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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（3）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是（ ）
A．（x+4）2=9 B．（x-4）2=9 C．（x-8）2=16 D．（x+8）2=57
2．用配方法解一元二次方程 ，配方后的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．把方程转化成的形式，则m，n的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．某节数学课上，老师让学生解关于的方程，下面是三位同学的解答过程：
小逸 小明 小琛
两边同时除以，得． 整理得， 配方得， ， ， ，． 移项得， ， 或， ．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．只有小明的解法正确 B．只有小琛的解法正确
C．只有小逸的解法错误 D．小逸和小琛的解法都是错误的
5．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程.过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
6．一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
7．若一元二次方程 配方后结果为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（ ）
A．（x﹣p）2＝5 B．（x+p）2＝5
C．（x﹣p）2＝9 D．（x+p）2＝7
9．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
10．将一元二次方程化成的形式，则（ ）
A．-1 B．-2023 C．1 D．2023
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是 .
12．将方程化成的形式，则a+b= ．
13．若方程x2－4084441＝0的两根为±2021，则方程x2－2x－4084440＝0的两根为 ．
14．已知点P是线段上的一点，如果，且，那么 ．
15．若 ，则一元二次方程 的两个根是
16．若 ，则a+b= ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程： （1） . （2）
（3）； （4））＝0；
18．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.
解方程：
提示：可以用“换元法”解方程.
解；设，则有.
原方程可化为：
续解：
19．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
20．嘉嘉解方程的过程如表所示．
解方程： 解：第一步 第二步 ， 第三步
（1）嘉嘉是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第 步开始出现错误；
（2）请你用不同于（1）中的方法解该方程．
21．两个边长分别为和的正方形如图放置图，其未叠合部分阴影面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形如图，两个小正方形叠合部分阴影面积为．
（1）用含，的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值．
22．嘉淇准备完成题目：解一元二次方程： ，
（1）若“ ”表示常数－7，请你用配方法解方程： ；
（2）若“ ”表示一个字母，且一元二次方程 有实数根，求“ ”的最大值；
（3）在（2）的条件下，直接写出方程的解．
23．泗县某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，利润为40元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价 元，那么平均每天可售出2件．
（1）设每件童装降价x元，每天可售出 件，每件盈利 元，若商家平均每天能赢利1200元，每件童装应降价多少元？根据题意，列出方程 ．
（2）利用配方法解答（1）中所列方程．
24．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求的最小值．
解：；
因为不论取何值，总是非负数，即；
所以；
所以当时，有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空： ；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
（3）如上图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由．
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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（3）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是（ ）
A．（x+4）2=9 B．（x-4）2=9 C．（x-8）2=16 D．（x+8）2=57
【答案】A
【解析】∵x2+8x+7=0，
∴x2+8x=-7，
x2+8x+16=-7+16，
∴（x+4)2=9．
∴故选A．
2．用配方法解一元二次方程 ，配方后的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，
则 ，
即 ，
故答案为：A.
3．把方程转化成的形式，则m，n的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】
∴，
∴m=-2，n=2，
故答案为：C.
4．某节数学课上，老师让学生解关于的方程，下面是三位同学的解答过程：
小逸 小明 小琛
两边同时除以，得． 整理得， 配方得， ， ， ，． 移项得， ， 或， ．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．只有小明的解法正确 B．只有小琛的解法正确
C．只有小逸的解法错误 D．小逸和小琛的解法都是错误的
【答案】C
【解析】只有小逸的解法错误，方程两边同时除以（x+5），这样会导致方程漏解，小明，小琛分别用配方法、因式分解解方程，计算皆正确，
故答案为：C.
5．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程.过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
【答案】C
【解析】
x2+2x-2=0解：移项，得：x2+2x=2
配方，得：x2+2x+1=2+1
（x+1）2=3
则x+1=
据此，可知，甲移项错误，丙开平方错误；
故答案为：C.
6．一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：D．
7．若一元二次方程 配方后结果为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】 展开后为 ，整理后为 ，
∵一元二次方程 配方后结果为 ，
∴ ，
故答案为：C．
8．已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（ ）
A．（x﹣p）2＝5 B．（x+p）2＝5
C．（x﹣p）2＝9 D．（x+p）2＝7
【答案】D
【解析】∵方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，
∴x2﹣2px+p2＝7，
∴﹣6＝﹣2p，
解得：p＝3，
即（x﹣3）2＝7，
∴x2﹣6x+9﹣7＝0，
∴q＝2，
即x2+6x+q＝0为x2+6x+2＝0，配方得（x+3）2＝7，
即（x+p）2＝7，
故答案为：D．
9．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（ ）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
【答案】C
【解析】x2+6x+c＝0，
移项得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，
解得：
故答案为：C.
10．将一元二次方程化成的形式，则（ ）
A．-1 B．-2023 C．1 D．2023
【答案】A
【解析】 ，
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
写成标准形式，得（y-1)2=2，
∴m=1，n=2，
则.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是 .
【答案】
【解析】∵一元二次方程，
∴，
∴，
即配方后的方程可以是，
故答案为：.
12．将方程化成的形式，则a+b= ．
【答案】5
【解析】 ，
x2-6x+9=-1+9，
（x-3）2=8，
∴a=-3，b=8，
∴a+b= 5.
故答案为：5.
13．若方程x2－4084441＝0的两根为±2021，则方程x2－2x－4084440＝0的两根为 ．
【答案】x1＝2022，x2＝－2020
【解析】 x2－2x－4084440＝0，
x2－2x=4084440，
x2－2x+1=4084441，
即（x-1）2=4084441，
∵ 方程x2－4084441＝0的两根为±2021 ，
∴x-1=±2021 ，
∴ x1＝2022，x2＝－2020 .
故答案为： x1＝2022，x2＝－2020 .
14．已知点P是线段上的一点，如果，且，那么 ．
【答案】
【解析】 解：∵AP=2，
∴AB=BP+2，
∵AP2=BP·AB，
∴4=BP·（BP+2），
∴BP2+2BP=4，
∴（BP+1）2=5，
∴BP=-1或BP=--1（舍去），
∴BP=-1.
故答案为：-1.
15．若 ，则一元二次方程 的两个根是
【答案】
【解析】 ，
，
，
（x-）2=，
x-=±，
∴ .
故答案为：.
16．若 ，则a+b= ．
【答案】4
【解析】∵(x+1)2 b=x2+2x+1-b=x2+ax 1，
∴ ，
解得： ，
∴a+b=2+2=4，
故答案为：4．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解方程： （1） . （2）
（3）； （4）x2﹣2x﹣1＝0；
【答案】（1）解：
∴ .
解：
解：
，
即．
所以，
（3）解：
；
=±
，
（4）解：x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
x1＝1+，x2＝1﹣
18．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.
解方程：
提示：可以用“换元法”解方程.
解；设，则有.
原方程可化为：
续解：
【答案】解：，
∴，，
∵，
∴，
则有，配方，得：，
解得：，
经检验：，是原方程的根.
19．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
【答案】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
（2）x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n x2=﹣4n．
20．嘉嘉解方程的过程如表所示．
解方程： 解：第一步 第二步 ， 第三步
（1）嘉嘉是用 （填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第 步开始出现错误；
（2）请你用不同于（1）中的方法解该方程．
【答案】（1）配方法；二
（2）解：，
，
则或，
解得，．
【解析】（1）嘉嘉是用配方法来求解的；从第二步开始出现错误；
故答案为：配方法，二；
21．两个边长分别为和的正方形如图放置图，其未叠合部分阴影面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形如图，两个小正方形叠合部分阴影面积为．
（1）用含，的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）解：；
；
（2）解：，，
，
答：的值为25．
22．嘉淇准备完成题目：解一元二次方程： ，
（1）若“ ”表示常数－7，请你用配方法解方程： ；
（2）若“ ”表示一个字母，且一元二次方程 有实数根，求“ ”的最大值；
（3）在（2）的条件下，直接写出方程的解．
【答案】（1）解： ，
，
，
或 ，
解得： ， ；
（2）解：由题意知：Δ＝ ≥0，
解得： ≤9，
因此， 的最大值为9；
（3）解：由题意知： ，
即： ，
解得： ．
23．泗县某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，利润为40元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价 元，那么平均每天可售出2件．
（1）设每件童装降价x元，每天可售出 件，每件盈利 元，若商家平均每天能赢利1200元，每件童装应降价多少元？根据题意，列出方程 ．
（2）利用配方法解答（1）中所列方程．
【答案】（1）；；
（2）解：（40-x）（20+2x）=1200，
整理得：x2-30x+200=0，
x -30x+225=-200+225
(x-15) =25,
x-15=±5,
解得：x1=10，x2=20．
答：每件童装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．
【解析】（1）设每件童装降价x元，则销售量为（20+2x）件，每件盈利(40-x),
根据列出方程：（40-x）（20+2x）=1200；
24．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求的最小值．
解：；
因为不论取何值，总是非负数，即；
所以；
所以当时，有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空： ；
（2）将变形为的形式，并求出的最小值；
（3）如上图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）2；4
（2）解：
．
当时，取最小值，最小值为；
（3）解：．理由如下：
，，
，
，
，
，
．
【解析】，
故答案为：2；4.
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