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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.3一元二次方程的应用（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A．x（12﹣2x+1）＝20 B．
C． D．x（12﹣2x﹣1）＝20
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（ ）
A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600
C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600
3．空地上有一段长为a米的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若，，则（ ）
A．有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法
4．如图，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道面积是30．设观花道的直角边为x，则可列方程为（ ）
A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60
C．（10-x）（9-x）＝30 D．（10-x）（9-x）＝60
5．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则的值为（ ）
A． B． C． D．+1
（第5题） （第6题）
6．如图，一张长方形纸板长40cm，宽30cm，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒，若纸盒底面ABCD的面积等于300，设剪掉的小正方形边长为x cm，则根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
（第7题） （第9题） （第10题）
8．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿坚拿都进不去，横着比城门宽米，坚着比城门高米，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度.若设竹竿长米，则根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m2，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，四边形中，，边，点在边上，，，则长为（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程 .
（第11题） （第14题） （第16题）
12．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ，化为一般形式 .
13．平面直角坐标系中，已知点(，)，且实数，满足，则点到原点的距离的最小值为 .
14．如图，有一块长，宽的矩形纸片，在每个角上截去相同的小正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，若设盒子的高为xcm，则根据题意，可得方程： ．
15．一条长为8的铁丝剪成两段，分别折成一个正方形．若这两个正方形面积的和为2.5，则这两条线段长分别为 和 ．在所有剪法中，两个正方形面积和的最大值为
16．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．为了喜迎杭州第十九届亚运会，某学校计划对一块宽为20m，长为32m的矩形荒地进行改造，要求修筑同样宽鹅卵石小路，余下的部分种上草坪（阴影部分），并使草坪的面积为540㎡.现在邀请全校同学参与设计，下面是三位同学分别设计的方案，请你选择一种方案，求出道路的宽为多少米？（根据需要精确到0.1米）
18．如图所示，某学校要建一个中间有两道篱笆隔断的长方形花圃，花圃的一边靠墙（墙的最大可利用长度为10 m），现有篱笆长24 m.设花圃的宽AB为x m.
（1）如果要围成面积为32 m2的花圃，AB的长是多少？
（2）能围成面积为40 m2的花圃吗？请说明理由.
19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12 cm，BC=9 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点也停止运动.设运动的时间为t s，Rt△CPQ的面积为S cm2.
（1）用含t的代数式表示S；
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5 cm2？
20．如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园ABCD，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边米，面积为y平方米.
（1）y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；
（2）若矩形ABCD的面积为154平方米，求x的值；
（3）当矩形ABCD的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积.
21．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PDQ的面积为6cm2？
（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
22．三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为．即．
第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．
第四步：
将大正方形边长用含的代数式表示为____．
小正方形边长为常数____，
长方形面积之和为常数____．
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程____，两边开方可求得，．
（1）第四步中横线上应依次填入 ， ， ， ；
（2）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程．
23．如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖.点F，G，H分别在边AE，BC，CD上.
（1）求五边形ABCDE的面积；
（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长.
（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明.
24．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）花圃的面积为 平方米（用含a的式子表示）；
（2）如果花所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求花圃的面积要超过800平方米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.3一元二次方程的应用（2）（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A．x（12﹣2x+1）＝20 B．
C． D．x（12﹣2x﹣1）＝20
【答案】A
【解析】∵铁丝的总长为12m，垂直于墙的一边长为xm，
∴平行于墙的一边长为（12+1-2x）m，
∵该场地的面积为20m2，
∴x（12-2x+1）=20，
故答案为：A.
2．如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40m，边BC的长为25m，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200m2，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为x m，下列方程正确的是（ ）
A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600
C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600
【答案】B
【解析】 设人行通道的宽度为x m，
由题意得： （40﹣4x）（25﹣2x）＝600
故答案为：B.
3．空地上有一段长为a米的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若，，则（ ）
A．有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法
【答案】A
【解析】如图：
设AC=a米，则宽为（40-2a）米，
由题意得，
解得，
∵40-2a≤18，
∴x≥11，
∴，
∴只存在一种围法，
故答案为：A
4．如图，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道面积是30．设观花道的直角边为x，则可列方程为（ ）
A．（10+x）（9+x）＝30 B．（10+x）（9+x）＝60
C．（10-x）（9-x）＝30 D．（10-x）（9-x）＝60
【答案】D
【解析】 设观花道的直角边为x ，观察图形，可知油菜花田地的面积是60，可列方程：
（10-x）（9-x）=10×9-30，即（10-x）（9-x）=60，
故答案为：D.
5．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则的值为（ ）
A． B． C． D．+1
【答案】C
【解析】∵图1中的正方形的边长为（a+b），图2中矩形的长为a+2b，宽为b，
∴（a+b）2=b（2b+a）
整理得：a2+ab-b2=0，
此方程可以看着是关于a的一元二次方程，
解之：（舍去）
∴.
故答案为：C
6．如图，一张长方形纸板长40cm，宽30cm，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒，若纸盒底面ABCD的面积等于300，设剪掉的小正方形边长为x cm，则根据题意可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设剪掉的小正方形边长为x cm，则，，根据题意得：
．
故答案为：A
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
【答案】B
【解析】设P，Q运动ts后，△PBQ的面积为15cm2
则BP为（8-t），BQ为2t
则
解得：（舍去）
故答案为：B
8．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿坚拿都进不去，横着比城门宽米，坚着比城门高米，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度.若设竹竿长米，则根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设竹竿的长度为x米.
题意知道了：横竖都拿不进去
列出方程为：.
故答案为：B.
9．如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m2，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可得，，
故答案为：C.
10．如图，四边形中，，边，点在边上，，，则长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】如图：过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
∵AB=BC=6，∠A=∠B=90°，CG⊥AD，
∴四边形ABCG是正方形， ∴∠BCG=90°，BC=CG，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCG+∠BCE=45°，
延长AB到BH使BH=DG，
在△CDG与△CHB中， ∴△CDG≌△CHB（SAS），
∴CH=CD，∠BCH=∠GCD，
∴∠DCE=∠HCE，
在△CEH和△CED中， ∴△CEH≌△CED（SAS），
∴DE=EH=BE+DG，
设BE=x，则BH=DG=5-x，AE=AB-BE=6-x，
∴AD=AG-DG=6-（5-x）=1+x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，
∴（1+x）2+（6-x）2=52，
解得x=2或3．
∴BE=2或3．
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程 .
【答案】（30-2x）（20-x）=78×6
【解析】设道路的宽为 ，
由题意得：（30-2x)(20-x)=78×6，
故答案为：（30-2x)(20-x)=78×6.
12．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ，化为一般形式 .
【答案】x（x+12）=864；x2+12x-864=0
【解析】 设宽为x步，则依题意列方程为 ;
x（x+12）=864
化为一般形式为： x2+12x-864=0 ，
故答案为： x（x+12）=864 ， x2+12x-864=0 .
13．平面直角坐标系中，已知点(，)，且实数，满足，则点到原点的距离的最小值为 .
【答案】
【解析】点P到O点的距离=；
∵
∴=m+4
∴点P到O点的距离===
∴===
∵
∴≥
∴≥
∴点P到O点的距离的最小值为.
故答案为：.
14．如图，有一块长，宽的矩形纸片，在每个角上截去相同的小正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，若设盒子的高为xcm，则根据题意，可得方程： ．
【答案】
【解析】 若设盒子的高为xcm，
由题意得 ，
故答案为： .
15．一条长为8的铁丝剪成两段，分别折成一个正方形．若这两个正方形面积的和为2.5，则这两条线段长分别为 和 ．在所有剪法中，两个正方形面积和的最大值为
【答案】2；6；2
【解析】（1）设其中一条线段长为x，则另一条线段长为（8-x），
依题意列方程得
解得：x1＝2，x2＝6，
∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是2和6；
故答案为：2，6
（2）设两个正方形的面积和为y，则
，(0＜x＜8)
∵a＝＞0，对称轴为直线x=4，
∴当x=4时，y的最小值＝2．
∴两个正方形的面积之和最小为2．
故答案为：2．
16．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ．
【答案】5或10
【解析】
解：∵AE⊥BC，∠C＝45°，
∴CE＝AE＝6，AC＝
∵BE＝BC-CE＝14-6＝8
∴AB＝
∵D是BC边上的好点，∴
设DE＝x，则
当D在E点左侧时，
BD＝BE-DE=8-x，CD＝CE+DE＝6+x，
∴
解得，
解得，x=3或x=-2(负值舍去)
∴BD＝8-3＝5
当D在E点右侧时，
BD＝BE+DE=8+x，CD＝CE-DE＝6-x，
∴
解得，x=2或x=-3(负值舍去)
∴BD＝8+2＝10
综上，BD的长为5或10。
故答案为：5或10。
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．为了喜迎杭州第十九届亚运会，某学校计划对一块宽为20m，长为32m的矩形荒地进行改造，要求修筑同样宽鹅卵石小路，余下的部分种上草坪（阴影部分），并使草坪的面积为540㎡.现在邀请全校同学参与设计，下面是三位同学分别设计的方案，请你选择一种方案，求出道路的宽为多少米？（根据需要精确到0.1米）
【答案】解：选择方案一
设道路的宽为米，根据题意可列方程：
整理得：
解得：（舍去）
答：道路的宽为1米.
选择方案二
设道路的宽为米，根据题意可列方程：
整理得：
解得：（舍去）
答：道路的宽为2米.
选择方案三
设道路的宽为米，根据题意可列方程：
整理得：
解得：（舍去）
答：道路的宽为0.8米.
18．如图所示，某学校要建一个中间有两道篱笆隔断的长方形花圃，花圃的一边靠墙（墙的最大可利用长度为10 m），现有篱笆长24 m.设花圃的宽AB为x m.
（1）如果要围成面积为32 m2的花圃，AB的长是多少？
（2）能围成面积为40 m2的花圃吗？请说明理由.
【答案】（1）解：由题意，得BC=（24-4x）m，
∴S=x（24-4x）=-4x2+24x，
当S=32时，-4x2+24x=32，
解得x1=2，x2=4.
∵墙的最大可利用长度为10 m，
∴0<24-4x≤10，解得≤x<6.
∴x1=2舍去.
即花圃的宽AB为4 m.
答：如果要围成面积为32 m2的花圃，AB的长是4 m.
（2）解：不能.理由如下：
x（24-4x）=40
x2-6x+10=0，
（x-3）2=-1，
∴原方程无解.
即不能围成面积为40 m2的花圃.
19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12 cm，BC=9 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点也停止运动.设运动的时间为t s，Rt△CPQ的面积为S cm2.
（1）用含t的代数式表示S；
（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5 cm2？
【答案】（1）解：由题意，得CP=（12-2t）cm，CQ=t cm，
∴S=（12-2t）t=-t2+6t（0≤t≤6）
（2）解：当S=5时，-t2+6t=5，
解得t1=1，t2=5.
即当运动1 s或5 s时，Rt△CPQ的面积等于 5 cm2.
20．如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园ABCD，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16米，另外三边由36米长的栅栏围成，设矩形ABCD中，垂直于墙的边米，面积为y平方米.
（1）y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；
（2）若矩形ABCD的面积为154平方米，求x的值；
（3）当矩形ABCD的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积.
【答案】（1）；
（2）解：由题意得∶，
解得：，
∵，
∴不符合题意，
∴
（3）解：∵
∵，
∴当时，有最大值
∴墙长，
∴矩形空地的面积最大为时，利用的墙长是
【解析】
解：(1)∵AB＝x，则BC＝36-2x。
∴y=x(36-2x)=-2x2+36x
∵0＜BC≤16，∴0＜36-2x≤16，∴10≤x＜18
故答案为： 和
21．如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PDQ的面积为6cm2？
（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得：AQ＝t，BP＝2t，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm， ∴DQ＝4-t，AP＝6-2t，∠A＝90°，
∴ ， ∴t2-7t+6＝0，
解得：t＝1或t＝6；
∵0≤t≤3，
∴t＝6不符合题意，则t＝1， ∴当t＝1s时，△PQD的面积为6cm2．
（2）解：不存在t使△PDQ为等腰三角形．
由题意可得：DQ＝4-t，AP＝6-2t，AQ＝t，
∴PQ2＝AQ2+AP2＝t2+（6-2t）2，
∵△PDQ为钝角三角形；且为等腰三角形，
∴DQ＝PQ，
∴（4-t）2＝t2+（6-2t）2，
∴t2-4t+5＝0，
∴Δ＝（-4）2-4×1×5＝16-20＝-4＜0，
∴方程无解，
∴不存在t使△PDQ为等腰三角形．
22．三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为．即．
第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．
第四步：
将大正方形边长用含的代数式表示为____．
小正方形边长为常数____，
长方形面积之和为常数____．
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程____，两边开方可求得，．
（1）第四步中横线上应依次填入 ， ， ， ；
（2）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程．
【答案】（1）；2；12；
（2）解：第一步：将原方程变形为，即，
第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，
第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示，
，
第四步：
将大正方形边长用含的代数式表示为，
小正方形边长为常数，
长方形面积之和为常数，
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
得方程，
两边开方可求得，．
【解析】（1）解：根据题意可得：
大正方形的边长为：[x+(x-2)]，
小正方形的边长为：[x+(x-2)]-2(x-2)=2，
长方形面积之和为：4×3=12，
∵大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
故答案为：，2，12，．
23．如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖.点F，G，H分别在边AE，BC，CD上.
（1）求五边形ABCDE的面积；
（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长.
（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明.
【答案】（1）解：过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，如图，
则∠EAN=∠AEN=45°，
∴AN=EN，
∵MN=AB，EM=CD，
∴EN=EM-MN=DC-AB=10-4=6(m)，
∴AN=6(m)，
∴
（2）解：设BG=x m， CG=(8-x)m，设AN、FG交于点P
由（1）得∠EAN =45°，∠APF=90°，AB=PG
是等腰直角三角形
则FG=(4+x)m，
根据题意得，(4+x)(8-x)=35，
解得：x1=1，x2=3，
答：BG的长为1m或3m；
（3）解：设BG=ym，且0由题意得，200(4+y)(8-y)+100[62-(4+y)(8-y)]=7300，
化简，得，y2-4y-21=0，
解得：y1=7，y2=-3均不符合题意，
∴投资7300元不能完成地面铺设.
24．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）花圃的面积为 平方米（用含a的式子表示）；
（2）如果花所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求花圃的面积要超过800平方米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元？
【答案】（1）（4a2﹣200a+2400）
（2）解：根据题意可得：4a2﹣200a+2400=60×40×，
解得：a1=5，a2=45（舍掉），
∴此时通道的宽为5米.
（3）解：设y1=kx，
将点（1200，48000）代入，
可得：48000=1200k，
解得：k=40，
∴y1=40x，
当x≥800时，设y2=kx+b，
将点（800，48000）和（1200，62000）代入，
可得：，
解得：，
∴y2=35x+20000，
∵花圃的面积为：4a2﹣200a+2400，
∴通道面积为2400-（4a2﹣200a+2400）=-4a2+200a，
根据题意可得：35×（4a2﹣200a+2400）+20000+40×（-4a2+200a）=105920，
解得：a1=2，a2=48（舍掉），
∴当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元.
【解析】（1）花圃的面积为（60-2a）（40-2a）=4a2﹣200a+2400，
故答案为：4a2﹣200a+2400；
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