】A
【解析】 ，
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
写成标准形式，得（y-1)2=2，
∴m=1，n=2，
则.
故答案为：A.
5．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵ax2+bx+c=0 ，
∴ax2+bx=-c，
∴ ，
∴，
∴．
故答案为：C.
6．已知，（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】根据题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A.
7．已知一个三角形三边长为，，，且满足，，，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】 ∵，，，
∴a2-4b+b2-4c+c2-6a=-17，
∴a2-6a+9+b2-4b+4+c2-4c+4=0，
即（a-3）2+（b-2）2+（c-2）2=0，
解得a=3，b=2，c=2，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：A.
8．已知两个整数 ， ，有 ，则 的最大值是（ ）
A．35 B．40 C．41 D．42
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴===
∴当 时，ab取得最大值，为 ，
又∵b为整数，且 ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ 的最大值为40，
故答案为：B.
9．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【解析】∵ ，
∴，
∴( x -3)2+( y +2)2=0，
∴ x -3=0， y +2=0，
∴ x =3， y =-2，
( x + y )2023=1，
故答案为：C.
10．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则（ ）
A．与的最大值相等，与的最小值也相等
B．与的最大值相等，与的最小值不相等
C．与的最大值不相等，与的最小值相等
D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等
【答案】A
【解析】 =2x2+（2a+b）x+ab，则p=2a+b，
=2x2+（2b+a）x+ab，则q=2b+a，
∵，
∴2a+b+2b+a=6，
即a+b=2，
∴p=2a+b=a+2，q=2b+a=b+2，
∴a=P-2，b=q-2，
∴ab=（P-2）（q-2）=pq-2(p+q)+4=p(6-p)-2×6+4=-p2+6p-8=-(p-3)2+1，
∵ p，q均为正整数 ，
∴p为1、2、3、4、5，
∴ab的最大值为1，最小值为-3，
==，
∵p，q均为正整数 ，
∴q为1、2、3、4、5，
∴的最大值为1，最小值为-3，
∴A项符合题意.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．将方程 配方为 ，其结果是 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
故答案为： ．
12．方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是
【答案】﹣9或11
【解析】：由题意可得：
x4﹣2x2﹣400x=9999
（x2+1）2=（2x+100）2
①当x2+1=2x+100时，经化简可得（x﹣1）2=100
解得x=﹣9或x=11．
②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解，
因此x的值应该是﹣9或11．
故答案是：﹣9或11.
13．若，则 ．
【答案】或
【解析】∵x2-4xy-y2=0，
∴()2--1=0，
∴(-2)2=5，
∴-2=±，
∴=2+或2-.
故答案为：2+或2-.
14． 已知a＝，b＝，c＝，则代数式 2（a2＋b2＋c2-ab-bc-ac）的值是 ．
【答案】6
【解析】原式=，
=，
=6，
故答案为：6
15．已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小值等于 .
【答案】4
【解析】∵m﹣n2=1，
即n2=m-1≥0，
∴m≥1，
∵，
∴（m+3）2≥16，
∴（m+3）2-12≥4，
∴代数式 有最小值：4
故答案为：4
16．已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
【答案】
【解析】由2x﹣3y+z=3得z=3﹣2x+3y，
x2+（y﹣1）2+z2
=x2+（y﹣1）2+（3﹣2x+3y）2
=5x2﹣12x（y+1）+9（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+1.8（y+1）2+（y﹣1）2
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+1）2+1.6y+2.8
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8[y2+ y+（ ）2]+2.8﹣
=5[x﹣1.2（y+1）]2+2.8（y+ ）2+ ≥ ，
∴x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ，
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
则，即，
或，
解得，；
（2）解：，
，
或，
，．
18．用配方法解方程 ，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．
解：方程两边都除以2并移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
解得 ，
即 ．
【答案】解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：配方，得x2－ x+ =15+ ，即（x－ ）2= ，解得x－ =± ，即x1=3 ，x2=
19．在用配方法解一元二次方程4x2﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程如下：
解：方程4x2﹣12x﹣1＝0可化成（2x）2﹣6×2x﹣1＝0，
移项，得（2x）2﹣6×2x＝1．
配方，得（2x）2﹣6×2x+9＝1+9，
即（2x﹣3）2＝10．
由此可得2x﹣3＝± ∴x1 ，x2 ．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
【答案】解：不同意晓强的想法， 当二次项系数不为 1 时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方．
20．下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得：．①
二次项系数化为1，得：．②
配方，得．③
即.
∵，
∴．④
∴，．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【答案】（1）解：等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
（2）解：不正确，解答从第③步开始出错；此方程的解为，．
【解析】（2）正确的步骤为：
配方，得．③
即
∵，
∴．④
∴，．⑤
此方程的解为，．
21．一元二次方程指：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的等式，求一元二次方程x2-4x-5=0解的方法如下：第一步：先将等式左边关于x的项进行配方，（x-2）2-4-5=0，第二步：配出的平方式保留在等式左边，其余部分移到等式右边，（x-2）2=9；第三步：根据平方的逆运算，求出x-2=3或-3；第四步：求出x．类比上述求一元二次方程根的方法，
（1）解一元二次方程：9x2+6x-8=0；
（2）求代数式9x2+y2+6x-4y+7的最小值．
【答案】（1）解：9x2+6x-8=0，
变形得：x2+ x= ，
配方得：x2+ x+ =1，即（x+ ）2=1，
开方得：x+ =±1，
解得：x1= ，x2=-
（2）解：9x2+y2+6x-4y+7=9（x2+ x+ ）+（y2-4y+4）+2=9（x+ ）2+（y-2）2+2，
当x=- ，y=2时，原式取最小值2
22．【阅读材料】
若x2+y2+8x-6y+25＝0，求x，y的值．
解：（x2+8x+16）+（y2-6y+9）＝0，（x+4）2+（y-3）2＝0，
∴x+4＝0，y-3＝0，
∴x＝-4，y＝3．
（1）【解决问题】：已知m2+n2-12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；
（2）【拓展应用】：已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c-20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵m2+n2-12n+10m+61＝0，
将61拆分为25和36，可得：
（m2+10m+25）+（n2-12n+36）＝0，
根据完全平方公式得（m+5）2+（n-6）2＝0，
∴m+5＝0，n-6＝0，
∴m＝-5，n＝6，
∴（m+n）2023＝（-5+6）2023＝1．
（2）解：∵b2+c2＝8b+4c-20，
将61拆分为25和36，可得：
b2+c2-8b-4c+20＝0，
根据完全平方公式得（b2-8b+16）+（c2-4c+4）＝0，
（b-4）2+（c-2）2＝0，
∴b-4＝0，c-2＝0，
∴b＝4，c＝2．
∵a是△ABC中最长的边，
∴4≤a＜6，即a的取值范围为4≤a＜6．
23．王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为 ．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
【答案】（1）3
（2）解：x2+10x+32＝x2+10x+25-25+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7．
当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
（3）解：
＝-（x2-6x）+5
＝-（x2-6x+9-9）+5
＝-（x-3）2+3+5
＝-（x-3）2+8，
∵（x-3）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，
∴-（x-3）2+8≤8，
∴当（x-3）2＝0时，-x2+2x+5有最大值，最大值是8．
【解析】（1）当x=1时， （x-1）2+3有最小值，为3.
24．
（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 两边同时乘以 并移项，得到 ，两边再同时加上 ，得（ ▲ ）2 .请用这样的方法解方程： ；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
（从这里可以看出方程的解为 ， ）
即
因为 ，所以 、 的平均数为 ，不妨设 ， ，
利用 ，得 ，所以 ，即能求出 的值.
举例如下：解一元二次方程 ，由于 ，所以方程的两个根为 ，而 ，解得 ，所以方程的解为 ， .
请运用以上方法解如下方程① ；②
【答案】（1）解：2ax+b； ，
两边同时乘以12再加25，移项得：
.
.
，
（2）解：① .
.
方程的两个根为 ，
而 ，解得 ，
， .
② .
两边同时除以3得： ，
.
方程的两个根为 ，
而 解得 ，
， .
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（4）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．用配方法解方程3x2+4x+1＝0时，可以将方程化为（ ）
A． B．（x+2）2＝3 C． D．
3．在解方程 时，对方程进行配方，对于两人的做法，说法正确的是（ ）
小思： 小博
A．两人都正确 B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确 D．两人都不正确
4．将一元二次方程化成的形式，则（ ）
A．-1 B．-2023 C．1 D．2023
5．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，（a为任意实数），则M、N的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．已知一个三角形三边长为，，，且满足，，，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
8．已知两个整数 ， ，有 ，则 的最大值是（ ）
A．35 B．40 C．41 D．42
9．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．3
10．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则（ ）
A．与的最大值相等，与的最小值也相等
B．与的最大值相等，与的最小值不相等
C．与的最大值不相等，与的最小值相等
D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．将方程 配方为 ，其结果是 ．
12．方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是
13．若，则 ．
14． 已知a＝，b＝，c＝，则代数式 2（a2＋b2＋c2-ab-bc-ac）的值是 ．
15．已知实数 ， 满足 ，则代数式 的最小值等于 .
16．已知x，y，z为实数，且2x﹣3y+z=3，则x2+（y﹣1）2+z2的最小值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程：（1）； （2）．
18．用配方法解方程 ，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．
解：方程两边都除以2并移项，得 ，
配方，得 ，
即 ，
解得 ，
即 ．
19．在用配方法解一元二次方程4x2﹣12x﹣1＝0时，李明同学的解题过程如下：
解：方程4x2﹣12x﹣1＝0可化成（2x）2﹣6×2x﹣1＝0，
移项，得（2x）2﹣6×2x＝1．
配方，得（2x）2﹣6×2x+9＝1+9，
即（2x﹣3）2＝10．
由此可得2x﹣3＝± ∴x1 ，x2 ．
晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？
20．下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得：．①
二次项系数化为1，得：．②
配方，得．③
即.
∵，
∴．④
∴，．⑤
（1）第②步二次项系数化为1的依据是什么？
（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
21．一元二次方程指：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的等式，求一元二次方程x2-4x-5=0解的方法如下：第一步：先将等式左边关于x的项进行配方，（x-2）2-4-5=0，第二步：配出的平方式保留在等式左边，其余部分移到等式右边，（x-2）2=9；第三步：根据平方的逆运算，求出x-2=3或-3；第四步：求出x．类比上述求一元二次方程根的方法，
（1）解一元二次方程：9x2+6x-8=0；
（2）求代数式9x2+y2+6x-4y+7的最小值．
22．【阅读材料】
若x2+y2+8x-6y+25＝0，求x，y的值．
解：（x2+8x+16）+（y2-6y+9）＝0，（x+4）2+（y-3）2＝0，
∴x+4＝0，y-3＝0，
∴x＝-4，y＝3．
（1）【解决问题】：已知m2+n2-12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；
（2）【拓展应用】：已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c-20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
23．王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22-22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x-1）2+3的最小值为 ．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
24．
（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 两边同时乘以 并移项，得到 ，两边再同时加上 ，得（ ▲ ）2 .请用这样的方法解方程： ；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
（从这里可以看出方程的解为 ， ）
即
因为 ，所以 、 的平均数为 ，不妨设 ， ，
利用 ，得 ，所以 ，即能求出 的值.
举例如下：解一元二次方程 ，由于 ，所以方程的两个根为 ，而 ，解得 ，所以方程的解为 ， .
请运用以上方法解如下方程① ；②
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
